第2章 圆锥曲线章末检测-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

因为x1=y1-b,x2=y2-b,所以2y1y2-(b+3)(y1+y2)+(b+3)2=0, 即62+18b-27=0,解得b=-9+63或b=-9-63,故存在斜率为1 的直线L,使得FA⊥FB,此时直线l的方程为y=x-9+65或y=x 9-65. 第二章章末检测 1.C解析：由双曲线C92-16r2=144,可化为2 -=1,可得a2= 169 16,即a=4,所以双曲线的实半轴长为4.故选C. 2.C解析：因为点M(1,-2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，所以 4=2p,解得p=2,所以C的焦点到准线的距离为2，故选C. 3.D解析：根据椭圆方程可得a2=9,则a=3,由椭圆的定义得 IAF1I+|AF2I=2a,IBF1I+|BF2|=2a,所以△AF2B的周长为1AF2I+ IBF2I+1ABI=IAF2I+IAFI+IBF2I+IBF I=4a=12.D. 4.A解析：设椭圆的焦距为2c,长轴长为2a,则由已知可得p=a+c-r, =a-c-r,两式相加可得p+w=2a-2r,两式相诚可得p-u=2c,则a= p2c-,所以离心率= 0pu+2故选A 5.C解析：如图，连接QA,OA.因为1为PA的垂直平分线，所以 IQA1=IQPI,所以IIQA1-IQ01I=IIQP1-1Q01I=1OPI=r为定值 又因为点A在圆外，所以IOA|>|OPI,根据双曲线定义，点Q的轨迹 是以O,A为焦点，为实轴长的双曲线.故选C y个 P (第5题) (第6题) 6.C解析：结合题意，可知抛物线y2=2x的准线方程为x=-?,如图 所示.过A,B分别作准线的垂线AM,BN,垂足为M,N,过点B作AM 的垂线，垂足为点C,设1AF1=2x,直线AB的倾斜角为a,因为|AF1= 2IFB1,所以IFB1=x,IAB1=3x.由抛物线的定义得IAFI=IAM1=2x, IBFI=IBNI=x,结合图形易知IBNI=ICMI,∠BAC=,所以 IAC1=1AMI-ICMI=x,在Rt△ABC中，IBC1=√TABI2-IACI2= 22x,所以直线AB的斜率k=an&=anBAC=BC-22x=22 lACI x 故选C. 7.B解析：如图所示，当点P在y轴左侧时，连接 ON,PF1,由点F1关于点N的对称点为M,得N 是线段MF1的中点，而点O是线段F,F2的中 点，则1F2MI=21OWI=2,由PN为线段MF1的垂F1 直平分线，得IPF1I=IPM1=IPF2I-IF2MI= IPF2I-2,于是IPF21-IPFI=2<1F1F2|=4,当点P在y轴右侧时， 同理IPF1-PF2=2<1F1F21=4,则1IPF1I-PF211=2<1F,F21= 4,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的 方程为2-号1 8B解折：由题设∠R,PE,为锐角且m∠，P,=子，设1PE1=, 则1P1=2a且1P01-R01=“故IB,01=-(2a) -2,因为Q在椭圆内部且Q在PR,的延长线上，故2>0且 5*+5*-2a<2a,故50 48 4t< ，而42=2+(2a-x)2-2xx(2a-x)× 5a 号整理得-号-+4d-（o户 5 5,故a2<4e2< 智，故写黎上可得e(任9）故选 参考答案 9.AB解析：当α=90时，cos90°=0，方程x2=1,得x=±1，表示与y轴 平行的两条直线，故A正确；当a=0时，cos0°=1，方程x2+y2=1表 示圆心在原点的单位圆，故B正确：当90°>a>0°时，1>cosa>0,方程 x2+y2cos=1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，故C错误：当 180°>a>90°时，cosa<0,方程x2+y2co8a=1表示焦点在x轴上的双 曲线；当a=180°时，c0s180°=-1，方程x2-y2=1表示焦点在x轴上 的等轴双曲线，故D错误故选AB. 10.ABD解析：对A,由题知，a=3,b=√5，c=2,则A1(-3,0),A2(3, 0,R-2.0,2,0.设P(00号号=1g=号(6- 5 0.0.69(号-9) 9则)’699A正 5 确；对B,易知当点P为短轴端点时，△PF,F2的面积最大，最大值 为2×2b=25,B正确；对C,PF=(-2-0,-%),PF=(2-0, 0),则P丽，P时=6-4+6=6-4-(6-9)=号6+1≥1，C错 误：对D,由椭圆定义可知，IPF,I=6-IPF2I,所以IPMI+1PF1I= 6+IPMI-IPF21≤6+1MF2l.又1F1M1=√1+2)2+(1-0)2= √10,1MF21=√(1-2)2+(1-0)7=√2，所以1PM1+1PF11+ 1FM|≤6+|MF2|+IF1M=6+√10+2，当M,F2,P三点共线，且 F2在线段MP上时，等号成立，D正确.故选ABD. 11.ACD解析：如图，A.设圆I与△PFF2 三边PF1,PF2,F1F2的切点分别为A,B, C,IF CI=IF AI=IPFI-IPBI=IPFI- (IPF2I-IF2BI)=2a+IF2CI,FCI+ 1F2C1=2c,故1F2C1=c-a,故10C1=a,所 以I到y轴的距离为a,故A正确；B.设 G(x0,y0),则0=30元=(3x0,3y0),又P 在双曲线x=1上且P位于第一象限，则 (3x0)2(3y0)2 =1 62 (>0,0≥0)，即号 a262 =1(x0>0,y0>0),此时点G的轨迹为双 99 曲线的右支的一部分，故B错误；C.设椭圆的长半轴长为a1,它们 的半焦距为c,并设1PF,I=m,IPF2I=n,根据椭圆和双曲线的定义 可得m+n=2a1,m-n=2a,所以m=a1+a,n=a1-a,在△P0F1中，由 余弦定理得1PF112=10F112+10PI2-210F1110P1cos∠P0F1, 即m2=c2+4c2-2×c×2c·cos∠P0F1,在△P0F2中，由余弦定理得 1PF212=10F212+10P2-210E2110P1cos∠P0F2,即n2=c2+ 4c2-2×c×2c·cosLP0F2,由∠P0F2=T-∠P0F1,两式相加，则 n2+m2=10c2,又n2+m2=2a+2a2,所以2a1+2a2=10c2,所以a+ a2=5c2,所以+a2 =5,即+}=5，故C正确；D.Sa, ee SaPr2≥2SaP,2,即1PF1-lPF21≥c,所以2a≥c,即1<C1≤2，故 D正确.故选ACD. 】解析：根据y产=1，得到2=16,2=1，则a=4,6=1,则c2 17,则c=万.所以右焦点F(了，0)，渐近线方程为y=±子，即 ±x-4y=0.根据点到直线距离公式，知F(√17,0)到C的渐近线的 距离为d=±17 =1.故答案为1. V17 13.1解折：由题意F(0,?),直线AB方程为y=3x+号，设4(， y1),B(x2,y2),由 =5+片得2-2m-P=0,所以+场 x=2py 25P,x12=-p.又1AB1=V1+21x1-x21=√1+3· √(x1+x2)2-4x1x2,所以8=2√12p2+4p2,解得p=1(负值已舍 黑白题043 去)，即直线B方程为y=x+分，所以原点0到直线B的距离 1 10-0+2 为d= 1 √1+3 4=1.故答 案为1. [x 4y2=1,x≥0，y≥0， 14.(-∞，-22] 解析：曲线C: 4+少=1，*≥0，y≤0，故曲线C的 3 4 1,x≤0，y≤0， 大致图象如图①. Y 一3史1 10E ① ② 其中F1(W5,0),F2(5,0),F3(0,-5),双曲线的图象无限接近于 渐近线y= 2x,因为1x-2y+a1+1x-2y+21=5(lx-2y+al √12+22 1-2+2）为定值，所以-2++x-2+21=d+,为定值，其 √12+22) √12+22√2+22 中d,=x-2r+al 2+22,4= -2+2分别表示曲线上的点到直线x-2y+ √12+22 a=0和直线x-2y+2=0的距离，当且仅当曲线上的点在两条平行线 之间时d,+d2有定值，如图②.所以直线x-2y+a=0为曲线的切线 （x-2y+a=0, 或在曲线下方，由图②可知〈x2 (4少=1，*≥0，y≤0最多只有一个 a2 解，即2y-a+4-1=0最多有一个负数解，需满足直线x-2y+a=0 在y轴上的距号0，当4=-42x(任）-0时a=-2远 22y+1=0的解为-号，符合题意，所以4 (仟1k0时，结合受<0，解得a<-2万故可得a5-2反放答 案为(-0，-22]. 15.(1)证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意，设直线AB: x=my+2,4(名，1)，B(22),联立2=2x,整理可得一2my 4=0,由根与系数的关系可得1+y2=2m,y12=-4,则0i.0成= .分 +y2=2·2+y1h=0,所以0M10B, (2)解：因为线段AB的中点的纵坐标为1，所以y1+y2=2m=2,所 以m=1,所以y1+y2=2,y1y2=-4,所以1AB1=√1+m21y1-y21= √1+m2√(y1+y2)2-4y12=√2×V4+16=2o. 16,解：(（)由题意得2a=25,所以心-3，因为点以2，号)在精圆 上，所以23 号+京=1，解得62=1，所以椭圆B的方程为子+=1 (2)直线P0的方程为y=+2,联立+2，消去y后，得关 (x2+3y2=3, 于x的一元二次方程x2+3(x+W2)2=3,化简得(1+3k2)x2+ 62kx+3=0,由题意知△=(62k)-4×3×(1+3k2)=36k2-12>0,解 得或与系数的关系可得场= 1+3k2,1· 选择性必修第一册·BS 五=1+3，所以1P01=+1-1=1+g. 3 72k212 V(1+3k2)21+3k2 2=√3，所以(1+2)·.632=3，化简得%4+ 6k2-15=0,解得2=1，即k=±1，经检验k=±1符合题意. 17.解：(1)设动圆的半径为R,由题意1PF1I=R+1,|PF2|=3-R, 所以1PF1I+1PF2I=R+1+3-R=4,又1F,F21=2<4,故P的轨迹为 椭圆，所以2a=4→a=2,所以2c=2→c=1,b2=a2-c2=3,故C的轨 迹方程为号号2 (2)由题意知直线1的斜率存在且不为0，设为x=my+1,联立 {32+4212=0,得(3m2+4)y+6my-9=0,设A(1,）,B(, (x=my+1, -6m -9 归)，则nt3m2+423nm2+4由=2F乃应，得1=-22，所 以n产去⅓48 6m 9 9 石，所以直线的方程为y主2(x-】 18.解：(1)由题意可知A(-2,0),B(2,0),当P是C的上顶点时，P(0, 2),则直线AP的斜率w=子，因为P1B0,所以直线B0的斜 y=-√2x+22, 率k0=-2,则直线BQ:y=-2x+22,联立{x2,y2 可得 （421, 5-1G+12=0,所以0=2，号所以0=台，所以0 62a=g即点0的坐标为(：4)】 (2)由题意可设直线AP(斜率存在且不为0)：x=my-2(m≠0)，则 直线0：=+2，联立可得(m2+2y2-40,所 (x=my-2, 421, 以即r(行)小联 以yp= e= 4m 立 可得(2m2+1)y2-4my=0,所以02nm+1所以 (421, 1 x0=- o2-子用Q(32)因为P0,1共线。 2m2+1' 4m 4m 所以m222m1 t- 2m2-4 ,整理得子( +日)）因为0，所 m2+2 2m2+1 以m>0,所以t= （日）子，当组仪当m1时等号成立， 所以：的最小值为号 19.0房：由题意知双香线c号云-1o0,b0过点2,3》。一条 49 渐近线方程为3-y=0,则21， b=, 怎仁.黄双准线C 的标准方程为子-号山 (2)解：点P为双曲线右支上一点，设P(x0yo),x≥1，A(t,0)(> 0),则1PA1=√(x0-t)2+哈=√(x-t)2+3x-3= V-4(）-,当号1，即0as4 时最办为，4)-3当子1，即 黑白题044 4时，P最小值为√/？P-3 (3)证明：当过点F(2,0)的直线斜率不存在时，直线方程为x=2, 11.12 此时不纺取M(2,3),N2,-3),则号+号号当过 点F(2,0)的直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2),M(x1,y1), (y=k(x-2), N(x2,y2),不妨令x1>2,1<x2<2,联立 2 31, 得(3-k2)x2+ 42x-42-3=0,由于直线过双曲线的右焦点，必有△>0，直线与双曲 线C的右支交于M,N两点，需满足>5或kk-5,则1+，3-R, -42 x1x2= 则 1 1 MFT INFI1+1-21 1+2-21 () 1 1 x1%2 1 √1+h2(x1-2)(2-2)√1+ x1-X2 1 √(x1+x2)2-4x1x2 1 2(+)-*1249 √1+k2 2(x1+x2)-x1x2-4 /1+k2 -4k2 2 4.-42-3 /16k4+4(4k2+3)(3-k2) （3-k2 3-k2 1 (3-k2)2 -42 -42-34 √1+k2 -9 3-k2 3-k2 3-k2 6√2+1 -(3-k2) 1 6√2+1_2 1 √1+k2 -9 V1+ 9 =了综上可知MF+NF 3-k2 为定值 第二章真题演练 黑题 真题体验 1.A解析：设点M(x,y),则P(x,yo),P'(x,0),因为M为PP'的中点， 所以y0=2y,即P(x,2y).又P在曲线C:x2+y2=16(y>0)上，所以x2+ =160),即后=1(%0)，即点y的铁造方程为二 164 1(y>0).故选A. 2.A解析：由e2=3e1,得e经=3ei,因此4=32而a>1,所以， 敌送人 3.B解折：设∠RP=20,0<0号，所以Sar,=bm ∠F1PF2 2 an 0,co LF:PF2=cos 20-cos20-sin201-tan203 os0+sim2g1+an29,解得 m0分，由椭圆方程可知，心2=9,62=6,2=2-2=3，所以 Sa分×R:1X1=子×2x1=6x解得疗=3，即 =9x(1-2）-},因此101=-√8=放 选B. 4.C解析：如图，将直线方程y=x+m与椭圆的方程联立得 (y=x+m, 会行1，消去y可得4+6+3-30.因为直线与椭圆相交 于A,B两点，则△=36m2-4×4(3m2-3)>0,解得-2<m<2.设点F1 到AB的距离为d1,点F2到AB的距离为d2,由图易知F1(-√2,0)， I-√2+ml F2(2,0),则d1=5,4=12+m1ah 2’S△F4Bl2+ml 2 参考答案 1-2+ml=2,解得m= 12+ml 3或m=-32(舍去).故选C 5.C解析：由题意，设F1(0,-4),F2(0,4),P(-6,4),则1F1F21=2c= 8,1PF11=√62+(4+4)7=10,1P℉21=√62+(4-4)7=6，则2a= P℉，-Pp=10-6=4,则。=2%=氵=2故选C 6.D解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),0为坐标原点，则AB的中点 y1+y2 (,” ,可得kB= 2,因为A,B 业，kow产2切 1-x2 2 在双曲线上，则 ”两式相减得（好-巧）-乃=0，所 g =1, 以kB·koM 片-9，对于选项A,可得kow=1,k=9,则AB:y x-x行 y=9x-8, 9x-8,联立方程{ -号1，消去y得722-2x72+73=0,此时4 9 (-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直线AB与双曲线没有交点， 故A错误：对于选项B,可得w=-2,5=- 9 2,则B:=之* 95 Y=- 2,联立方程 22, 消去y得45x2+2×45x+61=0,此时A= (2×45)2-4×45×61=-2880<0,所以直线AB与双曲线没有交点，故 B错误；对于选项C,可得kow=3,kAB=3,则AB:y=3x,由双曲线方程 可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双 曲线没有交点，放C错误：对于选项D,om=4,5如=？，则：y 97 y=- 4*4,联立方程 97 44 消去y得63x2+126x-193=0,此时 △=1262+4×63×193>0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确 故选D. 7.2解析：由题可知A,B,P,三点横坐标相等，设A在第一象限，将 3 e代人2 若1，得y=经即4（公）(。公)故 1AB1=2b =10,1A那，1=2=5.又1A,1-1A那，1=2a,得1A机，1= a a 1A21+2a=2a+5=13,解得a=4,代人-5得2=20，故c2=a2+ 故答案为 3 b2=36,即c=6,所以e= a 8,36 5 解析：如图，设1AF21=2m,则1BF21=3m=1BF1I,1AF11= 2a+2m,在Rt△ABF1中，9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+ 3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去)，所以1AF11=4a, |AF21=2a,1BF21=IBF1I=3a,则IAB1=5a,故cos∠F1AF2= 1AF114a.4 AB-5a=5,所以在△AE,乃，中，cos L.F,A2=」 16a2+4a2-4c2 2x4ax2a 黑白题045第二章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 0上运动时，点Q的轨迹是 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.(2025·安徽合肥高二月考)双曲线C:9x2 16y2=144的实半轴长为 ( A.16 B.8 A.射线 B.椭圆C.双曲线D.圆 C.4 D.3 6.（2025·河北石家庄高二期中)已知抛物线 2.(2025·福建莆田一中高二期末)点M(1,-2) y2=2px,过其焦点F的直线与该抛物线交 是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，则C的焦 于A,B两点，A在第一象限，且|AF1=2IFB1, 点到准线的距离为 则直线AB的斜率为 1 A. 2 B.1 A.1 B.√2 C.2 D.4 C.22 D.无法确定 3.(2025·四川宜宾高二期中)已知点F1,F2是 7.(2025·河南信阳高二月考)已知定点F(-2, 帮阙C号号=1的左有焦点，若过编点 0),F2(2,0),N是圆0：x2+y2=1上任意一点， 点F关于点N的对称点为M,线段F,M的垂 的直线交椭圆C于A,B两点，则△AF,B的周 直平分线与直线F,M相交于点P,则点P的 长为 轨迹方程是 () A.4 B.9 B.4 31 C.45 D.12 4.(2025·山东临沂高二月考)开普勒第一定律 c3+=1 x2 D.3y=1 指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆， 8.(2025·福建福州高二月考)已知点P在以 太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳 表面的最大距离为ρ，最小距离u,太阳半径为 为左右焦点的椭圆C名 5=1(a>b> r,则该行星运行轨迹椭圆的离心率为( 0)上，椭圆内存在一点Q在P℉2的延长线上， A.P-u B.P+2r-u 3 p+u+2r ptu 且满足QF1⊥QP,若cosLF,PF,=,则该椭 C.Ptu D.Ptu+2r 圆离心率的取值范围是 P-u+2r p-u 5.如图，定圆0的半径为定长r,A是圆0外 个定点，P是圆O上任意一点.线段AP的垂直 平分线1与直线OP相交于点Q,当点P在圆 c停 选择性必修第一册：BS黑白题064 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 12.(2025·江西南昌高二月考)已知F是双曲 求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 线C 选错的得0分。 :16广=1的右焦点，则点F到C的渐近 9.(2025·湖南永州高二期中)0°≤a≤180°变 线的距离为 化时，方程x2+y"cos a=1表示的曲线的形状 13.(2025·山西太原高二期末)已知过抛物线C: 可以是 x2=2py(p>0)的焦点F且斜率为√3的直线与 A.两条平行直线 C相交于A,B两个不同点，若IAB|=8,则 B.圆 △OAB(O是坐标原点)的面积为 C.焦点在x轴上的椭圆 14.(2025·辽宁沈阳高二期末)已知曲线C: D.焦点在y轴上的双曲线 xlx 4y1y=1上任意一点P(x,y),都有 10.(2025·黑龙江牡丹江高二期末)已知椭圆 6写芳1的左，商个焦点分别为R5, 1x-2y+al+|x-2y+21的和为定值，则实数a 的取值范围是 左、右两个顶点分别为A1,A2,P点是椭圆上 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 任意一点（与A1,A2不重合），M(1,1),则下 文字说明、证明过程或演算步骤， 列命题中，正确的命题是 ( 15.(13分)(2025·四川绵阳高二月考)已知过 Aau=哥 点(2,0)的直线交抛物线y2=2x于A,B两 点，其中O为坐标原点. B.△PF,F2的最大面积为2√5 (1)求证：OA⊥OB; C.存在点P,使得PF·PF=0 (2)若线段AB的中点的纵坐标为1，求IAB1. D.△PMF周长的最大值是6+√J10+√2 11.(2025·黑龙江哈尔滨九中高二月考)双曲 线号云1的左右焦点分划R,其有公 共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点 为P,双曲线和椭圆的离心率分别为e1,2, △PFF2的内切圆的圆心为I,重心为G,则 A.I到y轴的距离为a B.点G的轨迹是双曲线 C.若10P1=1F,E1,则3t}=5 D.若SaP,-Sap,产2SaR,则1<e,≤2 第二章黑白题065 16.(15分)(2025·河北承德高二期中)已知椭17.(15分)(2025·湖南岳阳高二月考)已知圆 圆E:+10>b>0)的长轴长为23，目 F1:(x+1)2+y2=1,圆F2:(x-1)2+y2=9,若 动圆P与圆F,外切，且与圆F2内切，记动圆 点M2,号)在椭圆E上 圆心P的轨迹为C (1)求C的方程； (1)求椭圆E的方程； (2)过F2的直线l与C交于A,B两点，且 (2)设直线y=kx+√2与椭圆E相交于不同的 AF,=2F2B,求直线1的方程 两点P和Q,当1PQ1=√3时，求实数k 的值 选择性必修第一册：BS黑白题066 18.(17分)(2025·湖南怀化高二期末)在平面19.(17分)(2025·山东德州高二期中)已知双 直角坐标系0y中，A,B分别为椭圆C:4+ 由战c号 =1(0>0,b>0)过点(2,3)， 1的左、右顶点，P,Q是C上的两个 条渐近线方程为√3x-y=0. (1)求双曲线C的标准方程； 点，AP⊥BQ,直线PQ与y轴交于点T(0,t) (2)若点P为双曲线右支上一点，A(t,0)(t> (t>0). 0),求1PA1的最小值； (1)当P是C的上顶点时，求点Q的坐标； (3)过点F(2,0)的直线与双曲线C的右支 (2)求t的最小值， 交于，N两点，求证：W+为 定值 第二章黑白题067