第二章 圆锥曲线（单元分层自测·基础通关卷）数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦选择性必修第一册第二章圆锥曲线基础通关，通过梯度化题型与真实情境设计，适配单元复习，强化数学思维与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|单选8题40分、多选3题18分|双曲线标准方程、椭圆性质|多选第11题结合几何直观考查曲线方程判断，发展抽象能力| |填空题|3题15分|轨迹方程、曲线类型判断|第14题开放设问曲线类型，培养创新意识| |解答题|5题77分|抛物线定义应用、实际问题建模|第18题以反光镜轴截面为情境考查抛物线方程，体现数学语言表达现实世界；第19题通过渐近线距离与最值问题，发展推理能力，契合高考命题趋势|

2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第二章 圆锥曲线·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A A C A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．14 13． 14．①双曲线（或②椭圆或③圆） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意；..............2分 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：．..............4分 （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为．..............8分 （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为．..............13分 16.解：设M的坐标是，则根据题意可知， 化简得．..............5分 当时，方程可变为，这表示的是端点在原点方向为y轴正方向的射线， 且不包括端点，..............10分 当时，方程可变为，这表示的是焦点为的抛物线， 如图所示：   ..............15分 17.解：（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知， 点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线， 故点P的轨迹C的方程为：．...........7分 (2)证明：由（1）得，曲线C的方程为：． 由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设， 由得：，，...........10分 设，，则，． 所以，，故即．...........15分 18.解：（1）如图， 在反光镜的轴截面内建立直角坐标系， 使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是， 设抛物线方程为，则，解得，...........5分 则抛物线的标准方程是， 焦点坐标是............9分 （2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长， 所以每根铁筋长为，                               所以架子所用钢筋总长度为............17分 19.解：（1）的一条渐近线的方程为，即， 点到的距离，...........5分 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为．...........9分 （2） 记双曲线的左焦点为，则， ，...........14分 当三点共线时，最小，且最小值为． 故的最小值为．...........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第二章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知双曲线C：（，）的焦距是虚轴长的4倍，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的离心率为（     ） A．3 B． C．2 D． 4．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 5．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的焦点坐标为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 7．双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（    ） A． B．－1 C．1 D．3 8．已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 10．对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为的有（    ） A．焦点在x轴上 B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 C．焦点到准线的距离为5 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 11．已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（    ） A．为等边三角形 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为________. 13．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 14．已知点在圆上，点为平面内一定点，点为与中垂线的交点，则从下面3个条件任选一个，将其所选序号和对应点的轨迹填入横线处______． ①点在圆外；②点在圆内（除圆心外）；③点与圆心重合． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 16．（15分）已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线． 17．（15分）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 18．（17分）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）． 19．（17分）已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第二章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知双曲线C：（，）的焦距是虚轴长的4倍，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为C的焦距是虚轴长的4倍，所以，则，所以． 2．已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，因为点在曲线上，所以，即，故点的轨迹方程为． 3．若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的离心率为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则，解得，故A 正确. 4．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，. 5．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．    6．已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的焦点坐标为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 【答案】A 【解析】椭圆半焦距，则，解得，双曲线方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确；对于B，双曲线的焦点坐标为，B错误； 对于C，双曲线的离心率，C错误；对于D，双曲线的实轴长为2，D错误. 7．双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（    ） A． B．－1 C．1 D．3 【答案】C 【解析】由离心率为，有，故双曲线的渐近线方程为.由解出；由解出.设AB的中点为P，则点P的坐标为，且， 于是，解出.    8．已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设动点的坐标为，则（）.若，则，整理得（），此时动点的轨迹是圆上去掉点，，不符合题意，故选项A错误；若，则，整理得（），此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项B错误；若，则，整理得（），此时动点的轨迹是椭圆上去掉点，，符合题意，故选项C正确；若，则，整理得（），此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【解析】由双曲线，可得，则焦距为，焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为；又由双曲线，可得，则焦距为，焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为，所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 10．对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为的有（    ） A．焦点在x轴上 B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 C．焦点到准线的距离为5 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 【答案】ACD 【解析】[抛物线的焦点在x轴上，A满足；设是抛物线上一点，则，所以B不满足；因为中，，所以焦点到准线距离为5，所以C满足；由于抛物线的焦点为，设过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为，则，此时直线存在，所以D满足．所以满足抛物线的有ACD．] 11．已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（    ） A．为等边三角形 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对A：根据抛物线的定义可得，又轴，，所以，所以为等边三角形，故A正确；对B：因为，直线方程为：，代入抛物线方程得：，整理得：，所以，.根据抛物线的定义：，.所以，故B错误；对C：，故C正确；对D：由AB可知，，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为________. 【答案】14 【解析】因为，，所以，故的周长为. 13．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】如图，由可知，由对称性不妨设，由定义，因为，所以，所以，所以，解得，所以的面积为. 14．已知点在圆上，点为平面内一定点，点为与中垂线的交点，则从下面3个条件任选一个，将其所选序号和对应点的轨迹填入横线处______． ①点在圆外；②点在圆内（除圆心外）；③点与圆心重合． 【答案】①双曲线（或②椭圆或③圆） 【解析】由题可得圆．如图①，当点在圆外时，连接，则，有，此时点的轨迹是以点为两焦点，实轴长为4的双曲线； 如图②，当点在圆内（除圆心外），连接，则，有， 此时点的轨迹是以两点为焦点，长轴长为4的椭圆；当点与圆心重合，此时点为中点， 所以此时点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆．      四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 15.解：（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意；..............2分 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：．..............4分 （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为．..............8分 （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为．..............13分 16．（15分）已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线． 16.解：设M的坐标是，则根据题意可知， 化简得．..............5分 当时，方程可变为，这表示的是端点在原点方向为y轴正方向的射线， 且不包括端点，..............10分 当时，方程可变为，这表示的是焦点为的抛物线， 如图所示：   ..............15分 17．（15分）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 17.解：（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知， 点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线， 故点P的轨迹C的方程为：．...........7分 (2)证明：由（1）得，曲线C的方程为：． 由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设， 由得：，，...........10分 设，，则，． 所以，，故即．...........15分 18．（17分）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）． 18.解：（1）如图， 在反光镜的轴截面内建立直角坐标系， 使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是， 设抛物线方程为，则，解得，...........5分 则抛物线的标准方程是， 焦点坐标是............9分 （2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长， 所以每根铁筋长为，                               所以架子所用钢筋总长度为............17分 19．（17分）已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 19.解：（1）的一条渐近线的方程为，即， 点到的距离，...........5分 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为．...........9分 （2） 记双曲线的左焦点为，则， ，...........14分 当三点共线时，最小，且最小值为． 故的最小值为．...........17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第二章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知双曲线C：（，）的焦距是虚轴长的4倍，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的离心率为（     ） A．3 B． C．2 D． 4．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 5．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的焦点坐标为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 7．双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（    ） A． B．－1 C．1 D．3 8．已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 10．对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为的有（    ） A．焦点在x轴上 B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 C．焦点到准线的距离为5 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 11．已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（    ） A．为等边三角形 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为________. 13．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 14．已知点在圆上，点为平面内一定点，点为与中垂线的交点，则从下面3个条件任选一个，将其所选序号和对应点的轨迹填入横线处______． ①点在圆外；②点在圆内（除圆心外）；③点与圆心重合． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 16．（15分）已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线． 17．（15分）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 18．（17分）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）． 19．（17分）已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $