阶段检测（1）(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 聚焦空间向量基础运算与几何应用，以题构建“概念-运算-应用”递进逻辑，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5题|向量加减、数乘、数量积及坐标转换|从向量基本概念到坐标运算，形成运算体系| |几何应用|6题|共面判定、投影向量、模长计算|结合正方体、直三棱柱等模型，体现向量工具性| |综合证明|3题|四点共面、线面平行、垂直证明|通过空间几何问题，深化向量方法的推理应用|

阶段检测（一） （时间：60分钟　满分：100分） 一、单项选择题（共7小题，每小题5分，共35分） 1.已知=（2，3，1），=（4，5，3），那么向量=（　　） A．（－2，－2，－2）　 B．（2，2，2） C．（6，8，4）　 D．（8，15，3） 2.（2026•商丘月考）若a与b不共线，且m=a＋b，n=a－b，p=a，则（　　） A．m，n，p共线　 B．m与p共线 C．n与p共线　 D．m，n，p共面 3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若=a，=b，=c，则=（　　） A．a＋b－c　 B．a－b＋c C．b－a－c　 D．b－a＋c 4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，若向量a在基底{，，}下的坐标为（2，1，－3），则向量a在基底{，，}下的坐标为（　　） A．（2，1，－3）　 B．（－1，2，－3） C．（1，－8，9）　 D．（－1，8，－9） 5.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF=DD1，记=x＋y＋z，若x＋y＋z=，则=（　　） A．　 B． C．　 D． 6.（2026•河北保定开学考试）如图，A1B1，AB分别是圆台上、下底面的两条直径，且AB=2A1B1，AB∥A1B1，C1是上靠近点B1的三等分点，则在上的投影向量是（　　） A．　 B． C．　 D． 7.（2026•成都期中）如图，E是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1内部（含表面）一动点，则|＋＋|的最大值为（　　） A．　 B．2 C．　 D．3 二、多项选择题（共2小题，每小题6分，共12分） 8.已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），则下列说法正确的是（　　） A．||= B．与是共线向量 C．和夹角的余弦值是0 D．与同向的单位向量是（－，，） 9.如图，正方体ABCD－EFGH的棱长为2，K为正方形ABCD的中心，M，N分别为棱BF，EF的中点，下列结论正确的有（　　） A．=－＋ B．•=1 C．||= D．△KMN的面积为 三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分） 10.（2026•安徽六安高二期中）已知a=（2，－2，4），b=（－4，2，x），且a⊥b，则|a＋b|=　　　　． 11.（2026•福建厦门二中期中）斗拱是中国建筑特有的一种结构，是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐（如图1）．某古代建筑屋顶的简化结构如图2，OB，OC是互相垂直的横梁，OD是与横梁垂直的立柱，从柱顶O上加的一层层探出弓形的承重结构即为斗拱OA，其中，OB=OC=OD，且∠AOB，∠AOC和∠AOD都为钝角，若cos〈，〉=－，cos〈，〉=－，则cos〈，〉=　　　　． 四、解答题（共3小题，共43分） 12.（13分）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=ON，AP=AN． （1）若∠AOB=60°，∠AOC=∠BOC=120°，OA=OB=OC=1，求•； （2）试用向量，，表示． 13.（15分）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． （1）求证：E，F，G，H四点共面； （2）求证：BD∥平面EFGH； （3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有=（＋＋＋）． 14.（15分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． （1）求BN的长； （2）求A1B与B1C所成角的余弦值； （3）求证：BN⊥平面C1MN． 阶段检测（一） 1.B　向量=－=（4，5，3）－（2，3，1）=（2，2，2），故选B． 2.D　由于（a＋b）＋（a－b）=2a，即m＋n=2p，即p=m＋n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面． 3.C　=－=（－）－，∵==c，∴=b－a－c． 4.B　因为ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，所以{，，}，{，，}都是单位正交基底，因为a=2＋－3=2－－3=－＋2－3，所以向量a在基底{，，}下的坐标为（－1，2，－3）． 5.B　设=λ，因为=＋＋＋=－λ－＋＋=－λ－＋＋=－＋＋（－λ），所以x=－1，y=1，z=－λ，因为x＋y＋z=－λ=，所以λ=． 6.C　如图，取C1在下底面的投影C，作CD⊥AB，垂足为D．连接CO，CC1，则∠COD=，在上的投影向量是．设上底面的半径为r，则OD=r，AD=r=AB，故在上的投影向量是．故选C． 7.C　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），设E（x，y，z）（0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1），则=（－x，－y，－z），=（1－x，－y，－z），=（－x，1－y，－z），则＋＋=（1－3x，1－3y，－3z）．故|＋＋|=，当x=y=z=1时取到最大值． 8.ACD　=（2，1，0），=（－3，1，1），=（－1，2，1），所以||==，A选项正确；≠，所以与不共线，B选项错误；•=－2＋2=0，所以和夹角的余弦值是0，C选项正确；与同向的单位向量是==（－，，），D选项正确．故选A、C、D． 9.ACD　以点E为坐标原点，EF，EH，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，2），D（0，2，2），E（0，0，0），K（1，1，2），M（2，0，1），N（1，0，0）．对于A，=（2，0，0），=（0，2，0），=（0，0，－2），=（1，－1，－1），－＋=（1，－1，－1），A正确；对于B，•=2＋0＋0=2，B错误；对于C，||==，C正确；对于D，因为=（－1，0，－1），则•=－1＋0＋1=0，所以⊥，||=，||==，所以S△KMN=||•||=，D正确． 10.　解析：∵a=（2，－2，4），b=（－4，2，x），且a⊥b，∴a•b=2×（－4）＋（－2）×2＋4x=0，解得x=3，∴a＋b=（2，－2，4）＋（－4，2，3）=（－2，0，7），∴|a＋b|==． 11.－　解析：由题可知OB，OC，OD两两垂直，以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设OB=OC=OD=1，可得B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，1），所以=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），设点A（a，b，c），可得=（a，b，c），设||==t．由cos〈，〉===－，可得a=－t，由cos〈，〉===－，可得b=－t．因为cos〈，〉==＜0，则c=－=－t，所以cos〈，〉=－． 12.解：（1）由题意得，=－． 因为∠AOB=60°，∠BOC=120°， OA=OB=OC=1， 所以•=（－）• =•－• =||•||cos∠BOC－||•||•cos∠AOB=1×1×cos 120°－1×1×cos 60°=－－=－1. （2）因为M是四面体OABC的棱BC的中点， 所以=（＋）． 因为MN=ON，所以=， 又因为AP=AN，所以=， 所以=＋=＋ =＋（－）=＋ =＋×=＋ =＋×（＋） =＋＋． 13.证明：（1）如图，连接BG，则=＋=＋（＋）=＋＋=＋． 由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面． （2）因为=－=－=（－）=， 又E，H，B，D不在同一条直线上，所以EH∥BD． 又因为EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH． （3）任选一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如图所示． 由（2）知=，同理=， 所以=，所以四边形EFGH是平行四边形． 所以EG，FH交于一点M且被M平分． 故=（＋）=＋=×［（＋）］＋×［（＋）］=（＋＋＋）． 14.解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz． 依题意得B（0，1，0），N（1，0，1）， ∴||==， ∴线段BN的长为． （2）由（1）中建立的坐标系得 A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2）， ∴=（1，－1，2），=（0，1，2）， ∴•=1×0＋（－1）×1＋2×2=3. 又||=，||=， ∴cos〈，〉==． 故A1B与B1C所成角的余弦值为． （3）证明：由（1）中建立的坐标系得C1（0，0，2）， N（1，0，1），M（，，2）， ∴=（，，0），=（1，0，－1）， =（1，－1，1）， ∴•=×1＋×（－1）＋0×1=0， •=1×1＋0×（－1）＋（－1）×1=0. ∴⊥，⊥， ∴BN⊥C1M，BN⊥C1N， 又∵C1M⋂C1N=C1，C1M⊂平面C1MN， C1N⊂平面C1MN， ∴BN⊥平面C1MN． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $