1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 以向量法为核心，系统覆盖线线、线面、面面平行判定，形成从概念到应用的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|向量共线判定线线平行；法向量平行判定面面平行；线面平行的向量条件|从空间向量概念出发，推导线线、线面、面面平行判定原理，构建“概念-判定-应用”逻辑链| |综合运用|5题（含14题一题多解、15题探究性）|共面向量定理证线面平行；法向量法证面面平行|结合正方体、四棱锥等模型，强化向量法在复杂几何情境中的迁移应用，培养逻辑推理与数学表达能力|

第二课时　空间中直线、平面的平行 （时间：60分钟　满分：103分） ［备注：单选、填空题5分，多选题6分］ 1.在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（－2，－1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（　　） A．垂直　 B．平行 C．异面　 D．相交但不垂直 2.已知平面α的一个法向量为（1，2，－2），平面β的一个法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k=（　　） A．2　　 B．－4　　C．4　　 D．－2 3.（2026•驻马店月考）已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m•n=0”是“l∥α”的（　　） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（　　） A．相交　 B．平行 C．垂直　 D．不能确定 5.〔多选〕已知a=（λ＋1，0，2），b=（6，2μ－1，2λ），若a∥b，则λ与μ的值可以是（　　） A.2，　 B．－， C．－3，　 D．－3，2 6.〔多选〕已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列说法中正确的是（　　） A．若直线l的一个方向向量为a=（1，－1，2），直线m的一个方向向量为b=（2，－2，4），则l∥m B．若直线l的方向向量为a=（0，1，－1），平面α的法向量为n=（1，－1，－1），则l∥α C．若平面α，β的法向量分别为n1=（0，1，3），n2=（1，0，2），则α∥β D．若平面α经过三个点A（1，0，－1），B（0，－1，0），C（－1，2，0），向量n=（1，u，t）是平面α的一个法向量，则u＋t= 7.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a=（2，m，1），A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），则实数m=　　　　． 8.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n=（2，2，4），若a=（1，1，2），则直线l与平面α的位置关系为　　　　；若a=（－1，－1，1），则直线l与平面α的位置关系为　　　　． 9.如图，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，以OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，OA=OB=1，OC=2，若存在一点D，使BD∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为　　　　． 10.（10分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别为A1B，AC的中点．求证：MN∥B1C． 11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB=，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为（　　） A．（1，1，1）　 B．（，，1） C．（，，1）　 D．（，，1） 12.〔多选〕已知四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=1，E是PB的中点，F是PC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法中正确的是（　　） A．平面ADE的一个法向量是（0，－1，1） B．直线AE∥平面PCD C．直线EF∥平面PAD D．直线DF∥平面PAB 13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4，E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点．若点P是平面AA1D1D内的动点，且满足PE∥平面B1MN，则线段PE长度的最小值为　　　　　． 14.（15分）〔一题多解〕如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证： （1）PB∥平面EFG； （2）平面EFG∥平面PBC． 15.（15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形．AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．若M是棱PA的中点，则棱BC上是否存在点F，使得MF∥PC． 第二课时　空间中直线、平面的平行 1.B　由题意得，=（－3，－3，3），=（1，1，－1），∴=－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点．∴AB∥CD． 2.C　因为α∥β，所以==，所以k=4. 3.D　若m•n=0，则l∥α或l⊂α；另一方面，若l∥α，则m•n=0.因此，“m•n=0”是“l∥α”的必要不充分条件．故选D． 4.B　根据题意建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（2，2，2），A1（2，2，0），C（0，0，2），B（2，0，2），∴M（2，1，1），N（1，1，2），∴=（－1，0，1）．又平面BB1C1C的一个法向量为n=（0，1，0），∴•n=－1×0＋0×1＋1×0=0，∴⊥n，又∵MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C． 5.AC　由a∥b，可设b=ka，即（6，2μ－1，2λ）=k（λ＋1，0，2），得解得μ=，λ=－3或2，故A、C都符合选项．故选A、C． 6.AD　对于A，b=2a，则a∥b，∴l∥m，故A中说法正确；对于B，a•n=0×1＋1×（－1）＋（－1）×（－1）=0，则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故B中说法错误；对于C，若n1=λn2（λ≠0），则（0，1，3）=λ（1，0，2），得此方程组无解，∴α∥β不成立，故C中说法错误；对于D，=（－1，－1，1），=（－1，3，0），∵n=（1，u，t）是平面α的法向量， ∴解得∴u＋t=，故D中说法正确．故选A、D． 7.－3　解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a=x＋y，=（1，0，－1），=（0，1，－1），∴（2，m，1）=x（1，0，－1）＋y（0，1，－1）=（x，y，－x－y），∴∴m=－3. 8.l⊥α　l∥α或l⊂α　解析：当a=（1，1，2）时，a=n，则l⊥α；当a=（－1，－1，1）时，a•n=（－1，－1，1）•（2，2，4）=0，则l∥α或l⊂α． 9.（－1，1，2）　解析：由题意得，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2），设所求点D的坐标为（x，y，z），则=（x，y－1，z），=（－1，0，2），=（－x，－y，2－z），=（－1，1，0）．由BD∥AC，DC∥AB⇒∥，∥，因此（k1，k2∈R），解得即点D的坐标为（－1，1，2）． 10.证明：如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），M（2，1，1），N（1，1，0），所以=（－1，0，－1），=（－2，0，－2）． 所以=2．所以∥，所以MN∥B1C． 11.C　由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）．设M（x，x，1），则=（x－，x－，1），=（，－，0），=（0，－，1）．设平面BDE的法向量为n=（a，b，c），则即所以取b=1，则n=（1，1，）．又AM∥平面BDE，所以n•=0，即2（x－）＋=0，得x=，所以M（，，1）．故选C． 12.AC　由题图得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（，，），F（0，，），所以=（1，0，0），=（，，），设平面ADE的法向量为n=（x，y，z），则令z=1，得y=－1，x=0，所以n=（0，－1，1），故A正确；易知平面PCD的一个法向量为=（1，0，0）．又因为=（－，，），•=－≠0，所以与不垂直，即AE与平面PCD不平行，故B不正确；易知平面PAD的一个法向量为=（0，1，0），又=（－，0，0），•=0，所以EF⊥DC，又EF⊄平面PAD，所以直线EF∥平面PAD，故C正确；设平面PAB的法向量为m=（x1，y1，z1），又=（0，1，0），=（1，0，－1），则令x1=1，得m=（1，0，1），又=（0，，），所以•m=≠0，所以直线DF与平面PAB不平行，故D不正确．故选A、C． 13.　解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AD=AA1=2，AB=4，E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点，所以B1（2，4，2），M（2，2，0），N（1，4，0），E（0，2，2），因为点P是平面AA1D1D内的动点，所以设P（x，0，z），设平面B1MN的法向量为m=（a，b，c），=（0，－2，－2），=（－1，0，－2），=（x，－2，z－2），所以有⇒⇒m=（－2，－1，1），因为PE∥平面B1MN，所以•m=－2x＋2＋z－2=0⇒z=2x，即=（x，－2，2x－2），||== =，所以当x=，z=时，线段PE长度有最小值=． 14.证明：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD，∴AB，AP，AD两两垂直． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）． 法一　=（0，1，0），=（1，2，－1）， 设平面EFG的法向量为n=（x，y，z）， 则即令z=1，则n=（1，0，1）为平面EFG的一个法向量， ∵=（2，0，－2），•n=0，∴n⊥， ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG． 法二　=（2，0，－2），=（0，－1，0），=（1，1，－1）． 设=s＋t， 即（2，0，－2）=s（0，－1，0）＋t（1，1，－1）， ∴解得s=t=2. ∴=2＋2，又与不共线，∴，与共面． ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG． （2）由（1）知=（0，1，0），=（0，2，0）， ∴=2，∴BC∥EF． 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC． 又EF⋂GF=F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC． 15.解：在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于点H，因为平面ABCD⊥平面PCD，且平面ABCD⋂平面PCD=CD，DH⊂平面PCD， 可得DH⊥平面ABCD，又AD⊥DC，所以AD，DC，DH两两垂直， 以D为原点，DA，DC，DH所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°，可得D（0，0，0），P（0，－1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0）， 假设棱BC上存在点F，使得MF∥PC， 设=λ，其中λ∈［0，1］，因为M是棱PA的中点，可得M（1，－，）， 又由=（－2，1，0），得=（－2λ，λ，0），所以F（2－2λ，1＋λ，0）， 所以=（1－2λ，＋λ，－）， 又=（0，3，－），设=μ， 可得此方程组无解，所以假设不成立，所以棱BC上不存在点F，使得MF∥PC． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $