章末检测（2） 圆锥曲线(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 本卷为高中数学圆锥曲线单元检测，涵盖抛物线、椭圆、双曲线核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查定义应用、方程求解及直线与圆锥曲线位置关系，适配单元复习，培养数学思维与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|抛物线准线（题1）、椭圆离心率（题2）|基础概念辨析，注重定义理解| |多项选择|3/18|曲线方程分类（题9）、椭圆性质（题10）|多维度考查，结合真题情境（题11八省联考）| |填空题|3/15|双曲线与抛物线焦点（题12）、抛物线几何性质（题13）|综合应用，强调数形结合| |解答题|5/77|椭圆方程与弦长（题15）、双曲线斜率定值证明（题19）|分层设计，如题18结合抛物线定义与斜率定值推理，培养数学表达与创新意识|

章末检测（二）　圆锥曲线 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知抛物线的准线方程为y=－，则该抛物线的标准方程为（　　） A．x2=8y　 B．y2=x C．y2=3x　 D．x2=y 2.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（　　） A．9　 B．1 C．1或9　 D．以上都不对 3.“k＞9”是“方程＋=1表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.在椭圆＋=1中，以点M（1，）为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A．－　 B．－4 C．－　 D．－2 5.设F1，F2分别为双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（　　） A．　 B． C．　 D．3 6.已知点P在抛物线y2=4x上，那么当点P到点Q（2，－1）的距离与点P到焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　） A．（，－1）　 B．（，1） C．（1，2）　 D．（1，－2） 7.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线－=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A．x±y=0　 B．x±y=0 C．x±y=0　 D．x±y=0 8.已知直线y=k（x＋2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知曲线C：mx2＋ny2=1，则下列说法正确的有（　　） A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n＞0，则C是圆，其半径为 C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=± x D．若m=0，n＞0，则C是两条直线 10.设椭圆C：＋y2=1的焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（　　） A．离心率e= B．||的最大值为3 C．△PF1F2面积的最大值为2 D．|＋|的最小值为211.（2025•八省联考）已知F（2，0）是抛物线C：y2=2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（　　） A．p=4 B．|MF|≥|OF| C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当∠OFM=120°时，△OFM的面积为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12.已知双曲线－=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线x=y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为　　　　． 13.如图所示，已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|=|AF|，则△AFK的面积为　　　　． 14.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得|PF1|=6|PF2|，写出C的一个标准方程：　　　　　　． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知椭圆＋=1（a＞b＞0）经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N． （1）求椭圆的方程； （2）若|MN|=，求直线MN的方程． 16.（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆E：（x＋）2＋y2=和圆F：（x－）2＋y2=都外切． （1）求圆心M的轨迹方程C； （2）已知点O为原点，点A（8，0），点P是曲线C上任意一点，求•的最小值． 17.（本小题满分15分）设椭圆＋=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|=3，|A2F|=1. （1）求椭圆方程及其离心率； （2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交于y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程． 18.（本小题满分17分）设点F（1，0），动圆P经过点F且和直线x=－1相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）点D（2，0），过F的直线交C于M，N 两点，连接MD，ND，与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的斜率分别为k1，k2．求证：为定值． 19.（本小题满分17分）已知双曲线C：－=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，左右两个顶点分别为A1，A2，经过点B（4，0）的直线l交双曲线的右支于M，N两点，且M在x轴上方，当l⊥x轴时，MN=2． （1）求双曲线方程； （2）求证：直线MA1，NA2的斜率之比为定值． 章末检测（二）　圆锥曲线 1.D　因为抛物线的准线方程为y＝－，所以＝，即p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝y. 2.C　因为椭圆C的短轴长为6，所以b＝3.又因为离心率为e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a＝5，c＝4，所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.故选C. 3.A　方程＋＝1表示双曲线，则 （9－k）·（k－4）＜0，解得k＞9或k＜4，所以“k＞9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A. 4.C　设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得两式相减得＋＝0，即＝－，又x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，所以＝－，即＝－，所以以点M（1，）为中点的弦所在的直线的斜率为－. 5.B　因为P是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上一点，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－（｜PF1｜－｜PF2｜）2＝9b2－4a2，所以4｜PF1｜·｜PF2｜＝9b2－4a2，又因为｜PF1｜·｜PF2｜＝ab，所以有9ab＝9b2－4a2，即9（）2－9（）－4＝0，解得＝－（舍去）或＝.所以e2＝＝＝1＋（）2＝1＋（）2＝，所以e＝，故选B. 6.A　点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离.作QS垂直准线交准线于点S，交抛物线于点P，如图，｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PS｜＋｜PQ｜，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为（，－1）. 7.D　∵O为线段F1F2的中点，∴2（｜PF1｜2＋｜PF2｜2）＝4×（a）2＋（2c）2，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝14a2＋2c2.在△PF1F2中，由余弦定理，得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－（2c）2＝2｜PF1｜·｜PF2｜cos 60°，即｜PF1｜·｜PF2｜＝14a2－2c2.又由双曲线的定义，得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，两边平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2，即（14a2＋2c2）－2（14a2－2c2）＝4a2，化简得c2＝3a2，∴b2＝2a2，故双曲线的渐近线为x±y＝0.故选项D正确. 8.D　设A（x1，y1），B（x2，y2），易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0.由得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0，Δ＝（4k2－8）2－16k4＝－64k2＋64＞0，所以0＜k＜1，所以x1x2＝4　①，根据抛物线的定义得，｜FA｜＝x1＋＝x1＋2，｜FB｜＝x2＋2.因为｜FA｜＝2｜FB｜，所以x1＝2x2＋2　②，由①②得x2＝1（x2＝－2舍去），所以B（1，2），代入y＝k（x＋2）得k＝. 9.ACD　对于选项A，∵m＞n＞0，∴0＜＜，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，∵mn＜0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±x，正确；对于选项D，∵m＝0，n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±，该方程表示两条直线，正确.综上选A、C、D. 10.AD　因为椭圆C：＋y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝＝，e＝＝，故A正确；不妨令F1（－，0），F2（，0），设P（x，y），所以＝（－x，－y），所以｜｜2＝（x－）2＋y2＝（x－）2＋1－＝－2x＋4＝（x－）2，因为－2≤x≤2，所以当x＝－2时，（｜｜2）max＝7＋4，即｜｜max＝2＋，故B错误；因为＝｜y｜·2c＝｜y｜×2＝｜y｜，－1≤y≤1，所以当y＝±1，即P在短轴的端点时，△PF1F2的面积取得最大值，（）max＝×1＝，故C错误；对于D，｜＋｜＝2｜｜＝2＝2，因为－2≤x≤2，所以1≤＋1≤4，所以2≤｜＋｜≤4，故D正确.故选A、D. 11.ABC　因为F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以＝2，即得p＝4，A选项正确；设M（x0，y0）在y2＝8x上，所以x0≥0，所以｜MF｜＝x0＋≥＝｜OF｜，B选项正确；因为以M为圆心且过F的圆半径为｜MF｜＝x0＋2，等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；不妨设点M在第一象限，当∠OFM＝120°时，x0＞2，＝tan 60°＝，且＝8x0，y0＞0，所以－8y0－16＝0，解得y0＝4或y0＝－（舍），所以△OFM的面积为S△OFM＝｜OF｜×｜y0｜＝4，D选项错误.故选A、B、C. 12.5x2－y2＝1　解析：抛物线x＝y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为（1，0），则得a2＋b2＝1，又e＝＝，易求得a2＝，b2＝，所以该双曲线的方程为5x2－y2＝1. 13.8　解析：由题意知抛物线的焦点为F（2，0），准线l为x＝－2，∴K（－2，0），设A（x0，y0）（y0＞0），∵过点A作AB⊥l于B，∴B（－2，y0），∴｜AF｜＝｜AB｜＝x0－（－2）＝x0＋2，｜BK｜2＝｜AK｜2－｜AB｜2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A（2，4），∴△AFK的面积为｜KF｜·｜y0｜＝×4×4＝8. 14.＋＝1（答案不唯一）　解析：因为｜PF1｜＝6｜PF2｜，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝7｜PF2｜＝2a，则｜PF2｜＝，又因为a－c≤｜PF2｜≤a＋c，所以≥a－c，即≥.根据题意可设C的方程为＋＝1（a＞b＞0），因为椭圆C的短轴长为4，则2b＝4，可得b＝2，又由≥，可得＝≥，解得a2≥，所以椭圆C的一个标准方程为＋＝1. 15.解：（1）由题意有＋＝1，e＝＝，a2－b2＝c2， 解得a＝，b＝，c＝，所以椭圆方程为＋＝1. （2）由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y＝k（x－3）， 代入椭圆方程整理得（2k2＋1）x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2＞0，得k2＜1. 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ｜MN｜＝ ＝ ＝＝， 解得k＝±，满足k2＜1， 故所求直线方程为y＝±（x－3）. 16.解：（1）因为动圆M与圆E：（x＋）2＋y2＝和圆F：（x－）2＋y2＝都外切， 设圆M半径为r，则｜ME｜＝r＋，｜MF｜＝r＋， 所以｜ME｜－｜MF｜＝4＜｜EF｜， 所以M的轨迹是以（－，0），（，0）为焦点，2a＝4的双曲线的右支，即－＝1（x≥2）. （2）设P（x，y），A（8，0），则＝（x－8，y），＝（x，y）， 所以·＝（x－8）x＋y2，又－＝1（x≥2）， 所以·＝x2－8x＋3＝－8x－3（x≥2），当x＝时，（·）min＝－. 17.解：（1）如图，由题意得解得a＝2，c＝1，所以b＝＝， 所以椭圆的方程为＋＝1，离心率为e＝＝. （2）由题意得，直线A2P斜率存在，由椭圆的方程为＋＝1可得A2（2，0）， 设直线A2P的方程为y＝k（x－2）， 联立方程组消去y整理得：（3＋4k2）x2－16k2x＋16k2－12＝0， 由根与系数的关系得·xP＝，所以xP＝， 所以P（，），Q（0，－2k）. 所以＝×4×｜yQ｜，＝×1×｜yP｜，＝×4×｜yP｜， 所以＝＋＝2＋， 所以2｜yQ｜＝3｜yP｜，即2｜－2k｜＝3｜｜， 解得k＝±，所以直线A2P的方程为y＝±（x－2）. 18.解：（1）由题意知点P到F的距离与到直线x＝－1的距离相等，所以曲线C是以F为焦点的抛物线，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）， 则＝1，得p＝2， 故曲线C的方程为y2＝4x. （2）证明：由题意设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），y1＋y2≠0，y3＋y4≠0， 设直线MN：x＝my＋1，m≠0， 由 可得y2－4my－4＝0，Δ＝16（m2＋1）＞0， 所以y1y2＝－4. 由斜率公式可得 kMN＝＝＝，kAB＝＝， 直线MD：x＝y＋2，代入抛物线方程y2＝4x可得 y2－·y－8＝0， Δ1＝＋32＞0，y1y3＝－8， 所以y3＝2y2， 直线ND：x＝y＋2，代入抛物线方程y2＝4x可得 y2－·y－8＝0， Δ2＝＋32＞0，y2y4＝－8， 所以y4＝2y1， 故kAB＝＝＝， 即k2＝，所以＝2，即为定值. 19.解：（1）由题意可得2a＝4⇒a＝2， 当l⊥x轴时，直线l：x＝4， 则－＝1⇒y＝±b， 又｜MN｜＝2＝2b⇒b＝， 所以双曲线的方程为－＝1. （2）由题意可知A1（－2，0），A2（2，0）， 不妨设l：x＝ty＋4，M（x1，y1），N（x2，y2），易知y1≠0，y2≠0， 联立方程得⇒（t2－2）y2＋8ty＋12＝0， 则且不难发现ty1y2＝－（y1＋y2）. 由斜率公式可知＝，＝， 则：＝＝＝＝＝－，故：＝－是定值. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $