第2章 章末复习课2 圆锥曲线（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

章末检测卷(二)　圆锥曲线 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点在直线2x－y＋3＝0上，则p＝(　　) A．12　　　　　　　　　　B．6 C．3 D． 解析：选B　由抛物线x2＝2py(p＞0)，得焦点坐标为.因为焦点在直线2x－y＋3＝0上，所以2×0－＋3＝0，解得p＝6，故选B. 2．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选D　方程化为标准方程为－＝1， ∴a2＝3，b2＝9. ∵c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4. 3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选C　由e＝，得＝，∴c＝a，b＝＝a.而－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，∴所求渐近线方程为y＝±x. 4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选B　∵椭圆的长轴长为6，焦点恰好三等分长轴，∴2a＝6，a＝3，∴6c＝6，c＝1，b2＝a2－1＝8，∴椭圆方程为＋＝1，故选B. 5．直线x－y＋＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝2 ，则该椭圆的离心率e＝(　　) A．－1 B． C．2－2 D．－1 解析：选A　记椭圆的右焦点为F′，由题意得F(－，0)，C(0，1)，则F′(，0).由＝2 ，可得A，则|AF|＝3.连接AF′，则|AF′|＝，所以2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋，所以a＝，又c＝，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1，故选A. 6．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A　根据题意，抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，则1＋＝5，解得p＝8，即抛物线的方程为y2＝16x，把M(1，m)代入，可得m＝4，即M的坐标为(1，4)，双曲线－y2＝1的左顶点为A，则a＞0，且A的坐标为(－，0)，渐近线方程为y＝± x，因为双曲线的一条渐近线与直线AM平行，所以kAM＝＝，解得a＝. 7．已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1，2) C．(2，1＋) D．(1，1＋) 解析：选B　若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°， 在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c， 则＜a＋c，化简整理，得2a2－c2＋ac＞0， ∴e2－e－2＜0，∴－1＜e＜2.又e＞1，∴1＜e＜2.故选B. 8．我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：选A　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0). 由已知，得A(a，0)，B(0，b)，F(－c，0)， 则＝(－c，－b)，＝(a，－b). ∵离心率e＝＝， ∴c＝a，b＝ ＝＝a， ∴·＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知双曲线C：－＝1(a＞，b＞0)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则有(　　) A．渐近线方程为y＝±x B．离心率e＝ C．离心率e＝ D．渐近线方程为y＝±x 解析：选AC　易知双曲线C的右顶点为A(a，0)，不妨设圆A与双曲线C的一条渐近线bx＋ay＝0交于M，N两点．由∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx＋ay＝0的距离为b cos 30°＝b，可得＝b，即＝，故e＝.又＝＝，故渐近线方程为y＝±x. 10． 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍然以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子中正确的是(　　) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．c1a2＞a1c2 D．＜ 解析：选BC　对于A，因为在椭圆中，a＋c是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A错误；对于B，因为在椭圆中，a－c是椭圆上的点到焦点的最小距离，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；对于C，D，因为由题图可以看出椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，所以椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ的离心率大，所以D是错误的，C正确． 11．已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．点F的坐标为 B．若直线MN过点F，则x1x2＝－ C．若＝λ，则|MN|的最小值为 D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 解析：选BCD　易知点F的坐标为，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－，选项B正确；若＝λ，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确；抛物线x2＝y的焦点为，准线方程为y＝－，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，则|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝，所以|PP′|＝＝，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，选项D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________． 解析： 如图，在等边三角形ABF中，|DF|＝p，|BD|＝ p，所以B点的坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6. 答案：6 13．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于______．△PF1F2的周长等于________． 解析：由＋＝1知，a＝5，b＝4，所以c＝3， 即F1(－3，0)，F2(3，0)，所以|PF2|＝|F1F2|＝6. 又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10， 所以|PF1|＝10－6＝4， 于是S△PF1F2＝·|PF1|·h ＝×4× ＝8. |PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋6＝16. 答案：8　16 14．直线y＝－2x－3与曲线－＝1的公共点的个数为________． 解析：当x≥0时，曲线－＝1为焦点在y轴上的双曲线；当x＜0时，曲线＋＝1为焦点在y轴上的椭圆，∴曲线－＝1的图象如图所示，在同一坐标系中作出直线y＝－2x－3的图象，可得直线与曲线交点个数为2个． 答案：2 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程． 解：由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1＝＝， 所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)， 因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)， 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题设条件及双曲线的性质， 得解得 故所求双曲线的方程为－y2＝1. 16．(15分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1，0). (1)求此椭圆的标准方程； (2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A，B两点，求|AB|的值． 解：(1)由题意知＝且c＝1， ∴a＝，b＝＝1. 故椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知，椭圆方程为＋y2＝1，① 又直线过点F(1，0)，且倾斜角为， 斜率为k＝1. ∴直线的方程为y＝x－1.② 由①②联立，得3x2－4x＝0， 解得x1＝0，x2＝. 故|AB|＝|x1－x2| ＝＝. 17．(15分)已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过点M作斜率为k的值线l，与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，线段AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0，0). (1)求k的取值范围； (2)求证：x0＜－3； (3)△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时的k值，若不能，请说明理由． 解：(1)由y2＝－4x，可得准线方程x＝1，点M的坐标为(1，0). 设l的方程为y＝k(x－1). 由得k2x2－2(k2－2)x＋k2＝0. ∵A，B存在，∴Δ＝4(k2－2)2－4k2＞0，∴－1＜k＜1. 又k≠0，∴k∈(－1，0)∪(0，1). (2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，可得 x3＝＝， y3＝k＝－. ∴线段AB的垂直平分线方程为 y＋＝－. 令y＝0，x0＝－－1. ∵k2∈(0，1)，∴x0＜－3. (3)假设存在以EF为底的等腰△PEF， ∴P在线段EF的垂直平分线上， ∴2x3＝－1＋. ∴2·＝－2－，解得k＝±. ∴△PEF可以成为以EF为底的等腰三角形，此时k＝±. 18．(17分)在平面直角坐标系Oxy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 解：(1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2， 所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支． 设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c， 则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16. 所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥ 1). (2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0， 设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0) 直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0). 由得(16－k)x2－2k1·x－－16＝0. 设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 易知16－k≠0， 则xAxB＝， xA＋xB＝， 所以|TA|＝ ＝， |TB|＝ ＝， 则|TA|·|TB| ＝(1＋k) ＝(1＋k) ＝(1＋k) ＝. 同理得|TP|·|TQ|＝. 因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|， 所以＝. 所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k， 即k＝k，又k1≠k2，所以k1＝－k2， 即k1＋k2＝0.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. 19．(17分)下面是某同学在学习总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整． (1)圆O：x2＋y2＝r2上点M(x0，y0)处的切线方程为______________．请说明理由. (2)椭圆＋＝1(a>b>0)上一点(x0，y0)处的切线方程为__________________． (3)若P(m，n)是椭圆L：＋y2＝1外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程是____________． 解：(1)圆O：x2＋y2＝r2上点M(x0，y0)处的切线方程为y0y＋x0x＝r2. 理由如下： ①若切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则所以k＝－， 又过点M(x0，y0)，由点斜式可得y－y0＝－(x－x0)， 化简，可得y0y＋x0x＝x＋y＝r2， 所以切线的方程为y0y＋x0x＝r2； ②若切线的斜率不存在，则M(±r，0)， 此时切线的方程为x＝±r，满足方程y0y＋x0x＝r2. 综上所述，圆O：x2＋y2＝r2上点M(x0，y0)处的切线方程为y0y＋x0x＝r2. (2)①当切线斜率存在时，设过点(x0，y0)的切线方程为y＝kx＋m， 联立方程整理得(b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2m2－a2b2＝0， 由Δ＝0，可得(2kma2)2－4(b2＋a2k2)(a2m2－a2b2)＝0， 所以a2k2－m2＋b2＝0， 由韦达定理，可知2x0＝－， 即x0＝－， 把x0＝－代入y＝kx＋m中，得m＝， 所以y＝kx＋m＝－x＋， 化简得＋＝1； ②当切线斜率不存在时，过(x0，y0)处的切线方程为x＝±a，满足上式． 综上，椭圆上一点(x0，y0)处的切线方程为＋＝1. (3)由(2)知，在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处，椭圆L的切线方程为分别＋y1y＝1和＋y2y＝1. 因为两切线都过点P(m，n)， 所以＋y1n＝1，＋y2n＝1. 所以由这两个“同构方程”得到直线AB的方程为＋ny＝1. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$