1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《用空间向量研究距离问题》同步练通过“夯基础-提能力-迎挑战”三层设计，以11:3:2题量配比实现从单一距离计算到综合探究的进阶，强化空间向量工具性，适配新授课知识巩固与能力分层需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|点到线、点到面、线到面等单一距离计算|结合课后作业与阶段检测，通过选择、填空巩固空间向量距离公式应用，培养空间观念| |提能力|多面体中距离综合应用|以四棱锥、正三棱柱为载体，设置多选与解答题，强化知识迁移与推理能力| |迎挑战|复杂距离及存在性探究|通过正方体多问距离、四棱锥点存在性问题，发展创新意识与模型观念|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 第1课时：用空间向量研究距离问题 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设，先表示的坐标，进而表示的坐标，再根据，求得，进而得到的坐标求解. 【详解】设， 则， ， 因为， 所以，即， 解得， 所以， 所以， 故选：C 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（    ） A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21 【答案】C 【分析】根据点到平面距离的向量法公式求解即可. 【详解】，而，     即， 解得或－11. 故选：C 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）在三棱柱中，，则该三棱柱的高为______． 【答案】 【分析】利用向量法求点到平面的距离，确定三棱柱的高. 【详解】设平面的一个法向量为，则，所以， 令，则，，所以是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为，故三棱柱的高为. 故答案为： 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在长方体中，，则直线到平面的距离是（    ） A．5 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可》 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则．设．设平面的法向量为， 由，得 ，∴可取． 又，∴点到平面的距离为, ∥，平面，平面， ∴∥平面， 到平面的距离为． 故选：C 5．（24-25高二下·湖北·期中）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 6．（25-26高二下·安徽·期中）在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由几何体为正方体，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面D1EF的法向量，结合向量的点到平面距离公式求得点M到平面D1EF的距离，结合N为EM中点即可求解 【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1）， ＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1）， 设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得＝（1，0，2）， ∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为 故选：D． 7．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，已知点，则点到平面的距离为_________. 【答案】 【分析】直接利用空间向量中，点到平面的距离公式求解即可． 【详解】由题意，平面的一个法向量为，，所以， 所以点到平面的距离， 故答案为： 8．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）的两条直角边，，平面，，则点到斜边的距离是（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】过作CM，交于，连接，通过证明平面PCM，可得点到斜边的距离为线段的长，后由结合勾股定理，可得答案. 【详解】的两条直角边，，. 过作CM，交于，连接，因平面PCM，则平面PCM. 又平面PCM，则，点到斜边的距离为线段的长. 由，得， .点到斜边的距离为3. 故选：B.    9．（25-26高二上·福建南平·期中）已知正方体的棱长为2，，，分别是，，的中点，求点到平面的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正方体中，，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，根据题中条件，求出平面的一个法向量，以及直线的方向向量，根据空间向量的方法，即可求出点到面的距离. 【详解】在正方体中，，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，，，分别是，，的中点， 所以，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，则，因此， 不妨令，则， 设直线与平面所成角为， 则 所以点到平面的距离为. 故选：C. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱，底面为直角梯形，且，，是的中点．求直线与平面的距离． 【答案】 【分析】由题意可知直线平面，直线与平面的距离可转化为点到平面的距离，故建立空间直角坐标系，用坐标法计算距离即可. 【详解】解：在直四棱柱中，底面为直角梯形，，如图所示，建立空间直角坐标系， ，且，是的中点， 则 ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，∴是平面的一个法向量， 则点到平面的距离， 又，平面ABE，平面， ∴平面， 到平面的距离为． 11.（25-26高二上·全国·课后作业）已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 【答案】 【分析】先证明平面 平面 ，再建立空间直角坐标系，求出以及平面 的法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案. 【详解】正方体中，,故四边形, 所以 ，同理 ， 所以平面 平面 ， 以D为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则 ，所以 ， 令 ，则 ， 则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d， 则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离， 所以平面与平面间的距离为． 提能力 综合用 · 善迁移 12.(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为4的正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,则下列说法正确的有(　　) A.AC⊥PB B.点C到直线PA的距离为2 C.直线AB到平面PDC的距离为2 D.点D到平面PBC的距离为 【答案】　BD 【详解】　取AD的中点为E,连接PE. 因为PA=PD, 所以PE⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD. 以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,2), 所以=(-4,4,0),=(2,4,-2), 所以·=-8+16=8≠0, 所以AC不垂直于PB,故A中说法错误; =(2,0,-2),=(-2,4,-2), 所以点C到直线PA的距离 d1==2, 故B中说法正确; =(0,-4,0), 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则 即 令z=1,得x=-,所以n=(-,0,1), 则点A到平面PDC的距离 d2===2, 又=,AB⊄平面PCD, 故AB∥平面PCD, 所以直线AB到平面PDC的距离为2,故C中说法错误; 设平面PBC的法向量为m=(a,b,c), 则即 令c=2,得b=,所以m=(0,,2), 所以点D到平面PBC的距离 d3===, 故D中说法正确. 13．（25-26高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离d等于（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】欲求底面中心到侧面的距离，先利用建立空间直角坐标系求出点A，B，P的坐标，及侧面的方程，最后利用所给公式计算即可． 【详解】以底面中心为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：    则， 设平面的方程为，将点A，B，P的坐标代入计算得，，，所以方程可化为，即， 所以． 故选：B. 14．（2026高二·全国·专题练习）已知在正三棱柱中，D是BC的中点，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，过点D且与平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，再由，可得答案； （2）由（1）知平面的一个法向量为，求出，再由点到平面的距离的向量求法可得答案. 【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，过点D且与平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， ∴， ∵，∴， ∵平面，平面AB1D； （2）由（1）知平面的一个法向量为， 且， ∴点到平面的距离. 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中， 为线段的中点， 为线段的中点. (1)求点到直线的距离; (2)求直线到直线的距离; (3)求点到平面的距离; (4)求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立坐标系，求出向量坐标，利用点到直线的向量公式求解即可； （2）根据平行关系，把直线间的距离转化为点到直线的距离，代入公式求解即可； （3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式可得答案； （4）线面距转化为点面距，利用点面距的公式可求答案. 【详解】（1）以为原点， ， ，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则； ，则， ， 所以向量在直线上的投影向量的长度为. 所以点到直线的距离为. （2）直线与直线平行 ， 因此直线到直线的距离 ， 即点到直线的距离. ， 则, 所以向量在直线上的投影向量的长度为. 所以点到直线的距离为, 故直线到直线的距离为. （3），设平面的法向量， 则，取 ， 则 ， ， 所以平面的一个法向量为 . 又， 所以， 所以点到平面的距离为. （4）因为， 平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即直线到平面的距离 . 由 ( 3 ) 可知平面的一个法向量为. 因为，所以. 所以点到平面的距离为， 故直线到平面的距离为. 16．（25-26高二上·江苏·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，．问：线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由． 【答案】线段AD上是存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，且 ． 【分析】建立空间直角坐标系，设，由空间向量法求得到平面的距离，从而求得值，得结论． 【详解】取中点，连接，由得， 又平面平面ABCD，平面底面ABCD，平面，所以平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，平面则为平面， ，因此，， ，，， ，，设平面的一个法向量是， 则，取得， 设，，， ， 到平面的距离为，． ． 所以线段AD上是存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，且 ． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 第1课时：用空间向量研究距离问题 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（    ） A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）在三棱柱中，，则该三棱柱的高为______． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在长方体中，，则直线到平面的距离是（    ） A．5 B．8 C． D． 5．（24-25高二下·湖北·期中）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽·期中）在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，已知点，则点到平面的距离为_________. 8．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）的两条直角边，，平面，，则点到斜边的距离是（    ） A．5 B．3 C． D． 9．（25-26高二上·福建南平·期中）已知正方体的棱长为2，，，分别是，，的中点，求点到平面的距离（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱，底面为直角梯形，且，，是的中点．求直线与平面的距离． 11.（25-26高二上·全国·课后作业）已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 提能力 综合用 · 善迁移 12.(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为4的正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,则下列说法正确的有(　　) A.AC⊥PB B.点C到直线PA的距离为2 C.直线AB到平面PDC的距离为2 D.点D到平面PBC的距离为 13．（25-26高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离d等于（    ） A． B． C．2 D．5 14．（2026高二·全国·专题练习）已知在正三棱柱中，D是BC的中点，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中， 为线段的中点， 为线段的中点. (1)求点到直线的距离; (2)求直线到直线的距离; (3)求点到平面的距离; (4)求直线到平面的距离. 16．（25-26高二上·江苏·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，．问：线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $