1.2.2 空间中的平面与空间向量(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦空间中的平面与空间向量核心知识点，系统梳理平面法向量的定义及性质，空间线面、面面平行与垂直关系的向量表示，以及三垂线定理及其逆定理。通过定义解析、提醒点拨、想一想辨析、判断正误等学习支架，帮助学生从概念理解逐步过渡到应用实践。 该资料以牌楼建筑实例引入，激发学生用数学眼光观察现实世界，通过法向量求法、位置关系证明等题型设计，培养数学抽象与逻辑推理能力。母题探究和一题多解助力思维拓展，课中辅助教师清晰授课，课后练习题与规律总结帮助学生查漏补缺，强化数学运算与应用意识。

1.2.2　空间中的平面与空间向量 课标 要求 1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量（数学抽象）. 2.能用向量语言表述线面、面面的垂直与平行关系（数学运算）. 3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（逻辑推理）. 　　 牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线l与柱子所在的直线l1垂直，我们就能知道下边线l与地面α平行. 【问题】　（1）柱子所在直线的方向向量是否可认为是地面α的法向量？ （2）能否用空间向量表示这一线面位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 知识点一　平面的法向量 定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α　垂直　，则称n为平面α的一个法向量，记作　n⊥α　. 提醒：一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行.　 知识点二　空间平行、垂直关系的向量表示 1.直线与平面位置关系的判断 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则：当　n∥v　时，l与α垂直；当　n⊥v　时，l与α平行，或者l在α内. 2.平面与平面位置关系的判断 如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则：当　n1⊥n2　时，α1与α2垂直；当　n1∥n2　时，α1与α2平行，或者α1与α2重合. 【想一想】 已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，如果n⊥v，那么直线l一定与平面α平行吗？ 提示：不一定.也可能l⊂α. 知识点三　三垂线定理及其逆定理 1.三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. 2.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 【想一想】 1.定理中的已知直线是已知平面内的直线吗？ 提示：一定是. 2.若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，l与m垂直吗？ 提示：不一定.若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.（　√　） （2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.（　×　） （3）若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.（　√　） （4）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直.（√　　） 2.设平面α的法向量为（1，2，－2），平面β的法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k＝（　　） A.2　　　　　　　　 B.－4 C.4　 D.－2 答案：C 3.若直线l的方向向量a＝（1，0，2），平面α的法向量为n＝（－2，0，－4），则（　　） A.l∥α　 B.l⊥α C.l⊂α　 D.l与α斜交 答案：B 4.〔多选〕如图PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是（　　） A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 解析：ABD　由题意有，PA⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，故A对；∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，故B对；由AC⊥BC，有三垂线定理可得BC⊥PC，故D对；若AC⊥PB，因为AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与已知矛盾，故C错. 　　 题型一　平面法向量的求法 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系. （1）求平面ABCD的一个法向量； （2）求平面SAB的一个法向量； （3）求平面SCD的一个法向量. 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1）. （1）∵SA⊥平面ABCD，∴＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量. （2）∵AD⊥AB，AD⊥SA， ∴AD⊥平面SAB， ∴＝（，0，0）是平面SAB的一个法向量. （3）在平面SCD中，＝（，1，0），＝（1，1，－1）. 设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z），则n⊥，n⊥，∴ 得方程组∴ 令y＝－1，则z＝1，x＝2，∴n＝（2，－1，1）. ∴n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量. 规律方法 利用待定系数法求法向量的步骤 　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求平面PAB的一个法向量. 解：∵∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D点为坐标原点，射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）. ∴＝（－1，，0），＝（0，，－1），设平面PAB的法向量为n＝（x，y，z）， 则即即 因此可取n＝（，1，）. ∴平面PAB的一个法向量为（，1，）. 题型二　利用法向量证明空间中的位置关系 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点.证明： （1）C1M∥平面ADE； （2）平面ADE⊥平面A1D1F.　 证明：（1）以D为原点，向量，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1. 则D（0，0，0），A（1，0，0），E（1，1，），C1（0，1，1），M（1，0，），＝（1，0，0），＝（1，1，），＝（1，－1，－）. 设平面ADE的法向量为m＝（a，b，c）， 则⇒ 令c＝2，得m＝（0，－1，2）， ∵m·＝（0，－1，2）·（1，－1，－）＝0＋1－1＝0， ∴⊥m. 又C1M⊄平面ADE， ∴C1M∥平面ADE. （2）由D1（0，0，1），A1（1，0，1），F（0，，0）， 得＝（1，0，0），＝（0，，－1）， 设平面A1D1F的法向量为n＝（x，y，z）， 则⇒ 令y＝2，则n＝（0，2，1）. ∵m·n＝（0，－1，2）·（0，2，1）＝0－2＋2＝0， ∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F. 【母题探究】 （变条件，变设问）在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变.试证：EN⊥平面B1AC. 证明：如例题建系，E（1，1，），N（，，1），A（1，0，0），B1（1，1，1），C（0，1，0）. ∴＝（－，－，），＝（0，1，1）， ＝（－1，1，0）， ∴·＝0，·＝0， ∴⊥，⊥， 即EN⊥AB1，EN⊥AC. 又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC. 规律方法 利用向量法证明空间线面位置关系的思路 （1）线面平行：设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0； （2）面面平行：若能求出平面α，β的法向量u，v，则要证明α∥β，只需证明u∥v； （3）线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则要证明l⊥α，只需证明a∥u即可； （4）面面垂直：①证明两平面的法向量垂直；②证明一个平面的法向量平行于另一个平面. （2026·六安期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.求证： （1）BM∥平面ADEF； （2）BC⊥平面BDE. 证明：（1）根据题意可知平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD， 又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥ED.因为ED⊂平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，从而可得DA，DC，DE两两垂直. 以D为原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），F（2，0，2）. 又M为CE的中点，所以M（0，2，1），则＝（－2，0，1），且易知平面ADEF的一个法向量为n＝（0，1，0）， 因为n·＝0，所以n⊥.又BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF. （2）由（1）可得＝（－2，2，0），＝（2，2，0），＝（0，0，2）， 所以·＝－4＋4＝0，·＝0，所以BC⊥DB，BC⊥DE. 又DB∩DE＝D，DB，DE⊂平面BDE，所以BC⊥平面BDE. 题型三　三垂线定理及逆定理的应用 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：B1O⊥PA. 证明：如图，可知PA是平面BB1D1D的一条斜线段，B1O是平面BB1D1D内的一条线段. 由条件可知，AO⊥平面BB1D1D，连接PO，则PO为PA在平面BB1D1D内的射影.连接B1P，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B1D1＝，D1P＝，DP＝，DO＝，BO＝，BB1＝1，∴B1P＝，PO＝，B1O＝，∴PO2＋B1O2＝B1P2，∴PO⊥B1O.根据三垂线定理可得B1O⊥AP. 规律方法 利用三垂线定理证明垂直的步骤 （1）找平面（基准面）及平面的垂线； （2）找射影线（平面上的直线与斜线在平面上的射影线）； （3）证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直. 　如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C. 证明：连接BD，A1B，∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. 又DD1⊥平面ABCD， ∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影， ∴BD1⊥AC，而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影， ∴BD1⊥AB1. 又AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面AB1C. 1.已知u＝（3，a＋b，a－b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，n＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则a＋2b＝（　　） A.　 B.－　　 C.6　 D. 解析：D　因为u＝（3，a＋b，a－b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，n＝（1，2，3）是平面α的法向量，且l⊥α，则u∥n，则＝＝，所以解得a＝，b＝－，因此，a＋2b＝＋2×（－）＝. 2.两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n＝（2，－3，1），＝（1，0，－2），＝（1，1，1），则（　　） A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABC C.平面α、平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能 解析：A　设平面ABC的法向量为m＝（x，y，z），则设z＝1，则x＝2，y＝－3，即m＝（2，－3，1），由n＝m，得平面α∥平面ABC.故选A. 3.已知平面α的一个法向量为（3λ，6，λ＋6），平面β的一个法向量为（λ＋1，3，2λ），若α∥β，则λ＝　2　. 解析：∵α∥β，∴＝＝，解得λ＝2. 4.如图，在四棱锥A1-BCDE中，A1E⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，EB∥DC，DE⊥EB，EB＝ED＝1，DC＝2，△A1ED为等腰直角三角形，点F在棱A1C上，若点P为DB的中点，且PF∥平面A1ED，则点F的坐标为　（，，）　. 解析：结合已知条件和题图可知，A1（0，0，1）， E（0，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（，，0），不妨设F（x0，y0，z0），因为点F在棱A1C上，所以＝λ，λ∈[0，1]，解得x0＝2λ，y0＝λ，z0＝1－λ， 所以F（2λ，λ，1－λ），从而＝（2λ－，λ－，1－λ），又易知＝（1，0，0）为平面A1ED的一个法向量，故·＝2λ－＝0，解得λ＝∈[0，1]，从而点F的坐标为（，，）. 　　 1.在空间直角坐标系中，平面α的法向量为n＝（1，0，－2），直线l的方向向量为a＝（－2，0，4），直线m的方向向量为b＝（4，3，2），则下列结论中正确的是（　　） A.l∥α且m⊥α　 B.l⊥α且m∥α C.l⊥m且l⊥α　 D.l⊥m且m⊂α 解析：C　∵n＝（1，0，－2），a＝（－2，0，4），b＝（4，3，2），∴a＝－2n，a·b＝－2×4＋0×3＋4×2＝0，即a∥n，a⊥b，所以l⊥α，l⊥m.故选C. 2.已知向量＝（1，2，1），＝（0，1，－2），则平面ABC的一个法向量可以是（　　） A.（5，－2，－1）　 B.（－6，2，2） C.（3，1，－2）　 D.（4，－3，1） 解析：A　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由可得令z＝－1，则x＝5，y＝－2.由此可得，平面ABC的一个法向量为n＝（5，－2，－1）.又B、C、D三个选项的向量均不与n＝（5，－2，－1）共线，故选A. 3.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是（　　） A.a＝（1，0，0），n＝（－2，0，0） B.a＝（1，3，5），n＝（1，0，1） C.a＝（0，2，1），n＝（－1，0，－1） D.a＝（1，－1，3），n＝（0，3，1） 解析：D　选项A，a·n＝－2≠0；选项B，a·n＝1＋0＋5≠0；选项C，a·n＝0＋0－1≠0；选项D，a·n＝0－3＋3＝0，D可能满足直线l与平面α平行. 4.〔教材变式〕已知空间中点A（1，2，－1），B（－2，1，－1），C（－1，2，0），则平面ABC的一个法向量为　（　　） A.（2，1，3）　 B.（1，－3，2） C.（1，3，2）　 D.（－1，2，2） 解析：B　由题知＝（－3，－1，0），＝（－2，0，1），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则⇒⇒令x＝1，得n＝（1，－3，2）.故选B. 5.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且⊥平面ABC，则＝（　　） A.（，－，－4）　 B.（，－，－3） C.（，－，4）　 D.（，－，－3） 解析：D　因为＝（1，5，－2），＝（3，1，z），⊥，所以3＋5－2z＝0，解得z＝4，所以＝（3，1，4）.因为＝（x－1，y，－3），且⊥平面ABC，所以解得x－1＝，y＝－，所以＝（，－，－3）. 6.〔一题多解〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则λ＝（　　） A.　　　　 　 B. C.　 D. 解析：C　法一　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B（1，0，0），E（0，1，），D1（0，1，1），C1（1，1，1），A1（0，0，1），可得＝（－1，0，1），＝（－1，1，），设n＝（x，y，z）是平面A1BE的法向量，则令z＝2，则x＝2，y＝1，即n＝（2，1，2），由＝（1，0，0），且＝λ，可得F（λ，1，1）（0≤λ≤1），又因为B1（1，0，1），则＝（λ－1，1，0），由B1F∥平面A1BE，可得n·＝2（λ－1）＋1×1＋2×0＝0，解得λ＝. 法二　如图，取CD中点M，连接BM，EM，易证A1B∥EM，所以平面A1BE即为平面A1BME，易知当F为C1D1的中点时，B1F∥BM，B1F⊄平面A1BE，BM⊂平面A1BE，从而B1F∥平面A1BE，所以λ＝.故选C. 7.〔多选〕下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　） A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝（2，3，－1），b＝（－2，－3，1），则l1∥l2 B.直线l的方向向量a＝（1，－1，2），平面α的法向量是u＝（6，4，－1），则l⊥α C.两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝（2，2，－1），v＝（－3，4，2），则α⊥β D.直线l的方向向量a＝（0，3，0），平面α的法向量是u＝（0，－5，0），则l∥α 解析：AC　对于A，由a＝（2，3，－1），b＝（－2，－3，1），得a＝－b，所以a∥b，所以l1∥l2，故A正确；对于B，假设a∥u，则存在唯一得实数λ，使得a＝λu，即（1，－1，2）＝（6λ，4λ，－λ），所以无解，所以a，u不共线，所以l，α不垂直，故B错误；对于C，因为u·v＝－6＋8－2＝0，所以u⊥v，所以α⊥β，故C正确；对于D，因为a·u＝－15，所以a，u不垂直，所以l，α不平行，故D错误. 8.已知n＝（1，0，1）为平面α的一个法向量，点P（3，2，1）位于平面α内，写出平面α内异于点P的另一个点的坐标　（2，0，2）（答案不唯一）　. 解析：令平面α内异于点P的另一个点的坐标A（x，y，z），则＝（x－3，y－2，z－1），由n＝（1，0，1）为平面α的一个法向量，则n·＝x－3＋0＋z－1＝0，所以x＋z＝4，故A（2，0，2）满足要求.故答案为（2，0，2）（答案不唯一）. 9.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝　　. 解析：如图所示，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意可得P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），O（1，1，0），则F（1，0，1），E（0，1，1），所以＝（1，2，－1），＝（－1，1，0），设平面EFC的法向量为n ＝（x，y，z），则⇒令x＝1，则得一个法向量为n＝（1，1，3）.因为OG∥平面EFC，则n·＝0，设G（0，0，a），则＝（－1，－1，a），所以－1－1＋3a＝0，解得a＝，所以G（0，0，），即AG＝. 10.〔一题多解〕如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证： （1）PB∥平面EFG； （2）平面EFG∥平面PBC. 证明：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两两垂直. 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）. 法一　＝（0，1，0），＝（1，2，－1）， 设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z）， 则即令z＝1，则n＝（1，0，1）为平面EFG的一个法向量， ∵＝（2，0，－2），·n＝0，∴n⊥， ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. 法二　＝（2，0，－2），＝（0，－1，0），＝（1，1，－1）. 设＝s＋t， 即（2，0，－2）＝s（0，－1，0）＋t（1，1，－1）， ∴解得s＝t＝2. ∴＝2＋2，又与不共线， ∴，与共面. ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. （2）由（1）知＝（0，1，0），＝（0，2，0）， ∴＝2，∴BC∥EF. 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC. 11.（数学文化）《九章算术》是我国古代数学名著.书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E，F分别为PD，PB的中点，G为直线CP上的动点，PA＝2，AB＝1，若AG⊥平面EFC，则＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，在A处建立空间直角坐标系如图所示，设AD＝a，则A（0，0，0），P（0，0，2），C（1，a，0），E（0，，1）， F（，0，1），所以＝（，－，0），＝（0，0，2），＝（1，a，－2），＝（1，，－1），设平面EFC的法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝a，得y＝1，z＝，所以法向量为n＝（a，1，），设＝λ，因为＝＋＝＋λ＝（λ，aλ，2－2λ），因为AG⊥平面EFC，则∥n，所以＝＝，解得λ＝，则＝. 12.〔多选〕如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下结论，其中正确的是（　　） A.·＝0 B.AB⊥DC C.BD⊥AC D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 解析：BC　建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系（图略），设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A（0，0，1），所以＝（1，0，－1），＝（0，1，－1），＝（0，1，0），＝（－1，0，0），从而有·＝0＋0＋1＝1，故A错误；·＝0，故B正确；·＝0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为＝（－1，0，0），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由·n＝x－z＝0，·n＝y－z＝0，取z＝1，则x＝1，y＝1，故n＝（1，1，1），·n＝－1，故D错误. 13.在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2，1）.若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝，则n的坐标为　（－2，4，1）或（2，－4，－1）　. 解析：据题意，得＝（－1，－1，2），＝（1，0，2）.设n＝（x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴即可得∵｜n｜＝，∴＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）. 14.〔一题多解〕如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.求证： （1）AE⊥CD； （2）PD⊥平面ABE. 证明：（1）法一　∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAC， ∴平面PAC⊥底面ABCD， ∴过E作EF⊥底面ABCD交AC于F， ∴AF是AE在底面ABCD上的射影. ∵AF⊂AC，AC⊥CD， ∴AE⊥CD. 法二　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA＝AB＝BC＝1，则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1）. 因为∠ABC＝60°，AB＝BC，所以△ABC为正三角形. 所以C（，，0），E（，，），＝（，，0）， 设D（0，y1，0），则＝（－，y1－，0）， 由AC⊥CD得·＝0， 即－＋（y1－）＝0，解得y1＝， 则D（0，，0），所以＝（－，，0）. 又＝（，，）， 所以·＝－×＋×＝0， 所以⊥，即AE⊥CD. （2）法一　由（1）知＝（1，0，0），＝（，，）， 设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 令y＝2，则n＝（0，2，－）. 又＝（0，，－1），显然＝n，所以∥n， 所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE. 法二　由（1）知＝（，，），＝（0，，－1）. 所以·＝×＋×（－1）＝0， 所以⊥，即PD⊥AE. 又＝（1，0，0），所以·＝0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $