1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（第2课时空间直角坐标系及其应用）（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦空间直角坐标系及其应用核心知识点，从平面直角坐标系过渡，系统梳理空间坐标系的建立要素、点的坐标表示、空间两点间距离及中点坐标公式，构建从基础概念到向量坐标应用的学习支架。 资料通过正方体中点坐标确定、对称点求解等实例培养空间观念（数学眼光），分基础、素养、迁移层次的练习训练逻辑推理（数学思维），用坐标语言表达空间关系（数学语言）。课中例题辅助教师授课，课后分阶练习帮助学生查漏补缺。

第一章 空间向量与立体几何 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第2课时　空间直角坐标系及其应用 课标要点 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 学习重难点 重点： 1.点在空间直角坐标系中的坐标表示. 2.空间直角坐标系中两点之间的距离公式与中点坐标公式． 难点： 应用空间直角坐标系解决问题． 知识点 空间直角坐标系 (1)定义 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． (2)坐标轴 在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴． (3)坐标平面 通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面． (4)z轴的正方向 一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． (5)画法 在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直，如图①②所示． (6)空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，设M为空间中的一个点，过M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，设这些平面与x轴、y轴、z轴依次交于点P，Q，R，且P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)．此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． (7)卦限 三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限． (8)空间直角坐标系中向量的坐标 在空间中建立了空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}是单位正交基底，且向量的坐标与P点的坐标相同，即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z)． 特别提醒 特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示 点的位置 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 zOx平面 坐标表示 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 随学随练 1．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高二下·上海·期中）已知空间向量的坐标为，则________. 知识点 空间向量坐标的应用 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)AB＝||＝ ； (3)线段AB的中点M的坐标为． 特别提醒 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心D的坐标为. 随学随练 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）空间直角坐标系中，已知线段，其中点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 题型确定空间中点的坐标 ▌例1 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．试写出点E，F，G，H的坐标． ▌对点练1-1．在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,,的坐标分别为　　　　.  题型空间中点的对称 ▌例1在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x轴对称的点的坐标是________，关于xOy平面对称的点的坐标是________，关于点A(1，0，2)对称的点的坐标是________． ▌对点练1-1在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标; (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标. 基础通关 1．（25-26高二下·江苏泰州·期末）已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 3．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知．若，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 7．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 9．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 10．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知向量，向量，若，则__________. 11．（25-26高二上·上海·期末）已知空间向量，，若，则________． 12．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 素养提升 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 15．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 16．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 迁移创新 17．（25-26高二上·江西宜春·期末）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 18．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，，，则与所成角的大小为______． 19．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 20．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第2课时　空间直角坐标系及其应用 课标要点 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 学习重难点 重点： 1.点在空间直角坐标系中的坐标表示. 2.空间直角坐标系中两点之间的距离公式与中点坐标公式． 难点： 应用空间直角坐标系解决问题． 知识点 空间直角坐标系 (1)定义 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． (2)坐标轴 在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴． (3)坐标平面 通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面． (4)z轴的正方向 一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． (5)画法 在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直，如图①②所示． (6)空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，设M为空间中的一个点，过M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，设这些平面与x轴、y轴、z轴依次交于点P，Q，R，且P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)．此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． (7)卦限 三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限． (8)空间直角坐标系中向量的坐标 在空间中建立了空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}是单位正交基底，且向量的坐标与P点的坐标相同，即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z)． 特别提醒 特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示 点的位置 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 zOx平面 坐标表示 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 随学随练 1．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意得. 2．（25-26高二下·上海·期中）已知空间向量的坐标为，则________. 【答案】 【详解】因为空间向量的坐标为，所以. 知识点 空间向量坐标的应用 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)AB＝||＝ ； (3)线段AB的中点M的坐标为． 特别提醒 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心D的坐标为. 随学随练 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】空间点到平面的距离即为该点坐标的绝对值. 【详解】因为，所以点P到平面Oxy的距离为5. 2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）空间直角坐标系中，已知线段，其中点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间两点间的距离公式计算即可得解. 【详解】已知点，若点的坐标为， 则，故A错误； 若点的坐标为，则，故B正确； 若点的坐标为，则，故C错误； 若点的坐标为，则，故D错误. 题型确定空间中点的坐标 ▌例1 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．试写出点E，F，G，H的坐标． 如图，点E在z轴上，它的横、纵坐标均为0，又E为DD1的中点，故点E的坐标为. 过点F作FM⊥AD于点M，FN⊥CD于点N， 由平面几何知识，知FM＝，FN＝， 故点F的坐标为. 点G在y轴上，其横、竖坐标均为0， 又CG＝CD，所以GD＝， 故点G的坐标为. 过点H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点， 故HK＝，CK＝. 所以DK＝，故点H的坐标为. ▌对点练1-1．在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,,的坐标分别为　　　　.  答案　(-2,-1,-4),(-4,2,-4) 解析　设,,同向的单位方向向量分别为i,j,k. 因为=-=-(+)=- =---=-2i-j-4k, 所以=(-2,-1,-4). 因为=-=-(+)=-- =-4i+2j-4k, 所以=(-4,2,-4). 题型空间中点的对称 ▌例1在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x轴对称的点的坐标是________，关于xOy平面对称的点的坐标是________，关于点A(1，0，2)对称的点的坐标是________． 点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以点P关于x轴对称的点P1的坐标为(－2，－1，－4)．点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量均不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以点P关于xOy平面对称的点P2的坐标为(－2，1，－4)．设点P关于点A对称的点的坐标为P3(x，y，z)，由中点坐标公式可得解得故点P关于点A(1，0，2)对称的点P3的坐标为(4，－1，0)． ▌对点练1-1在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标; (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标. (1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数, 所以对称点坐标为P1(-2,-1,-4). (2)由点P关于Oxy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数, 所以对称点坐标为P2(-2,1,-4). (3)设对称点为P3(x,y,z), 则点M为线段PP3的中点, 由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6, y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12, 所以P3的坐标为(6,-3,-12). 基础通关 1．（25-26高二下·江苏泰州·期末）已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 2．（25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 3．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 4．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由题意可得，则． 5．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据空间向量共线定理，代入公式，即可求解. 【详解】由，可知，即， 得，解得：，. 故选：D 6．（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知．若，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可得到方程，求解即得. 【详解】若，则，则， 解得或3. 故选：C. 7．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用向量的坐标运算进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B 8．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 9．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 10．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知向量，向量，若，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 即，解得. 11．（25-26高二上·上海·期末）已知空间向量，，若，则________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，可得出向量的坐标，再利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为空间向量，，且， 则，解得，， 所以，故. 12．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据空间向量共面定理可得存在实数，使得，根据坐标运算得到方程组，解得即可. 【详解】因为， 所以与不共线， 又因为点在平面内， 所以存在实数，使得， 即， 所以，解得. 故选：A 素养提升 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【详解】在上的投影向量为 . 故选：C 14．（25-26高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】根据三点共线得出空间向量平行，应用平行坐标关系计算求解. 【详解】因为三点共线， 所以，且， 所以， 则. 故选：B. 15．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 【答案】 【详解】由题意，则，所以， 解得，所以. 16．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 【答案】D 【分析】对于A，在上的投影向量为，计算即可；对于B，判断，，是否共面即可；对于C，系数和是否为1即可判断P，A，B，C四点是否共面；对于D，先求出的正负，讨论，共线时的特殊情况即可. 【详解】对于A，在上的投影向量为，A错； 对于B，是空间的一组基底，而，即，，是共面向量，故不是空间的一组基底，即B错误； 对于C，在中，故P，A，B，C四点不共面，C错； 对于D，，若，则，可得，若，共线，则，解得，即当时，，不共线，，的夹角为锐角，故D正确. 故选：D. 迁移创新 17．（25-26高二上·江西宜春·期末）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【分析】根据空间向量平行的坐标表示判断A；根据向量共线定理判断B；求出向量在向量上的投影向量，判断C；求出点关于平面对称的点的坐标，判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，所以A说法正确； 对于B，当时，恒成立，而实数不唯一或不存在，所以B说法错误； 对于C，向量在向量上的投影向量是，所以C说法错误； 对于D，点关于平面对称的点的坐标是，所以D说法错误. 故选：BCD. 18．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，，，则与所成角的大小为______． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的公式即可得解. 【详解】由题意知，，， 设与所成角为， 则， 因为，所以， 所以与所成角的大小为. 故答案为：. 19．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 20．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出的坐标，结合模长的坐标运算可得答案； （2）根据向量夹角公式可得答案； （3）根据数量积为0可求答案. 【详解】（1）因为，所以； 所以. （2）因为，，所以， 因为，所以与的夹角为. （3）， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $