1.2 空间向量基本定理&1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步练习册（人教A版）

第一章空间向量与立体几何 1.2空间向量基本定理 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 A基础过关练 6.[题型1、3]如图，在平行六面体ABCD ●测试时间：20分钟 A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1,且∠BAD 1.[题型1们(2026·湖南长沙明德中学周测)已知{a, b,c}是空间一个基底，p=a十b,q=a一b,一定可 -5∠A,AB=∠A,AD- 以与向量p,q构成空间另一个基底的是( (1)求AC1,BD1的长； 1 (2)求证：AC1⊥BD. A.a B.b C.c D.3P-2q D 2.[题型4]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， B 底面是边长为1的正方形，若∠A1AB= ∠A1AD=60°，且AA1=1,则AC1的长为 (). A.5 B.2√2 C.√10 D./15 3.[题型3]在空间直角坐标系中，向量a=(2,1, m),b=(一2,1,2)，下列结论正确的是( A.若a,则m=2 B.若a⊥b,则m= .3 2 C,若(a,b)为锐角，则m> D.若a在b上的投影向量为后b,则m=是 B综合提能练 ,测试时间：30分钟 1.[题型3]如图，正三棱柱 4.[题型2]已知向量a=(2,-1,1),b=(m,-3, ABC-A1B1C1的所有棱长均A 3),若a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范 为2，P,M,N分别为棱 Q 围是 AA1,AB,A1B1的中点，Q 5.[题型2、3](2026·湖北宜昌中学月考)已知空 为线段MN上的动点，则下 间中三点A(-2,1,3),B(1,-2,0),C(-1, 列选项中不正确的是( -1,5). A.直线C1Q与直线CP始终异面 (1)若|a=3,且a∥AC,求向量a B.直线C1Q与直线CP可能垂直 (2)若点P(2,一1，m)在平面ABC内，求m的值 C.直线CQ与直线BP可能垂直 D.直线C1Q与直线PQ可能垂直 2.[题型1、4]（多选）下列说法正确的是(). A.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，{AB,AC, AC1}可以构成空间的一个基底 B.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的 任-点0，若点M满足Oi-}O+O店+ 3 铺重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA OC),则点M在平面ABC内 点，则OE·OF的取值范围是 C.若向量p=mx十ny十kz,则称(m,n,k)为p 6.[题型4](2026·湖北枝江一中月考)如图，在三 在基底{x,y,z}下的坐标，已知向量p在基 棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠CPA= 底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在 ∠CPB=60°，PA=PB=PC=2,点D,E,F满 恭底a-ba十bc下的坐标为-，号，) PD=DB,PE=2EA,AF=FC. (I)求线段DF的长； D.已知PA,PB,PC是从点P出发的三条线 (2)求直线CE与DF所成的角. 段，每两条线段夹角均为60°，PA=PB= PC=1,若点M满足PM=PA十2PB+ 3P元，则cs〈AMi,AB)=西 19 3.[题型1、4]（多选）如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形， AA1=2AB=4,∠A1AB=∠A1AD=60°，E是 棱AA1的中点，点F在棱CC1上，且CF 3FC1.设AB=a,AD=b,AA1=c,则( 7.[题型3、4]如图，在四棱锥P-ABCD中，△PBC A.AC=a+b+c D 为等腰直角三角形，且∠CPB=90°，四边形 B.EF-ab+e ABCD为直角梯形，满足AD∥BC,CD⊥AD, BC=CD=2AD=4,PD=2√6. C.|EF|=23 (1)若F为DC的中点，求cos〈AP,BF); D.向量AC1与EF夹角的 (2)若E为PB的中点，M为线段AB上一点， 余弦值是1130 130 当Ei⊥B丽时，求AM 的值 AB 4.[题型3]（多选）如图，正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为2，点P为侧面ADD1A1 内的一个动点（含边界），E,F,G分别是线段 BC,CC1,BB1的中点，则下列结论正确的是 (). A.直线A1G∥平面AEF D B.平面AEF截正方体所得A, 的发面面积为号 C培优突破练 。测试时间：5分钟 C.PB·PF的最小值为4 1.(2024·清华大学强基计划测试)（多选）在正四面 D.若PF⊥BD1,则点P的运动轨迹长度为2√2 体ABCD中，棱长为2√2，点P满足|PA十 5.[题型2](2026·安徽合肥八中期末)已知AB, PB|=2,则AP·AD的(). AC,AD两两垂直，|AB+AC+AD=6,AB+ A.最小值为4-22B.最大值为2十2W2 AC+AD=AO,若E,F分别为AB,AC的中 C.最小值为2-2√2D.最大值为4十2√2 4图3 由已知得A1B=2W2,因为OH⊥A,B,所以Oi·A1B 0.而A1B.A10=A1B·(A1i+H0)=A1B·A1i+ ò.AB-AB.A方=名Ai.A店=}A= 之·AP=2×8=4,放C错误若入=1且μ=分，此 时D0=DC+2DD,因为P为cC,的中点，所以C2= =DD.由向量加法法则得应-D心+C立，故应 D花+专DD,则点Q与点P重合.此时把△AAB沿着 A1B翻折，如图4，使得A1,A,B,P四点共面，此时AE+ EQ有最小值AP,此时的点均为翻折过的点 P(Q) 图4 因为P为CC1的中点，所以CP=C,P=1,由勾股定理得 BP=√22+1平=√5，如图5，连接A1C1. D 图5 由已知得∠D1A1B1=60°，则∠C1B1A1=120°，由余弦定理 得一号=2十2AC,解得A1C=23.由直四棱柱的 2×2×2 性质得CC1⊥平面A1B1C1D1,则CC1⊥A1C1.由勾股定理 得A1P=√(2√3)2+12=√13，则BP2+A1B2=A1P2,故 ∠PBA1=90°.而AB=AA1=2,则∠ABA1=45°，得 PBA=135由余弦定理得一号-6)+2一AP ,解 2×w5X2 得AP=√9十2√10，故D正确.] 1.2空间向量基本定理 1.3空间向量及其运算的坐标表示 变式训练 [变式1们ACD[AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA= 4 a+b+c,放A正确B=BB+B,i=A+号B,D- 利用平行关系将心，C心精他为基向量bc AM+2A,d-AB)=M,+合茄-A)=e+ 合6-a)=-名a十安6十e,放B错误1AC1 1 √(a+b+c)7=√a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c, :IAB|=|AD|=|AA1I=1,∠A1AD=∠AAB=∠BAD= ,∴.AC1=√a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c π √1+1+1+1+1+I=V6,故C正确.cos(AB,AC1)= AB·AC1 =a2+a…b+ac_ ABIAC, 1×6 √6 D正确.] 基础过关练 1.C 2.A[由题意得AB1=AD1=AA11=1,AB,AD》=90°， AA1,AB》=(AD,AAi)=60AC=A店+BC+CC= A店+AD+AA,AC=(A店+Ai+AA)2=A店+ 选A言，A市，A1为基底 AD2+AA2+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=1+ 1+1+2×1×1×c0s90°+2×1×1×c0s60°+2×1×1× cos60°=5，.AC1|=5.] 3.C[因为a=(2,1,m),b=(-2,1,2),且ah,所以a=b, 2=-2t, 即1=t,方程组无解，故不存在m使得a仍，故A错误. m=2t, 若aLb,则a·b=2X(-2)+1X1+2m=0,解得m=号， 故B错误.因为a与b不可能共线，若(a,b)为锐角，则a·b= 2X(-2》+1X1十2m>0,解得m>号故C正确因为a· b=2×(-2)+1×1+2m=2m-3,|b|=√(-2)2+1+2= 3者a在6上的投影狗量为日6，即治·b=20.3.6, 0 则2”。3-行，解得m=号放D错误] 9 4.(-3,6)U(6,+∞).[由a=(2,-1,1),b=(m,-3,3),则 a·b=2m+3+3>0, a与b的夹角为锐角时，有 解得m> m≠6， -3且m≠6，所以实数m的取值范围是(-3,6)U(6, +∞).] 5.(1)易知AC=(1,-2,2),因为a/∥AC, 所以a=λAC=(a,-2入，2λ). 因为a=3,所以√2+42+4以2=3，得A=士1， 所以向量a=(1,-2,2)或(-1,2，一2) (2)因为点P(2,一1，m)在平面ABC上，故存在实数x,y 使得AP三xA店+yAC.P,A,B,C四点共面 又AP=(4,-2,m-3),AB=(3,-3,-3),AC=(1,-2,2), 所以xAB+yAC=(3x+y,-3x-2y,-3x+2y), 4=3x+y, x=2, 所以-2=-3x-2y,解得y=-2,故m=-7. m-3=-3x+2y, m=-7, 6a因为∠AAB=∠AAD-径，且A,=1,AB=1, 所以a店.市-1X1Xms子-1X1×}-2,店. A.AM=1x1x(-2）=- 又AC-A店+AD+AAi, 所以AC1=√CA店+AD+AA) =√A2+AD2+AA2+2AB·AD+AB.AA,+AD·AA) √1+1+12x合合)-2. 因为BD,=BA+BC+BB, Bi·BC=1×1×(-2）=-2,BA·BB-1x1×2 2心.B丽=1x1×(-2）=2, 所以BD,=√BA+BC+BB1) =BA+B+BB,2+2(BA·BC+BA·BB,+BC,BB) =√1+1+1+2x(2+合-2)-E. (2)因为BD·AC,=(AD-AB)·(AB+AD+AA) =-AB+A-AA.AB+AA·AD =-1+1-(2)+(-2)=0, 所以AC1⊥BD. 综合提能练 1.B[在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1且AA1= BB1,.四边形AA1B1B为平行四边形，.AB∥A1B 且AB=A1B.M,N分别为棱AB,AB,的中点，∴AM∥ A,N且AM=A1N,.四边形AA1NM为平行四边形， .MN∥AA1.MN中平面AA1C1C,AA1C平面 AA1C1C,∴MN∥平面AA1C1C.:C1,P,C,Q四点不 共面，∴.直线CQ与CP始终异面，故A正确.：△ABC 为等边三角形，M为AB的中点，.CM⊥AB.,AA1⊥ 平面ABC,.MN⊥平面ABC.如图，以M为坐标原点， MB,MC,MN的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向建立 空间直角坐标系，则M(0,0,0),B(1,0,0),N(0,0,2),C(0, √3,0)，C1(0,w3,2),P(-1,0,1). Q M 设Q(0,0,h)(0≤h≤2).：CQ=(0,-√3，h-2),CP= (-1,-3,1),若C,Q⊥CP,则CQ.C=0,3+h- 2=0,.h=-1.,0≤h≤2，.不存在点Q使得直线 C1Q与直线CP垂直，故B错误CQ=(0,-3,h-2), BP=(-2,0,1),若C1Q⊥BP,则C1Q·BP=0,∴.h 2=0,.h=2,故当点Q在点N的位置时，直线CQ与直 线BP垂直，故C正确.C1Q=(0,一3，h-2),PQ=(1,0, h-1),若CQLPQ,则CQ·PQ=0,∴(h-2)(h-1) 0,h=1或2，故当点Q在N的位置或Q为MN的中点 时，直线CQ与直线PQ垂直，故D正确.] 2.BCD[在长方体ABCD-A1B1C,D,中，AB,AC,A1C共 面，则{AB,AC,A1C1}不能构成空间的一个基底，故A错 误o成=号0成+号0成+号元，而号+号+日=1，则 1 量四点共面定理 M,A,B,C四点共面，从而点M在平面ABC内，B正确.依 题意，p=a十2b+3c,设p=x(a-b)+y(a+b)+c(x,y, z∈R),即(x十y)a+(y-x)b+c=a+2b+3c,则 x+y=1, 一工=2，解得x=一之y=号=3，因此向量p在基底 3 z=3, a6a十6e下的单标为-号，号8，C正确i- PM-PA=2PB+3PC,PA PB=PB.PC=PC.PA= 1×1×号=号，则1A城1=√2P+3P心= √4P面+12P西.P元+9P元-√4+12×2+9=v, AM·AB=(2PB+3PC)·(PB-PA)=2PB2-2PB· Pi+3P元.P店-3P元.Pi=2-2x号+3x号-3×号 =1,AB=√(PB-PA)2=√P店+PA-2PB.PA= √1+1-2X2=1,osAM,A点)=AM.A店 IAMIABI 1 √/19x119,D正确.] 3.ABD[如图，连接AC,因为四边形ABCD是正方形，所以 AC=AB+AD,则AC1=AC+CC1=AB十AD+AA1= a十b十c,故A正确. 5 D D B 因为E是棱A41的中点，所以EA=-2AA.因为C示 3FC,所以C=3G=AA,则序=EA+AC+市 -+店+ò+-店+茄+}a-a+b+ 1 c,故B正确.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥ AD,所以a·b=0.因为∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1= 2AB=4,所以a·c=b·c=4,则|AC11=√(a+b+c)= Va2+b2+e2+2a·b+2a·c+2b·c=2W/10,|EF|= √a+b+c√c++6c2+ab+2ae+be =丽，故c错误.AC·京-(a+b+o)(a+b+) =a2+b8+7c2+2a…b+号ae+号bc=2,因为 AC.E市-|AC1 IEFlcos(AC,EF),所以cos(AC,EF) =AC·E 22 |AC11IEF12√/10X√13 =1130,即向量AC与 130 萨夹角的会弦值是4@故D正确] 4.AC[如图1，连接AD1,D1F,GF,因为E,F分别是线段 BC,CC1的中点，所以EF∥BC1∥AD1,所以D1FC平面 AEF.因为F,G分别是线段CC1,BB1的中点，所以GF∥ A1D1,GF=A1D1,故四边形A1GFD1为平行四边形，所以 A1GD1F,且D1FC平面AEF,故直线AG∥平面AEF, 故A正确。 D A B D P 图1 由A可知，平面AEF截正方体所得的截面为梯形AD1FE, 且由正方体可知，AD,=2AD=22,EF=2AD,=E, AE=√AB+BE=√5，故梯形AD1FE的高h= √AE-[宁AD,-EF)-8,所以悌形AD,FPE的 面积S=合×2+2)×3号-=号放B错误如图2，以 6 D为原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、 x轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2, 0),B1(2,2,2),F(0,2,1),D1(0,0,2).点P为侧面 ADD1A1内的一个动点（含边界），故设P(x,0,z),x∈[0， 2],x∈[0,2]，所以PB1=(2-x,2,2-x),PF=(-x,2, 1-),所以PB1·PF=-x(2-x)+4十(2-x)(1-z) -1+(-》+≤号，当z1号时，即P(1, 0,)时，等号成立，故C正确 D P 1D- 图2 BD1=(-2,-2,2),若PF⊥BD1,则PF·BD1=2x-4+ 2-2z=0,即x-之一1=0.因为x∈[0,2]，x∈[0,2]，故当 。表示一个平面 x=2时，之=1，此时P(2,0,1),当之=0时，x=1,此时P(1, 0,0),故点P的运动轨迹为从点(2,0,1)到点(1,0,0)的一 条线段，轨迹长度为√(2-1)2+0十1=√2，故D错误.] 5.(18,36).[因为AB,AC,AD两两垂直，则以A为原点， AB,AC,AD的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系 y B/E 设AB=a,AC=b,AD=c,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(0, b,0),D(0,0,c),abc≠0，因为AB+AC+AD=AO,所以 O(a,b,c).又|AB+AC+AD1=6,则|AO|=6,所以 √a2+b2+c2=6,即a2+b2+c2=36.因为E,F分别为 AB,AC的中点，所以E(,0,0),F(o,名，0)，则O克- (号-a,0-6,0-c),0亦=(0-a,合-b,0-小，即0 (-号，-6，-c),0亦=(-a,-,-c,则0.0= (-g)×(-a)+(-b)×(-名)+(-c)×(-c)- Q+b+2c.由a2+62+c2=36,得a2+6=36-c2,代入 上试得0元.0亦-++公_6士因为。+6 2 36-c2>0,所以c2<36.又c2>0,则18<0E·0F<36,所 以OE·OF的取值范围为(18,36).] 6.(I)由P市=D,A=F元，得D,F分别为PB,CA的中点， 因为D-D心+号Dd -2成-ò+2- 元-+成-}丽 =成+i-成。 所以1D=√（2P心+2PA-2P =专4什4+4+4-4=5. (2②)油P它-2E,得C花-P壶-P元-子pA-P元 则c.D=(pA-P心)·(2p元+2PA-2P =子1PA1IP元1cos60+3PA2-}1PA1IP店1： cos90°-号P:-21Pi11P心1cms60+g1Pi1· |PC1cos60° =号+号-2-1+1=0， 故CE⊥DF,即直线CE与DF所成的角为90. 7.(1)因为△PBC为等腰直角三角形，∠CPB=90°，BC=CD =4,所以PC=PB=2√2. 又PD2=(26)2=24,PC2+CD2=(22)2+42=24,所以 DC⊥PC. 由匀股定理得DC⊥PC是本题解题的关键 而CD⊥AD,ADBC,故CD⊥BC. 因为PC∩BC=C,PC,BCC平面PBC,所以CD⊥平面PBC. 如图，以C为原点，CP,CD所在直线分别为x轴、之轴，过 点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系Cxy2, 则P(2√2,0,0)，B(22,2√2,0)，F(0,0,2),A(2,2,4), 则AP=(W2,-2,-4),BF=(-22,-22,2), 所以cos〈A,BF)=AP·B亟 APIIBE -2×(-22)+(-2)×(-22)+(-4)×2-2 2W5×25 (2)由(1)知E(2√2，W2,0),设AM=AB, 而AB=(W2,N2,-4),所以AM=(W2t,W2t,-4t), 所以M(W2+√2t,w2+√2t,4-4t), 所以EM=(W2t-√2，W2t,4-4t). 因为BF=(-2√2，-2W2,2), 又EM⊥BF,故EM,BF=0, 所以-2√2×(W2t-2)-2W2X√2t+8-8t=0, 解得1=是，所以A方=子 IAB 4 培优突破练 1BC[设AB的中点为0，则P0=2Pi+号P成，即2Pò =PA+PB,又PB+PA1=2,所以PO1=1,即点P落 在以O为球心，以1为半径的球上，如图所示. >B 因为AP=Ad+O,所以A.A市=(Aò+OP)·AD= AO.AD+OP·AD.由正四面体ABCD的棱长为2W2,得 A0=√2，所以AO·AD=AO1|AD1cos60°=√2X2√2X 合-2设o,A)=0,则A.Ai-A0.Ai+o°· AD=2+OP11AD1cos0=2+2W2cos0,又-1≤cos0≤ 1,所以2-2√2≤2+2W2c0s0≤2+2√2，即AP·AD的最 大值为2+2√2，最小值为2-22.] 1.4空间向量的应用 变武训练 [变式1](1)如图，连接C0.因为底面ABC是边长为4的正三 角形，且O为AB的中点，所以CO=2√3. 又AB=A1A=A1B=4,所以A1O⊥AB,且A1O=2√3 在△M,C中，o∠A1AC=子， 由余弦定理可得coS∠A1AC=AC十A,A2-A,C 2AC·A1A 十-A1C=,解得A,C=26 2×4×4 在△OA1C中，因为C02+A1O2=A1C2,所以AO⊥C0 一般题目中给出较多边长及角度时，可通过计算边长一 得到垂直关系 因为AB,COC平面ABC,且AB∩CO=O, 所以A1O⊥平面ABC. 又ACC平面ABC,所以AC⊥A1O. (2)由(1)知A1O⊥平面ABC,因为BC=AC,所以CO⊥AB, 则以O为坐标原点，OC,OA,OA1所在直线分别为x轴、 y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,2,0),B(0,-2,0),C(23,0,0),A1(0,0,23), 所以A1C=(2W3,0,-23),BC=(23,2,0),AA1=CC1 (0,-2,23),设CP=λCC1=(0,-2x,23λ)，A∈[0,1]， 7