章末检测（5） 概率(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 本单元卷聚焦概率核心知识，通过生活情境与数学模型结合，全面考查离散型随机变量、正态分布等，适配高中概率单元复习，助力数学眼光、思维与语言核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|分布列性质、条件概率、正态分布|如第3题结合学生成绩正态分布，考查数据处理能力| |多项选择|3/18|条件概率、正态分布、期望方差|如第11题以多选题计分规则为情境，融合概率与期望计算| |填空|3/15|全概率公式、正态分布、独立事件|如第14题社团选拔独立事件概率，贴近学生生活实际| |解答|5/77|分层抽样、二项分布、期望应用|如第19题击鼓游戏期望分析，体现用数学思维解释现实问题|

章末检测（五）　概率 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知离散型随机变量X的分布列如下，则p=（　　） X 1 2 3 4 P p A．　　 B．　 C．　　 D． 2.某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 3.某校高三年级1 000人全部参加四月份的市第二次教学质量检测，其中数学成绩X服从正态分布N（100，σ2）．据统计110分以上的同学有220人，则数学成绩不低于90分的学生人数为（　　） A．560 　 B．620　　 C．780 　 D．800 4.设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y=2X－1，则P（Y＜6）=（　　） A．0.3　 B．0.5　　 C．0.1　 D．0.2 5.甲、乙两人参加心理健康知识考试，考试以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则X=2时的概率为（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 6.某人投篮命中的概率为0.6，则投篮14次，最有可能命中的次数为（　　） A．7　 B．8　　 C．7或8　 D．8或9 7.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列： X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花500束，则利润的均值为（　　） A．706元　 B．690元　　 C．754元　 D．720元 8.已知随机变量ξ~N（μ，σ2），有下列四个命题： 甲：P（ξ＜a－1）＞P（ξ＞a＋2）． 乙：P（ξ＞a）=0.5. 丙：（ξ≤a）=0.5. 丁：P（a＜ξ＜a＋1）＜P（a＋1＜ξ＜a＋2）． 如果只有一个假命题，则该命题为（　　） A．甲　 B．乙　　 C．丙　 D．丁 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快捷，假设电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如下表： 电商平台 甲 乙 其他电商平台 市场占有率 50% 40% 10% 产品优质率 90% 90% 80% 用A1，A2，A3分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，B表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则（　　） A．P（|A1）=0.1　 B．P（B|A2）=0.36 C．P（B）=0.9　 D．P（A3|B）= 10.设某车间的A类零件的质量m（单位：kg）服从正态分布N（10，σ2），且P（m＞10.1）=0.2，则下列说法正确的是（　　） A．若从A类零件中随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10 kg的概率为0.25 B．若从A类零件中随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9 kg的概率为0.4 C．若从A类零件中随机选取100个，则零件质量在9.9 kg~10.1 kg的个数的期望为60 D．若从A类零件中随机选取100个，则零件质量在9.9 kg~10.1 kg的个数的方差为2411.某市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，甲、乙两位同学的得分分别记为X和Y，则（　　） A．P（X=0）＞P（Y=0） B．P（X=6）＞P（Y=6） C．EX＞EY D．DX＞DY 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12.针对“中学生追星问题”，某校团委做了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的 人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的．现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是　　　　． 13.随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高．为了掌握学生的体质与健康现状，合理制订学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30 000名高中男生的身高ξ（单位：cm）服从正态分布N（172，σ2），且P（172＜ξ≤180）=0.4，那么该市高中男生的身高高于180 cm的人数大约为　　　　． 14.某学校选拔新生补进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2026年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则m＋n=　　　　． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率． 16.（本小题满分15分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； ②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率． 17.（本小题满分15分）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且P（X=20）=0.3，期望EX=30. 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3. （1）请写出方案一的分布列，并求方差DX； （2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 18.（本小题满分17分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2023年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示． （1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）； （2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和均值． 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=≈11.95； ②若Z~N（μ，σ2），则P（μ－σ＜Z≤μ＋σ）≈0.682 6，P（μ－2σ＜Z≤μ＋2σ）≈0.954 4. 19.（本小题满分17分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓是否出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 章末检测（五）　概率 1.C　由＋＋＋p＝1得，p＝.故选C. 2.B　设该选手第一次射击击中10环为事件A，第二次射击击中10环为事件B，则P（A）＝，P（AB）＝，所以某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是P（B｜A）＝＝＝.故选B. 3.C　因为X～N（100，σ2），则P（X＜90）＝P（X＞110）＝＝0.22，所以P（X≥90）＝1－0.22＝0.78，所以数学成绩不低于90分的人数为1 000×0.78＝780.故选C. 4.A　由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3. 5.D　随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝6，n＝3，则P（X＝2）＝＝. 6.D　记投篮命中次数为X，则X～B（14，0.6），P（X＝k）＝·0.6k·0.，设最有可能命中m次，则即·0.6m·0.414－m≥·0.6m－1·0.415－m，且·0.6m·0.414－m≥·0.6m＋1·0.413－m，解得8≤m≤9，∵m∈Z，∴m＝8或m＝9.∴最有可能命中8或9次.故选D. 7.A　因为EX＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，所以利润的均值为340×（5－2.5）－（500－340）×（2.5－1.6）＝706（元），故选A. 8.D　由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a＝μ，根据正态分布的对称性可知：P（ξ＜μ－1）＞P（ξ＞μ＋2），即甲为真命题，并且P（μ＜ξ＜μ＋1）＞P（μ＋1＜ξ＜μ＋2），所以假命题是丁，故选D. 9.AD　依题意P（A1）＝0.5，P（A2）＝0.4，P（A3）＝0.1，P（B｜A1）＝0.9，P（B｜A2）＝0.9，P（B｜A3）＝0.8，B错误；P（｜A1）＝0.1，A正确；P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）＝0.5×0.9＋0.4×0.9＋0.1×0.8＝0.89，C错误；P（A3B）＝P（B｜A3）P（A3）＝0.1×0.8＝0.08，所以P（A3｜B）＝＝＝，D正确.故选A、D. 10.ACD　因为m～N（10，σ2），所以P（m＞10）＝0.5，若从A类零件中随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10 kg的概率为0.52＝0.25，故A正确；因为P（m＞10.1）＝0.2，所以P（m＜9.9）＝0.2，若从A类零件中随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9 kg的概率为×0.2×（1－0.2）2＝0.384，故B错误；P（9.9＜m＜10.1）＝1－2×0.2＝0.6，若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9 kg～10.1 kg的个数X～B（100，0.6），则EX＝100×0.6＝60，DX＝100×0.6×（1－0.6）＝24，故C、D正确；故选A、C、D. 11.AD　P（X＝0）＝×＋×＝，P（X＝4）＝×＝，P（X＝6）＝×＝，X的分布列为 X 0 4 6 P 由此可得EX＝0×＋4×＋6×＝，DX＝（0－）2×＋（4－）2×＋（6－）2×＝.P（Y＝0）＝·＝，P（Y＝4）＝·＝，P（Y＝6）＝·＝，Y的分布列为 Y 0 4 6 P 由此可得EY＝0×＋4×＋6×＝3，DY＝（0－3）2×＋（4－3）2×＋（6－3）2×＝5.故A、D正确，B、C错误，故选A、D. 12.　解析：记A1表示“女生”，A2表示“男生”，B表示“追星”.设女生人数为x，则男生人数为2x，总人数为x＋2x＝3x，所以P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝，所以这名学生追星的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×＋×＝. 13.3 000　解析：因为ξ～N（172，σ2），且P（172＜ξ≤180）＝0.4，所以P（ξ＞180）＝＝0.1，故该市高中男生的身高高于180 cm的人数大约为30 000×0.1＝3 000. 14.　解析：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m，，n，且相互独立，所以0≤m≤1，0≤n≤1，又因为三个社团他都能进入的概率为， 所以mn＝， ① 因为至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都不能进入的概率为1－＝，所以（1－m）（1－n）＝，即1－m－n＋mn＝， ② 联立①②，得m＋n＝. 15.解：设A1表示“第一次患病心肌受损害”，A2表示“第二次患病心肌受损害”， 则所求概率为P（）. 由题意可知，P（A1）＝0.3，P（A2｜）＝0.6， 又P（）＝1－P（A1）＝0.7， P（｜）＝1－P（A2｜）＝0.4， 所以P（）＝P（）P（｜）＝0.7×0.4＝0.28. 16.解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人. （2）①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝（或EX＝＝）. ②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”， 事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A＝B∪C，且B与C互斥. 由①知P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1）， 故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）＋P（X＝1）＝. 所以事件A发生的概率为. 17.解：（1）设P（X＝0）＝a，P（X＝40）＝b， 依题意得a＋b＋0.3＝1， ① 又EX＝0×a＋20×0.3＋40b＝30， ② 由①②解得a＝0.1，b＝0.6. 所以X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则DX＝（0－30）2×0.1＋（20－30）2×0.3＋（40－30）2×0.6＝180. （2）由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则EY＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20， DY＝（10－20）2×0.3＋（20－20）2×0.4＋（30－20）2×0.3＝60. 由EX＞EY可知采用平台广告投放期望收益较大，又DX＞DY，说明平台广告投放的风险较高. 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告. 18.解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5. （2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P（14.55＜Z＜38.45）＝P（26.5－11.95＜Z＜26.5＋11.95）≈0.682 6， ∴Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.682 6. ②根据题意得X～B， P（X＝0）＝×＝； P（X＝1）＝×＝； P（X＝2）＝×＝； P（X＝3）＝×＝； P（X＝4）＝×＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ∴EX＝4×＝2. 19.解：（1）X可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有 P（X＝10）＝××＝， P（X＝20）＝××＝， P（X＝100）＝××＝， P（X＝－200）＝××＝. 所以X的分布列为 X 10 20 100 －200 P （2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i＝1，2，3），则P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（X＝－200）＝. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P（A1A2A3）＝1－＝1－＝. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是. （3）X的均值为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－. 这表明，获得分数X的均值为负， 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $