1.4.2 第2课时：用空间向量研究夹角问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 同步练习以“用空间向量研究夹角问题”为核心，采用“夯基础-提能力-迎挑战”三层设计，题量配比合理，梯度从基础概念到综合应用再到探究创新，有效巩固知识并发展数学抽象能力、空间观念与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|线线角、线面角、面面角的概念与基本计算|选择、多选、填空题结合，注重概念辨析和基本运算，如方向向量夹角与线线角关系判断，培养推理能力和运算能力| |提能力|几何体中角的综合计算与应用|解答题为主，如正四棱锥中结合二面角求异面直线所成角，强调知识迁移，发展空间观念和逻辑推理| |迎挑战|动态几何、存在性问题中的角研究|探究性解答题，如折叠问题中二面角变化下的线线角最值，培养创新意识和模型观念|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 第2课时：用空间向量研究夹角问题 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·浙江·阶段检验）直线l1，l2的方向向量分别是，，若与所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则（    ） A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ| 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高二上·山东·阶段检测）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·贵州安顺·期末）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为，则这个锐二面角的平面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·贵州·期中）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·贵州黔东南·阶段检测）（多选）直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面、所成夹角的大小为 9．（25-26高二下·福建厦门·期中）如图，正方体，点是的中点，点是底面的中心，是上的任意一点，则直线与所成的角大小为__________. 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正四棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的一个法向量是________（答案不唯一，写出一个坐标即可），直线与平面所成角的正弦值等于________. 11．（25-26高二上·辽宁营口·期中）若面的法向量，面的法向量，两面夹角的正弦值为，则________. 12．（25-26高二上·山东济宁·期末）如图，三棱柱中，平面平面，且，，求异面直线与所成角的余弦值（   ） A． B． C． D． 提能力 综合用 · 善迁移 13．（25-26高二·全国·课后作业）在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 14.（25-26高二上·广东·期末）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,建立如图所示的空间直角坐标系,则平面BDC1的一个法向量是　　　　(答案不唯一,写出一个坐标即可),直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于　　　　.  15.（25-26高二上·福建·期末）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,在线段AB上是否存在一点E,使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为?若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由. 迎挑战 拓思维 · 求突破 16.（24-25高二上·山东·期末）如图,在四边形ABCD中,AB=BD=DA=4,BC=CD=2,现将△ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C的大小在时,直线AB和CD所成的角为α,则cos α的最大值为(　　) A. B. C. D. 17.（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2AB,△PAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点. (1)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小; (2)在线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角的大小为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 第2课时：用空间向量研究夹角问题 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·浙江·阶段检验）直线l1，l2的方向向量分别是，，若与所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则（    ） A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ| 【答案】D 【分析】由直线夹角与直线方向向量夹角的关系可直接得答案. 【详解】由题意可得α＝θ或α＝π－θ，且，因而cos α＝|cos θ|， 故选：D. 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 3．（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可. 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 4．（24-25高二上·山东·阶段检测）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个平面的夹角公式，再利用两个平面的夹角，即可求得结果. 【详解】由向量与， 得， 又，则，所以平面，的夹角的大小为． 故选：C． 5．（25-26高二上·贵州安顺·期末）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，列出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】根据题意，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则. 所以. 所以与所成角的余弦值. 故选：C.    6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为，则这个锐二面角的平面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量求两个向量的夹角的余弦公式求解即可. 【详解】由＝＝, 这个锐二面角的平面角的余弦值为. 故选：A. 7．（25-26高二下·贵州·期中）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系后结合线面角的公式计算即可． 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，，所以， 因为，所以,， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，所以. 8．（24-25高二上·贵州黔东南·阶段检测）（多选）直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面、所成夹角的大小为 【答案】BCD 【分析】利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，若，则或，A错； 对于B，若，则，B对； 对于C，若，则直线与平面所成角的大小为，C对； 对于D，若，则平面、所成夹角的大小为，D对. 故选：BCD. 9．（25-26高二下·福建厦门·期中）如图，正方体，点是的中点，点是底面的中心，是上的任意一点，则直线与所成的角大小为__________. 【答案】90° 【分析】是动直线，因此猜想这个角可能是90°，为此证明平面，把平面在正方体中补全(如图)，即可证． 【详解】如图，分别取的中点，连接，显然，，∴共面， ∵平面，平面，∴， 在正方形中，易得，∴， ∴，∴， 又，∴平面，，则平面， ∴， ∴直线与所成的角为90°． 故答案为：90°． 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正四棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的一个法向量是________（答案不唯一，写出一个坐标即可），直线与平面所成角的正弦值等于________. 【答案】 / 【分析】平面的法向量为，由求出即可；利用空间线面角公式求解即可； 【详解】不妨设，则， 由题图可知，，，，， 故，，. 设平面的法向量为，则取 令，则，. 故平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则. 故答案为：；. 11．（25-26高二上·辽宁营口·期中）若面的法向量，面的法向量，两面夹角的正弦值为，则________. 【答案】 【解析】设平面的夹角为，利用空间向量夹角公式得：，由已知，知，建立关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】设平面的夹角为，又面的法向量，面的法向量， 则利用空间向量夹角公式得： 由已知得，故 故，即，解得： 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题考查利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两直线所成的角为(),； ②直线与平面所成的角为(),； ③二面角的大小为(), 12．（25-26高二上·山东济宁·期末）如图，三棱柱中，平面平面，且，，求异面直线与所成角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系,由异面直线所成角的空间向量进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设所求的角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 提能力 综合用 · 善迁移 13．（25-26高二·全国·课后作业）在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设正四棱锥底面边长为2，则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的正切值为，易得其高为.取底面正方形的中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量进行求解即可 【详解】如图所示.    不妨设正四棱锥底面边长为2，底面中心为， 连，则平面， 取中点，连，则， 所以为侧面与底面所成的角， 即，所以 取底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 所以，. 设与所成的角为，则. 故选：B. 14.（25-26高二上·广东·期末）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,建立如图所示的空间直角坐标系,则平面BDC1的一个法向量是　　　　(答案不唯一,写出一个坐标即可),直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于　　　　.  【答案】　(-2,2,1)　 【详解】　不妨设AB=1,则AA1=2, 由题图可知D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),B1(1,1,0),=(1,1,0), =(0,1,-2),=(1,0,-2). 设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z), 则 即 令z=1,则y=2,x=-2. 故平面BDC1的一个法向量为n=(-2,2,1), 设CB1与平面BDC1所成角为θ, 则sin θ==. 15.（25-26高二上·福建·期末）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,在线段AB上是否存在一点E,使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为?若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由. 【答案】　在线段AB上存在点E,满足题意，此时AE=3. 【详解】　假设存在点E,设AE=a(0≤a≤4). 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则有E(3,a,0),C1(0,4,2),D(0,0,0). 设平面DEC1的法向量为n=(x,y,z), 又=(0,4,2),=(3,a,0), 故 所以 即 令y=1,得x=-,z=-2, 即n=, 又易知平面DEC的一个法向量为m=(0,0,1), ∴|cos<m,n>|===,解得a=3, 所以在线段AB上存在点E,使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为,此时AE=3. 迎挑战 拓思维 · 求突破 16.（24-25高二上·山东·期末）如图,在四边形ABCD中,AB=BD=DA=4,BC=CD=2,现将△ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C的大小在时,直线AB和CD所成的角为α,则cos α的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【详解】　取BD的中点O, 连接AO,CO. ∵AB=BD=DA=4, BC=CD=2, ∴CO⊥BD,AO⊥BD,且CO=2,AO=2, ∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,以O为原点,OC所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 则B(0,-2,0),C(2,0,0),D(0,2,0), 设二面角A-BD-C的平面角为θ, 则θ∈, ∠AOC=θ,A(2cos θ,0,2sin θ), ∴=(2cos θ,2,2sin θ), =(-2,2,0), 则cos α==. ∵θ∈,∴cos θ∈, ∴|1-cos θ|∈, ∴cos α的最大值为.故选C. 17.（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2AB,△PAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点. (1)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小; (2)在线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角的大小为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【答案】　（1） （2）在线段PA上存在点M, 满足题意，此时=. 【详解】　(1)因为△PAD是正三角形, O为AD的中点,所以PO⊥AD,因为CD⊥平面PAD,PO⊂平面PAD, 所以PO⊥CD,因为CD,AD⊂平面ABCD,CD∩AD=D, 所以PO⊥平面ABCD,因为底面ABCD是矩形,且O,G分别为AD,BC的中点, 所以OG∥AB,因为AB⊥AD,则OG⊥AD,以点O为坐标原点,OA,OG,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=2,则AD=4,A(2,0,0),G(0,2,0),P(0,0,2),E(-1,1,),F(-1,0,), 则=(0,-1,0),=(1,1,-), 设平面EFG的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=,可得n=(,0,1), 易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 所以|cos<m,n>|==, 因此,平面EFG与平面ABCD的夹角为. (2)假设线段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角的大小为,连接GM, 设=λ=λ(2,0,-2) =(2λ,0,-2λ),其中0≤λ≤1, 则=+=(0,-2,2)+(2λ,0,-2λ)=(2λ,-2,2-2λ). 由题意可得|cos<n,>|===, 整理可得4λ2-6λ+1=0, 因为0≤λ≤1,所以λ=. 因此,在线段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角的大小为,此时=. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $