1.2 空间向量基本定理-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过“基础巩固-综合提升-探索创新”三层设计，实现空间向量从概念理解到综合应用再到创新探究的渐进式巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|空间向量基底判断、线性表示、模长计算|以选择、填空为主，直接考查基底概念与向量分解，培养抽象能力与空间观念| |关键能力·综合提升|几何体中向量运算、多向量关系证明|结合三棱锥、四棱锥情境，通过多选与解答题融合向量线性运算与数量积，发展推理能力| |核心价值·探索创新|垂直关系证明、夹角计算探究|设置复杂几何体（如平行六面体、正四面体）探究问题，需构建数学模型，体现创新意识与理性精神|

[必备知识·基础巩固] 1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c 解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面；对于B，有2b＝(b－2a)＋(b＋2a)，则2b，b－2a，b＋2a共面；对于C，a，2b，b－c不共面，可以作为基底；对于D，有2c＝(a＋c)－(a－c)，则c，a＋c，a－c共面．故选C. 答案　C 2．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C.－a－b＋c D．a－b＋c 解析　取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为A1C1的中点， ＝a，＝b，＝c， ∴＝＝c，＝(＋)＝＝－a＋b， ∴＝＋＝－a＋b＋c. 答案　A 3．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　) A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝ C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2 解析　＝＋＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋，对比＝x＋y＋z，可得x＝y＝z＝1. 答案　A 4．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝(　　) A． B． C． D． 解析　如图所示， ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋， 故＝＝， 则AM＝. 答案　C 5．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出可以与a，b构成空间的一个基底的向量，则所有可以选择的向量为________(填序号). 解析　构成基底只要三个向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都可以选择． 答案　③④⑤ 6．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若＝a，＝b，＝c，则＝____________，＝__________． 解析　如图，因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，＝a，＝b，＝c， 所以＝＋＝b＋c， ＝＋＝c＋＝c＋×(＋)＝c＋(－b＋－)＝c＋(－b＋a－b)＝c＋－. 答案　b＋c　c＋－ 7．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心．若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝________． 解析　如图，由题意可得 ＝－ ＝－ ＝－－＋ ＝x＋y＋z， 则x＝－，y＝－，z＝1，故x＋y－z＝－2. 答案　－2 8．如图所示，在平行六面体ABCD ­A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2)；(3). 解析　连接AC，AD′，AC′(图略). (1)＝(＋)＝(＋＋) ＝(a＋b＋c). (2)＝(＋)＝(＋2＋)＝(a＋2b＋c). (3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c. [关键能力·综合提升] 9．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，已知＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c 解析　如图，因为N为BC中点，所以＝(＋)， 因为M在线段OA上，且OM＝2MA， 所以＝，所以＝－＝＋－＝－a＋b＋c，故选B. 答案　B 10．(多选)在三棱锥P­ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是(　　) A．EG⊥PG B．EG⊥BC C．FG∥BC D．FG⊥EF 解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个正交基底，则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，则＝＝×(a＋b)＝a＋b，＝－＝a＋b－b－c＝a－b－c，＝c－b，＝－＝a＋b－b＝a，＝－＝b－＝－c－b，∴·＝0，A正确；·＝0，B正确；≠λ(λ∈R)，C不正确；·＝0，D正确．故选ABD. 答案　ABD 11．在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示向量＝________． 解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－) ＝－＋＝a－b＋c. 答案　a－b＋c 12．如图所示，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________． 解析　连接AG并延长交BC于点M，连接AE(图略)， 则＝－＝＋－＝＋(－)－×(＋)＝－－＋. 答案　－－＋ 13．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解析　(1)＝＋＋ ＝＋＋ ＝(c－a)＋a＋(b－a) ＝a＋b＋c. (2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，所以|a＋b＋c|＝，所以＝|a＋b＋c|＝，即MN＝. [核心价值·探索创新] 14．在如图所示的平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为________． 解析　设＝a，＝b，＝c， 则{a，b，c}构成空间的一个基底． 设AB＝1， 因为BD⊥AN， 所以·＝0， 因为＝－＝b－a，＝＋＝c＋λb， 所以(b－a)·(c＋λb)＝0， 所以＋λ－－＝0， 所以λ＝－1. 答案　－1 15．如图，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)求证：AO，BO，CO两两垂直； (2)求〈，〉． (1)证明　设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1. 因为＝＋＝＋× ＝＋ ＝＝(a＋b＋c)， ＝－＝－ ＝(a＋b＋c)－a＝(b＋c－5a)， ＝－＝－ ＝(a＋b＋c)－b＝(a＋c－5b)， ＝－＝－ ＝(a＋b＋c)－c＝(a＋b－5c)， 所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b) ＝＝0， 所以⊥，即AO⊥BO. 同理，AO⊥CO，BO⊥CO， 所以AO，BO，CO两两垂直． (2)解析　＝＋＝－(a＋b＋c)＋c ＝(－2a－2b＋c)， 所以＝＝. 又＝＝， ·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，所以cos 〈，〉＝＝. 又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 学科网（北京）股份有限公司 $