1.3 空间向量及其运算的坐标表示(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算，以“概念-运算-应用”为逻辑链，分层设计基础巩固与综合运用训练，提炼坐标法、向量数量积等核心方法，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|10题（1-10）|坐标加减运算、共面向量定理、向量垂直判定|从单位正交基底到坐标表示，构建运算体系| |B级综合运用|5题（11-15）|线面垂直向量证法、异面直线夹角计算、参数范围求解|深化运算应用，解决立体几何综合问题|

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 （时间：60分钟　满分：105分） ［备注：单选、填空题5分，多选题6分］ 1.（2026•南京月考）设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a=4i－8j＋3k，b=－2i－3j＋7k，则a＋b的坐标为（　　） A．（2，－11，10）　 B．（－2，11，－10） C．（－2，11，10）　 D．（2，11，－10） 2.（2026•孝感高二期中）已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若=（O为坐标原点），则点C的坐标是（　　） A．　 B． C．　 D． 3.设点B是A（2，3，5）关于坐标平面Oxy的对称点，则||=（　　） A．10 B． C．38 D． 4.已知=（1，5，－2），=（3，1，z），若⊥，=（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x＋y=（　　） A．　 B．　　 C．1　 D． 5.在空间直角坐标系中，已知三点O（0，0，0），A（1，2，1），B（1，－1，0），若点C在平面OAB内，则点C的坐标可能是（　　） A．（－1，－1，3）　 B．（3，0，1） C．（1，1，2）　 D．（1，－1，2） 6.〔多选〕如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC的边长为2，三棱柱的高为1，BC，B1C1的中点分别为D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则（　　） A．A1（0，，1）　 B．C1（1，0，1） C．=（0，－，1）　 D．=（，，－1） 7.〔多选〕（2026•湖北部分名校联考）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1，3，－5），B（－2，1，1），则下列结论正确的有（　　） A．||=7 B．•=4 C．若n=（4，2，t）且n⊥，则t= D．若m=（1，1，k）且m∥，则k=－3 8.已知向量a=（1，2，3），b=（－2，－4，－6），|c|=，若（a＋b）•c=7，则a与c的夹角为　　　　． 9.在空间直角坐标系中，已知A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），则直线AB与坐标平面Oxz的交点坐标为　　　　． 10.（13分）（2026•阳泉检测）已知四边形ABCD是平行四边形，且A（1，－，3），B（0，，5），C（1，，4）． （1）若m∥，且|m|=，求m的坐标； （2）求点D的坐标． 11.已知a=（1，－2，－1），b=（－1，x－1，1），且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　） A．（0，＋∞）　 B．（0，3） C．（3，＋∞）　 D．（0，3）⋃（3，＋∞） 12.〔一题多解〕（2026•顺义一中期中）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是正方形ABCD的中心，则•的值为（　　） A．1　 B． C．2　 D．不确定 13.已知空间三点A（0，1，2），B（－4，－1，8），C（2，－5，6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为　　　　． 14.（15分）棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． （1）求证：CF⊥平面DEF； （2）求异面直线EF与CG所成角的余弦值． 15.（15分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，M，N，E分别为棱AA1，BB1，CC1，B1C1的中点． （1）证明：DE∥平面AMN； （2）若AB=AC，且=λ，则当λ为何值时，有BN⊥AB1？ 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.A　a＋b=2i－11j＋10k，由于{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＋b=（2，－11，10）． 2.B　∵=（－3，7，－5），∴=（－3，7，－5）=．∴点C的坐标为．故选B． 3.A　因为点B是A（2，3，5）关于坐标平面Oxy的对称点，所以B（2，3，－5），所以||==10. 4.D　由BP⊥平面ABC，可得BP⊥AB，BP⊥BC，又⊥，∴即解得x=，y=－，z=4，∴x＋y=－=． 5.B　由=（1，2，1），=（1，－1，0），显然，不共线，根据平面向量基本定理可得=λ＋μ=（λ＋μ，2λ－μ，λ），故C点坐标为（λ＋μ，2λ－μ，λ），经验算只有B选项符合条件，此时λ=1，μ=2.故选B． 6.ABC　在等边三角形ABC中，AB=2，BD=1，所以AD=，则A（0，，0），A1（0，，1），C1（1，0，1），D1（0，0，1），B1（－1，0，1），则=（0，－，1），=（1，，－1）．故选A、B、C． 7.AC　由A（1，3，－5），B（－2，1，1），得=（－3，－2，6），对于A，||==7，A正确；对于B，•=1×（－2）＋3×1＋（－5）×1=－4，B错误；对于C，由n=（4，2，t），n⊥，得n•=－12－4＋6t=0，解得t=，C正确；对于D，由m=（1，1，k）且m∥，得==，无解，D错误． 8.120°　解析：a＋b=（－1，－2，－3）=－a，故（a＋b）•c=－a•c=7，得a•c=－7，而|a|==，所以cos〈a，c〉==－，所以〈a，c〉=120°． 9.（3，0，1）　解析：设直线AB与平面Oxz的交点为P（a，0，b），因为A，B，P三点共线，则∥，因为A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），所以=（a－1，2，b＋3），=（1，1，2），则==，解得则P（3，0，1）． 10.解：（1）因为A（1，－，3），B（0，，5），所以=（－1，2，2）， 由m∥，可设m=λ，λ∈R，所以m=（－λ，2λ，2λ）， 因为|m|=，所以=， 解得λ=±1， 所以m的坐标为（－1，2，2）或（1，－2，－2）． （2）设点D（x，y，z），则=（1－x，－y，4－z）． 由（1）知=（－1，2，2）， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以=， 即解得 即点D的坐标为（2，－，2）． 11.D　因为a=（1，－2，－1），b=（－1，x－1，1），且a与b的夹角为钝角，则a•b＜0且a与b不反向共线，因为a•b＜0，则－1×1－2（x－1）－1×1＜0，解得x＞0，若a与b反向共线，设b=ta（t＜0），则解得综上可得x的取值范围是（0，3）⋃（3，＋∞）． 12.A　法一　以D为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），O（，，0），设P（0，1，z），则=（－1，1，z），=（－，，0），所以•=－1×（－）＋1×＋z×0=1. 法二　延长AO至点C，由题可知，AO=AC=，在上的投影向量为，所以•=||||=1. 13.28　解析：由已知得=（2，－6，4），=（－4，－2，6），所以||==2，||==2，所以cos〈，〉===，又〈，〉∈［0，π］，则sin〈，〉==，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S=×2×2××2=28． 14.解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），E（0，0，），B（1，1，0），C（0，1，0），F（，，0）， G（1，1，）． 所以=（1，1，0），=（，，－），=（，－，0），=（1，0，），=（0，－1，）． （1）证明：因为•=×1－×1=0，•=×－×=0， 所以⊥，⊥，即CF⊥DB，CF⊥EF， 又DB，EF⊂平面DEF，DB⋂EF=F， 故CF⊥平面DEF． （2）因为•=×1＋×0＋（－）×=，||==，||==， 所以cos〈，〉===． 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为． 15.解：（1）证明：取MN的中点为F，连接EF，AF， 因为D，E，F分别为AA1，B1C1，MN的中点，结合题意得AD∥EF，且AD=EF，故四边形ADEF为平行四边形， 所以DE∥AF， 又DE⊄平面AMN，AF⊂平面AMN， 所以DE∥平面AMN． （2）因为AB=AC，取BC的中点G，连接AG，则有AG⊥BC，连接EG，由题意得EG⊥底面ABC，如图，以G为原点，GC，GA，GE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AB=AC=1，BC=2x（x＞0），AA1=2λx， 则A（0，，0）， B（－x，0，0），N（x，0，λx）， B1（－x，0，2λx），=（2x，0，λx），=（－x，－，2λx）， 则•=－2x2＋2λ2x2=－2x2（1－λ2）=0， 得λ2=1，λ=±1， 由题意得λ=1， 即当λ=1时有BN⊥AB1. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $