培优课 统计案例与概率(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦统计案例与概率核心方法，以题载法构建“概念理解-模型应用-综合拓展”逻辑链，强化数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相关系数与回归分析|5题|相关系数符号与强度判断、回归直线过样本中心、非线性回归转化|从相关关系判定到线性回归方程构建，再到非线性模型转化，层层递进| |独立性检验|2题|2×2列联表构建、χ²计算与显著性判断|结合实际情境（性别与选科/兴趣），体现统计推断的应用价值| |概率综合应用|3题|古典概型概率计算、分布列与期望求解|概率与统计融合，培养用数学语言表达现实问题的能力|

培优课　统计案例与概率 1.已知变量X和变量Y的线性相关系数为r1，变量U和变量V的线性相关系数为r2，且r1=0.785，r2=－0.983，则（　　） A．X和Y之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度 B．X和Y之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度 C．U和V之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度 D．U和V之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度 2.已知变量X，Y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现X与Y之间具有线性相关关系，计算得到线性回归方程为Y=0.8X＋，据此模型预测当X=10时Y的值为（　　） X 5 6 7 8 9 Y 3.5 4 5 6 6.5 A．6.8　　 B．7.4　　 C．8.2　　 D．8.7 3.已知x，y是两个具有线性相关关系的变量，其取值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 m 9 n 11 其回归直线=x＋过点（3，7）的一个充分不必要条件是（　　） A．m=n=5　 B．m=n=6 C．m＋n=11　 D．m=5，n=6 4.如图是一组实验数据的散点图，拟合方程y=＋c（x＞0），令t=，则y关于t的回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈（1.01，1.02）时，x的取值范围是（　　） A．（0.01，0.02）　 B．（50，100） C．（0.02，0.04）　 D．（100，200） 5.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A．回归直线=x＋恒过样本点的中心（，），且至少过一个样本点 B．两个变量相关性越强，则相关系数|r|就越接近1 C．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差s2＜2 D．在线性回归方程=2－0.5x中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位 6.〔多选〕针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数可能为（　　） A．25　 B．45 C．60　 D．75 7.已知x与y之间的几组数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归方程为=x＋．若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x＋a′，则　　　b′，　　　　a′（填“＞”或“＜”）． 8.某省从2021年开始全面推行新高考制度，新高考“3＋1＋2”中的“1”要求考生从物理、历史中选一科，为了解学生选历史、物理与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到结果如下表： 性别 科目 物理 历史 男 13 10 女 7 20 则我们有　　　　的把握判断选历史、物理与性别有关系． 9.某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a忘了记录，但知道36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分别表示小明、小红第i天的成功次数）． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 序号X 1 2 3 4 5 6 7 小明成功次数（Y） 16 20 20 25 30 36 a 小红成功次数（Z） 16 22 25 26 32 35 35 （1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率； （2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数Y关于序号X的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数a的值． 参考数据：1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36=582；12＋22＋32＋42＋52＋62=91. 10.学校为了进一步加快推进学生素质教育，丰富学生的课余生活，挖掘学生的动手动脑潜力，在高一年级进行了一次“变废为宝”手工作品评比，对参赛作品进行统计得到如下统计表： 性别 作品是否合格 不合格 合格 总计 男生 120 100 220 女生 30 50 80 总计 150 150 300 （1）运用独立性检验的思想方法判断：能否有99%以上的把握认为性别与作品是否合格有关联？并说明理由； （2）学校为了鼓励更多的同学参与到“变废为宝”活动中来，决定通过3轮挑战赛评选出一些“手工达人”，3轮挑战结束后，至少2次挑战成功的参赛者被评为本学期的“手工达人”．已知某参赛者挑战第一、二、三轮成功的概率分别为，，，求该参赛者在本学期3轮挑战中成功的次数X的分布列及数学期望EX． 参考公式：χ2=，n=a＋b＋c＋d． 培优课　统计案例与概率 1.C　∵r1＝0.785＞0，r2＝－0.983＜0，∴X和Y之间呈正线性相关关系，U和V之间呈负线性相关关系，又｜r2｜＞｜r1｜，∴X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度，故选C. 2.B　由题表数据，得＝＝7，＝＝5.因为线性回归直线Y＝0.8X＋过样本点的中心（7，5），所以5＝0.8×7＋，解得＝－0.6，当X＝10时，Y＝0.8×10－0.6＝7.4. 3.D　若回归直线＝x＋过点（3，7），由题知xi＝15，＝3，故（3，7）为样本中心点，所以4＋m＋9＋n＋11＝35，m＋n＝11，所以m＋n＝11的一个充分不必要条件可以是m＝5，n＝6.故选D. 4.D　根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的回归直线过点（2，5），（12，25）可得：所以b＝2，c＝1，所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200，故选D. 5.BCD　A选项，回归直线＝x＋恒过样本的中心点（，），可以不过任一个样本点，A错；B选项，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数｜r｜就越接近1，B对；C选项，根据平均数的计算公式可得＝＝4，根据方差的计算公式s2＝[7×2＋（4－4）2]＝1.75＜2，C对；D选项，根据回归系数的含义，可得在线性回归方程＝2－0.5x中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，D对，故选B、C、D. 6.BCD　设男生的人数为5n（n∈N＋），根据题意列出2×2列联表如下所示： 是否喜 欢航天 性别 男生 女生 总计 喜欢航天 4n 3n 7n 不喜欢航天 n 2n 3n 总计 5n 5n 10n 则χ2＝＝，∵有95%的把握认为是否喜欢航天与学生性别有关，∴χ2＞3.841，即＞3.841，得n＞8.066 1，∴5n＞40.330 5，又n∈N＋，∴结合选项知B、C、D正确.故选B、C、D. 7.＜　＞　解析：由两组数据（1，0）和（2，2）可求得直线方程为y＝2x－2，b'＝2，a'＝－2.而利用表格中的数据，可求得＝＝＝，＝－＝－×＝－，所以＜b'，＞a'. 8.95%　解析：根据表中数据，得到χ2＝≈4.844＞3.841，所以我们有95%的把握判断选历史、物理与性别有关系. 9.解：（1）因为36≤a≤55，且a∈Z，所以a的取值共有55－36＋1＝20种情况， yi，zi分别表示小明、小红第i天成功次数， 又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，yi＋a≥zi， 即16＋20＋20＋25＋30＋36＋a≥16＋22＋25＋26＋32＋35＋35，得a≥44， 又36≤a≤55，所以44≤a≤55，且a∈Z， 所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a的取值共有55－44＋1＝12种情况， 所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为＝. （2）由题设可知：xiyi＝1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582， ＝＝， ＝＝， 所以＝＝，＝－＝－×＝11， 所以成功次数Y关于序号X的线性回归方程为Y＝X＋11. 当X＝7时，Y＝×7＋11＝38， 估计小明第7天成功次数a的值为38. 10.解：（1）由题意可得 χ2＝≈6.818＞6.635， 所以有99%的把握认为性别与作品是否合格有关. （2）X的所有可能值分别为0，1，2，3. P（X＝0）＝××＝， P（X＝1）＝××＋××＋××＝， P（X＝2）＝××＋××＋××＝， P（X＝3）＝××＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $