1.2 空间向量基本定理(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理的基底构建与应用，通过分层训练系统培养空间观念与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固（1-10题）|8选择2填空1解答|基底判定（共线排除法）、向量分解（加减法法则）、数量积应用（垂直/夹角计算）|从基底概念（第1题）到向量线性表示（第2题），再到几何量计算（第3-5题），形成"概念-表示-应用"逻辑链| |综合运用（11-15题）|2选择1填空2解答|空间共面判定（x+y+z=1）、动态最值（轨迹法）、综合证明（坐标法/基底法）|结合锥体/柱体模型（第11-14题），深化基底工具性，通过开放探究（第15题）培养模型观念与创新意识|

1.2　空间向量基本定理 （时间：60分钟　满分：105分） ［备注：单选、填空题5分，多选题6分］ 1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有（　　） A．a，b共线　 B．a，b同向 C．a，b反向　 D．a，b共面 2.已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足=，N是BC的中点，且=a，=b，=c，用a，b，c表示向量为（　　） A．a＋b＋c　 B．a＋b－c C．－a＋b＋c　 D．a－b＋c 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中点，则AC1与CE的位置关系是（　　） A．重合B．垂直C．平行D．异面 4.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AB=AC=BC=1，M是B1C1的中点，则AM=（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 5.如图，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　） A.0　 B．　　 C．　 D． 6.〔多选〕已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共线．若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（　　） A．{，，}不能构成空间的一个基底 B．{，，}能构成空间的一个基底 C．{，，}不能构成空间的一个基底 D．{，，}能构成空间的一个基底 7.〔多选〕（2026•南京质检）如图，在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是（　　） A．A1M∥D1P　 B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1　 D．A1M∥平面D1PQB1 8.若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc=0，则x，y，z满足的条件是　　　　． 9.（2026•宁德月考）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心．若=x＋y＋z，则x＋y－z=　　　　． 10.（13分）如图，三棱锥P－ABC中，M，N分别是BC，PA上的点，且=，=2，设=a，=b，=c． （1）试用a，b，c表示向量； （2）已知∠BAC=，∠PAB=∠PAC=，且PA=AB=AC=2，若（a＋λc）⊥，求λ的值． 11.已知体积为9π的圆锥MO底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥MO的轴截面为正三角形．若空间中一点N满足=x＋y＋z（其中x＋y＋z=1），则||的最小值为（　　） A．3　 B．2　　C．3　 D．6 12.（2026•淮安月考）如图，在三棱锥S －ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=2，则SC与AB所成角的大小为（　　） A.90°　　 B.60°　　 C．45°　 D．30° 13.在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BAA1=30°，N为A1D1上一点，且A1N=λA1D1.若BD⊥AN，则λ=　　　　． 14.（15分）如图，已知在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BB′的中点． （1）求证：CE⊥A′D； （2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． 15.（15分）如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若=m，=n，=t，则＋＋是否为定值？请说明理由． 1.2　空间向量基本定理 1.A　由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基向量，B，C都是A的一种情况；空间中任意两个向量都是共面的，故D错． 2.C　=＋＋=＋＋（－）=－＋＋=－a＋b＋c．故选C． 3.B　设=a，=b，=c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，=a＋b＋c，=＋=c－a－b，设正方体的棱长为1，则•=（a＋b＋c）•（c－a－b）=0－－0＋0－0－＋1－0－0=0，故⊥，即AC1与CE垂直． 4.C　如图所示，=＋＋=＋＋（－）=＋＋，故||2=（＋＋）2=，则AM=． 5.A　根据题意可得，•=（＋＋）•（＋＋） =（－＋＋）•（－－－） =2 －2 －2=×4－1－×4=0，从而得到A1E和GF垂直，故其所成角的余弦值为0. 6.AC　由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面，所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误．故选A、C． 7.ACD　依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面．因为=＋=＋，=＋=＋，所以=，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确．而B1Q与D1P不平行，所以B不正确．故选A、C、D． 8.x=y=z=0　解析：若x≠0，则a=－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x=0，同理y=z=0. 9.－2　解析：如图，由题意可得=－=－（＋）=－－＋=x＋y＋z，则x=－，y=－，z=1，故x＋y－z=－2. 10.解：（1）=＋＋ =＋＋ =（－）－＋ =－－＋ =－a－b＋c． （2）由（a＋λc）⊥可得（a＋λc）•=0， 即（a＋λc）•（－a－b＋c）=－a2－a•b＋a•c－a•c－b•c＋c2=0， 即－＋－－＋=0， 解得λ=2. 11.A　由题意得，点N在圆O所在平面内，所以||的最小值是顶点M到圆O所在的平面的距离，即为圆锥MO的高．设圆锥MO底面圆的半径为r，因为圆锥MO的轴截面为正三角形，所以圆锥MO的高为r，则圆锥MO的体积为πr2×r=9π，解得r=3.所以||的最小值为3．故选A． 12.B　因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以•=0，又AB⊥BC，AB=BC=2，所以∠BAC=45°，AC=2．因此•=||•||cos 45°=2×2×=4，所以•=•－•=4，又SA=2，所以SC==4，因此cos〈，〉===，所以SC与AB所成角的大小为60°． 13.－1　解析：设=a，=b，=c，则{a，b，c}构成空间的一个基底．设AB=1，因为BD⊥AN，所以•=0，因为=－=b－a，=＋=c＋λb，所以（b－a）•（c＋λb）=0，所以＋λ－－=0，所以λ=－1. 14.解：（1）证明：设=a，=b，=c， 根据题意，得|a|=|b|=|c|且a•b=b•c=c•a=0. 所以=b＋c，=－c＋b－a． 所以•=－c2＋b2=0， 所以⊥，即CE⊥A′D． （2）因为||=|a|，||=|a|， 又=－a＋c， •=（－a＋c）•（b＋c）=c2=|a|2， 所以cos〈，〉==． 所以异面直线CE与AC′所成角的余弦值为． 15.解：为定值．理由如下： 连接AG并延长交BC于点H，连接DM（图略）． 由题意，可令{，，}为空间的一个基底， ==（＋）=＋× =＋×=＋（－）＋（－）=＋＋． ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得=λ＋μ， 即－=λ（－）＋μ（－）， ∴=（1－λ－μ）＋λ＋μ=（1－λ－μ）•m＋λn＋μt， 由空间向量基本定理，知=（1－λ－μ）m，=λn，=μt， ∴＋＋=4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ=4，为定值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $