1.2.1 空间中的点、直线与空间向量(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，核心知识点包括空间中点的位置向量、直线的方向向量，以及利用方向向量判定直线位置关系、计算两条直线所成角（含异面直线），构建从向量表示到几何应用的完整学习支架。 该资料以足球裁判手势类比“向量语言”引入，结合问题驱动激发兴趣，通过坐标法、基底法等多样解题方法，培养数学抽象、直观想象和数学运算素养，如正方体中异面直线夹角计算例题。课中辅助教师清晰呈现知识逻辑，课后通过判断、练习帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 课标 要求 1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量，并能利用方向向量判定直线的位置关系（数学抽象、直观想象）. 2.能用向量方法解决直线与直线所成角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用（数学运算）. 　　 　　一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行.在比赛过程中，裁判员除了说一些必要的语言外，他们更多的借助专用的手势来把控整场比赛.比如，直接任意球要求裁判单臂侧平举，明确批示踢球方向；间接任意球要求裁判单臂上举，掌心向前，此手势应持续到球踢出后，并被场上其他队员触及或成死球时为止.这一规定有着明确的方向性和细节要求，必须进行专业培训才能掌握.在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行. 【问题】　（1）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？ （2）怎样用向量来表示直线在空间中的位置？ （3）怎样用向量来表示平面在空间中的位置？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 知识点一　空间中的点与直线的向量表示 1.点的位置向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量.特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定. 2.直线的方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. 3.利用直线的方向向量证明相关平行 （1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2； （2）已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l⊂α⇔存在一对实数x，y，使v＝xv1＋yv2. 【想一想】 　直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？ 提示：直线l的方向向量不唯一，若ν为直线l的方向向量，则λν（λ≠0）也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行. 知识点二　空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，如图①②所示， ①θ∈［0，］； ②θ＝＜v1，v2＞或θ＝　π－＜v1，v2＞　，sin θ＝　sin ＜v1，v2＞　或cos θ＝　｜cos＜v1，v2＞｜　； ③l1⊥l2⇔＜v1，v2＞＝⇔v1·v2＝0. ④l1∥l2或l1与l2重合⇔＜v1，v2＞＝0或π. 知识点三　异面直线与空间向量 （1）设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量. 若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行； 若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为　相交或异面　； 若异面直线l1与l2所成的角为θ，则θ＝＜v1，v2＞或π－＜v1，v2＞； （2）公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，　MN⊥l1，MN⊥l2　.则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的　距离　. 提醒：空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一. 【想一想】 两异面直线所成的角与两直线的方向向量的夹角一定相等吗？ 提示：不一定相等，若两异面直线的方向向量夹角＜v1，v2＞∈（0，］时等于异面直线所成角，若＜v1，v2＞∈（，π）时，则异面直线所成角为π－＜v1，v2＞. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线l的方向向量是唯一的.（　×　） （2）空间中，一个向量成为直线l的方向向量，该向量一定是非零向量.（　√　） （3）与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量.（　√　） （4）两异面直线的方向向量所成夹角的范围为（0，］.（　√　） 2.已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中不是该直线的方向向量的为（　　） A.a＝（1，1，1）　　　　　 B.a＝（－1，－1，1） C.a＝（－3，－3，3）　　 D.a＝（1，1，－1） 解析：A　由题知，＝（－3，－3，3），则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量.A选项中的向量（1，1，1）与不共线，所以不是直线AB的方向向量.故选A. 3.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝（1，2，－2），b＝（－2，3，2），则l1与l2的位置关系是（　　） A.l1⊥l2　 B.l1∥l2 C.l1，l2相交不垂直　 D.不能确定 解析：A　由题意，直线l1，l2的方向向量分别为a＝（1，2，－2），b＝（－2，3，2），a·b＝－2＋6－4＝0，∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2.故选A. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与直线A1D1所成的角为　90°　，直线AB与直线CD1所成的角为　45°　. 　　 题型一　空间中点的位置确定 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A（3，4，0），B（2，5，5），C（0，3，5）. （1）若＝（－），求点P的坐标； （2）若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标. 解：（1）＝（－1，1，5），＝（－3，－1，5）， ＝（－）＝（2，2，0）＝（1，1，0）， ∴P点的坐标为（1，1，0）. （2）由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，知＝. 设点P的坐标为（x，y，z）， 则＝（x－3，y－4，z），＝（2－x，5－y，5－z）， 故（x－3，y－4，z）＝（2－x，5－y，5－z）， 即得 因此P点的坐标为（，，）. 规律方法 求空间点的坐标 　　此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，常用方法一是把向量式转化为以原点为起点的位置向量求解；二是设出所求点的坐标，转化为方程组求解. 已知点A（2，4，0），B（1，3，3），如图，以的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P为线段AB上的点，Q点在AB延长线上，且分别满足条件： （1）AP∶PB＝1∶2； （2）AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标. 解：（1）由已知，得＝2， 即－＝2（－）， ＝＋＝（2，4，0）＋（1，3，3）＝（，，1）. 因此，P点的坐标是（，，1）. （2）因为Q点在AB延长线上且AQ∶QB＝2∶1， 所以＝－2，－＝－2（－），＝－＋2＝－（2，4，0）＋2（1，3，3）＝（0，2，6），因此，Q点的坐标是（0，2，6）. 题型二　利用向量法求异面直线的夹角（或余弦值） 〔一题多解〕如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角. 解：法一　由题意知｜｜＝，｜｜＝，＝＋，＝＋＋. 因为PA⊥平面ABCD，所以·＝·＝·＝0， 因为AB⊥AD，所以·＝0， 因为AB⊥BC，所以·＝0， 所以·＝（＋）·（＋＋）＝＝1. 所以cos＜，＞＝＝＝， 所以＜，＞＝60°， 所以PB与CD所成的角为60°. 法二　由题意得AB， AD，AP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）， 所以＝（－1，0，1），＝（1，－1，0）， cos＜，＞＝＝＝－. 所以＜，＞＝120°， 故PB与CD所成的角为60°. 规律方法 求异面直线所成的角的方法 （1）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单； （2）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧.在由公式cos＜a，b＞＝求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及｜a｜与｜b｜，一般是把a，b用基底表示出来，再求有关的量. 1.在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为SB的中点，C是的中点，SO＝AB＝4，则直线SA与直线CD所成角的余弦值为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　因为C为的中点，所以OC⊥AB.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，－2，0），C（2，0，0），B（0，2，0）， S（0，0，4），因为D为SB中点，所以D（0，1，2）.所以＝（0，－2，－4），＝（－2，1，2）.设直线SA与直线CD所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1C的中点，＝t，t∈[0，1]，当PQ与CD所成角的余弦值为时，t＝　或　. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），C（2，2，0），P（1，1，1），D（0，2，0），B1（2，0，2），设Q（x，y，z），则＝（x，y，z），＝（2，0，2），由＝t，得（x，y，z）＝（2t，0，2t），故Q（2t，0，2t），则＝（2t－1，－1，2t－1），＝（－2，0，0）， 设PQ与CD所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，解得t＝或. 题型三　利用空间向量解决平行与垂直问题 （链接教科书第31页例1、第33页例2、第36页例4）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点.求证： （1）AD1⊥G1G； （2）AD1∥EF； （3）A1G⊥DF. 证明：设＝a，＝b，＝c， 则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0. （1）因为＝b＋c，＝＋＋＋＝－a－c＋b＋a＝b－c， 所以·＝（b＋c）·（b－c）＝｜b｜2－｜c｜2＝0， 所以⊥，所以AD1⊥G1G. （2）因为＝b＋c，＝－＝－＝－b－c，所以＝－，所以∥，所以EF∥AD1. （3）因为＝＋＋＝－c＋b＋a，＝＋＝a－b，所以·＝（－c＋b＋a）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0， 所以⊥，所以A1G⊥DF. 规律方法 1.要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可. 2.要证两直线平行，可求出两直线的方向向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可. 　〔一题多解〕如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，点M，N分别是面对角线A'B与面对角线A'C'的中点.求证：MN∥AD'. 证明：法一（基向量法）　设＝a，＝b，＝c，则＝（a＋c），＝c＋（a＋b），所以＝－＝（b＋c）. 又因为b＋c＝，所以＝，所以∥， 因为MN不在平面ADD'A'内，所以MN∥AD'. 法二（坐标法）　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），D'（0，2，2），M（1，0，1），N（1，1，2），所以＝（0，2，2），＝（0，1，1）， 所以＝，所以∥，因为MN不在平面ADD'A'内，所以MN∥AD'. 1.已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y－z＝（　　） A.0　 B.1 C.　 D.3 解析：A　∵A（0，y，3），B（－1，2，z），∴＝（－1，2－y，z－3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设＝km，∴解得k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0. 2.已知＝（，，－），＝（0，－1，0），则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　cos＜，＞＝＝＝，故选B. 3.在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　（0，0，1）　，直线BC1的一个方向向量为　（0，1，1）（答案不唯一）　. 解析：因为DD1∥AA1，＝（0，0，1）， 故直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）； 因为BC1∥AD1，＝（0，1，1）， 故直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）. 4.已知向量a＝（2，4，5），b＝（4，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x＋y＝　18　. 解析：∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在实数λ，使得b＝λa，则解得λ＝2，x＝8，y＝10.∴x＋y＝18. 　　 1.已知直线l1的方向向量为m＝（1，2，1），若直线l1∥l2，则直线l2的一个方向向量的坐标是（　　） A.（2，4，2）　 B.（2，3，－2） C.（1，1，1）　 D.（－1，1，－1） 解析：A　设直线l2的方向向量为n＝（x，y，z），因为直线l1∥l2，所以n＝λm，即n＝λ（1，2，1），结合选项可知直线l2的一个方向向量的坐标是（2，4，2）. 2.空间中，已知两条直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“＜a，b＞＝”是“m与n所成角为”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分又不必要条件 解析：A　由＜a，b＞＝，可以推出直线m与n所成角为，但直线m与n所成角为时，＜a，b＞＝或，所以＜a，b＞＝是直线m与n所成角为的充分不必要条件. 3.两条直线l1，l2的方向向量分别为m＝（2，1，－2），n＝（1，1，1），则这两条直线（　　） A.平行　 B.垂直 C.异面　 D.相交或异面 解析：D　因为m＝（2，1，－2），n＝（1，1，1），所以m·n＝2×1＋1×1－2×1＝1≠0，故直线l1，l2不垂直.又≠≠，故直线l1，l2不平行，所以两条直线相交或异面.故选D. 4.从点A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取线段长｜｜＝34，则点B的坐标为（　　） A.（18，17，－17）　 B.（－14，－19，17） C.（6，，1）　 D.（－2，－，13） 解析：A　设点B的坐标为 （x，y，z），则 ＝λa（λ＞0），即 （x－2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12）.因为 ｜｜＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17，所以点B的坐标为（18，17，－17）. 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点.以D为原点，以{，，}为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则直线OE的一个方向向量u＝（　　） A.（－1，1，1）　 B.（－1，1，－1） C.（－1，2，1）　 D.（－1，2，－1） 解析：B　由题意得O（1，，），E（，1，0），则＝（－，，－），所以u＝（－1，1，－1）为直线OE的一个方向向量. 6.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知＝λ，＝3，若AM⊥DE，则λ＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A（1，0，0），M（0，，），因为＝λ，则E（1，1，λ），则＝（－1，，），＝（1，1，λ），因为AM⊥DE，所以·＝0，即（－1）×1＋×1＋λ＝0，解得λ＝. 7.如图，已知圆柱O1O2的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E为下底面圆周上一点，满足＝2，则异面直线AE与BO1所成角的正弦值为（　　） A.　 B.－ C.　 D.－ 解析：A　因为＝2，所以∠AO2E＝60°，所以∠O2AE＝60°，如图所示，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），O1（0，1，2），E（，，0） ，所以＝（，，0）， ＝（0，－1，2），所以异面直线AE与BO1所成角的余弦值为｜cos＜，＞｜＝＝＝， 则异面直线AE与BO1所成角的正弦值为＝. 8.〔多选〕如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，M是EG和FH的交点，O为空间中任意一点，则（　　） A.E，F，G，H四点共面 B.·＝0 C.为直线BD的方向向量 D.＝（＋＋＋） 解析：AC　在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥BD∥FG，EF∥AC∥GH，于是得四边形EFGH是平行四边形，故E，F，G，H四点共面，即A正确；因平行四边形两条对角线不一定垂直，即EG，FH不一定垂直，则·＝0不一定成立，B不正确；因EH∥BD，≠0，则为直线BD的方向向量，C正确；平行四边形EFGH中，M是EG和FH的交点，则M是EG中点，对空间任意一点O，则＝（＋）＝（＋）＝（＋＋＋），D不正确. 9.已知向量a＝（1，－2，4），b＝（2，4x，y＋1）分别是直线l1，l2的一个方向向量，若l1∥l2，则x＋y＝　6　. 解析：因为l1∥l2，所以a∥b，故存在实数λ使得b＝λa，则解得x＝－1，y＝7，所以x＋y＝6. 10.〔一题多解〕在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P、Q、R、S分别是AA1、D1C1、AB、CC1的中点.证明：PQ∥RS. 证明：法一　以D为原点， DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 则P（3，0，1），Q（0，2，2），R（3，2，0），S（0，4，1），＝（－3，2，1），＝（－3，2，1）， 所以＝，所以∥. 显然PQ与RS不重合，所以PQ∥RS. 法二　＝＋＝－＋， ＝＋＝＋－，所以＝，所以∥. 显然PQ与RS不重合，所以RS∥PQ. 11.“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，AA1⊥面ABCD，AA1＝4，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，CD＝1，则异面直线A1D1与BC1所成角的余弦值为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，由底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，CD＝1，可知OC＝1，以O为原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1（1，0，4），B（0，1，0），D1（2，0，4），A1（0，2，4），则＝（2，－2，0），＝（1，－1，4），所以cos＜，＞＝＝＝，故异面直线A1D1与BC1所成角的余弦值为. 12.在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）；②直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）；③垂直于平面ABB1A1的直线的一个方向向量为（0，1，0）；④垂直于平面B1CD的直线的一个方向向量为（1，1，1）.其中正确的是　①②③　.（填序号） 解析：＝＝（0，0，1），故①正确；＝AD1＝（0，1，1），故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝（0，1，0），故③正确；向量的坐标为（1，1，1），与平面B1CD不垂直，故④错. 13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当＝　　时，ON⊥AM. 解析：以A为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），O（，，0），N（，0，1）.设M（0，1，a）（0≤a≤1），则·＝（0，1，a）·（0，－，1）＝－＋a＝0，∴a＝.∴当＝时，ON与AM垂直. 14.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1O⊥平面ABCD. （1）求证：CO1⊥平面ABCD； （2）若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD？ 解：（1）证明：∵O为下底面中心，底面ABCD为正方形，且A1O⊥平面ABCD，∴以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 设底面正方形的边长为a，OA1＝h， 则A（a，0，0），A1（0，0，h），C（－a，0，0），B（0，a，0），O1（－a，0，h）， ∴＝（0，0，h），＝（a，0，0），＝（0，a，0）. ∵·＝0，·＝0， ∴CO1⊥OA，CO1⊥OB. 又OA∩OB＝O，OA，OB⊂平面ABCD， ∴CO1⊥平面ABCD. （2）由（1）及AE＝2EA1，得E（a，0，h），D（0，－a，0）. 设＝λ（0≤λ≤1）， 则F（－λa，a－λa，0）， ∴＝（－λa－a，a－λa，－h），＝（－a，－a，0）. 由EF⊥AD，得·＝0，即λa2＋a2－a2＋λa2＋0＝0， ∴λ－＝0，∴λ＝，∴BF＝BC， 即点F在BC靠近点B的三等分点处时，EF⊥AD. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $