培优课 统计案例与概率(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学统计案例与概率综合应用，系统梳理回归分析（含线性与非线性转化，如y=a+blnx）、独立性检验及概率（条件概率、分布列、数学期望）等核心知识点，构建从统计量计算到综合问题解决的完整学习支架。 以新药试验、儿童厨具销量等现实情境为载体，通过数学建模将实际问题转化为统计与概率问题，培养数据分析和数学抽象能力。课中通性通法总结助力教师授课，课后练习题覆盖多样题型，帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

培优课　统计案例与概率 1.掌握回归分析与概率的综合问题（数学抽象）. 2.掌握独立性检验、概率统计等交汇问题（数学建模、数据分析）. 题型一　回归分析与概率的综合 某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据（xi，yi），i＝1，2，3，4，5，其中xi表示连续用药i天，yi表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：yi≈62，＝47，ui≈4.79，（ui－）2≈1.615，（ui－）（yi－）≈19.38，其中ui＝ln xi. （1）试判断y＝a＋bx与y＝a＋bln x哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程； （2）新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品的概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立. ①随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率； ②若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率. 参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其线性回归方程为＝＋x，＝，＝－. 解：（1）刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓，故y＝a＋bln x适宜作为y关于x的回归方程类型. 令u＝ln x，得y＝a＋bu， 于是＝≈＝12， 因为ui≈4.79，yi≈62，所以＝0.958，＝12.4， 所以＝－·＝12.4－0.958×12＝0.904，＝0.904＋12u，即＝0.904＋12ln x. （2）①设A表示“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格药品”， B1表示“随机抽取一件药品为第1条生产线生产”， B2表示“随机抽取一件药品为第2条生产线生产”，则P（B1）＝，P（B2）＝， 又P（A｜B1）＝0.012，P（A｜B2）＝0.009，于是P（A）＝P[A∩（B1∪B2）]＝P（AB1∪AB2）＝P（AB1）＋P（AB2）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝×0.012＋×0.009＝0.011. ②P（B1｜A）＝＝＝＝. 通性通法 1.高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求解时注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键. 2.在两个变量的回归分析中要注意以下两点： （1）求回归直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算； （2）借助散点图，观察两个变量之间的关系.若不是线性关系，则需要根据相关知识转化为线性关系. 　教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程.消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走红.这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具.一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示. 时间 5月22～ 5月31日 6月1～ 6月10日 6月11～ 6月20日 6月21～ 6月30日 时间代码x 1 2 3 4 销量y/千件 9.4 9.6 9.9 10.1 时间 7月1～7月10日 7月11～7月20日 7月21～7月30日 时间代码x 5 6 7 销量y/千件 10.6 11.1 11.4 （1）从这7次统计数据中随机抽取2次，求这2次的销量之和超过21千件的概率； （2）根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由.（结果保留两位小数） 附：线性回归方程为＝x＋，＝，＝－，相关系数r＝，≈24.51. 解：（1）从7次统计数据中任意选取2次有＝21种选法， 其中满足条件的有（9.9，11.4），（10.1，11.1），（10.1，11.4），（10.6，11.1），（10.6，11.4），（11.1，11.4），共6种，所以所求概率P＝＝. （2）由表格数据，得＝＝4， ＝＝10.3， 所以＝（－3）×（－0.9）＋（－2）×（－0.7）＋（－1）×（－0.4）＋0×（－0.2）＋1×0.3＋2×0.8＋3×1.1＝9.7， ＝（1－4）2＋（2－4）2＋（3－4）2＋（4－4）2＋（5－4）2＋（6－4）2＋（7－4）2＝28， ＝（9.4－10.3）2＋（9.6－10.3）2＋（9.9－10.3）2＋（10.1－10.3）2＋（10.6－10.3）2＋（11.1－10.3）2＋（11.4－10.3）2＝3.44， 所以相关系数r＝＝≈0.99. 因为相关系数r≈0.99，接近1，所以y与x具有线性相关关系，且正相关性很强. 因为＝＝≈0.35， 所以＝－≈10.3－0.35×4＝8.90， 所以y关于x的线性回归方程为＝0.35x＋8.90. 题型二　独立性检验与概率的综合 各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2026年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人） 参加“强基培训” 不参加“强基培训” 男生 25 35 女生 5 25 （1）试问考生参加“强基培训”是否与性别有关联？ （2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2026年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中参加“强基培训”的人数为X，求X的分布列及数学期望EX. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.010 0.005 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 解：（1）提出假设H0：考生参加“强基培训”与性别无关.由题意，χ2＝＝5.625， 因为5.625＞3.841，所以我们认为可能性不超过5%的小概率事件发生了，所以认为假设H0不成立，即认为考生是否参加“强基培训”与性别有关联. （2）由题意知，考生参加“强基培训”的概率p＝＝，不参加“强基培训”的概率为， 结合题意知X的可能取值为0，1，2，3，则X～B（3，）， P（X＝0）＝×（）0×（）3＝， P（X＝1）＝××（）2＝， P（X＝2）＝×（）2×＝， P（X＝3）＝×（）3×（）0＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 由X～B（3，），得数学期望EX＝3×＝1. 通性通法 　　概率与统计案例的结合是近几年高考的热点，解决这类问题的关键是独立性检验问题，关键是过好两关： （1）公式关：把相关数据代入独立性检验公式求χ2； （2）对比关：将求出的χ2观测值与临界值比对，作出准确判断. 　新生儿的某种疾病要接种三次疫苗进行免疫，假设三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.为了解新生儿该疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验：10 μg/次剂量组与20 μg/次剂量组，接种三次后的试验结果如下： 接种方案 结果 接种成功 接种不成功 总计 10 μg/次剂量组 900 100 1 000 20 μg/次剂量组 973 27 1 000 总计 1 873 127 2 000 （1）根据数据说明哪种接种方案效果好，并依据独立性检验中χ2值，判断能否有99%的把握认为该疫苗是否接种成功与接种方案有关； （2）以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1 000人此剂量接种三次的成功人数比只接种一次的成功人数平均提高多少？ 解：（1）由于两种接种方案都是1 000人接受临床试验，10 μg/次剂量组接种成功的人数为900，20 μg/次剂量组接种成功的人数为973，973＞900，所以20 μg/次剂量组接种方案效果好. 由χ2＝≈44.806＞6.635，所以我们有99%的把握认为该疫苗是否接种成功与接种方案有关. （2）设20 μg/次剂量组临床试验接种一次成功的概率为p，由数据可知，三次接种成功的概率为＝0.973，不成功的概率为＝0.027， 由于三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等， 所以（1－p）3＝0.027，得p＝0.7， 则参与试验的1 000人此剂量只接种一次的成功人数为1 000×0.7＝700，又973－700＝273， 所以选用20 μg/次剂量组接种方案，参与该试验的1 000人此剂量接种三次的成功人数比只接种一次的成功人数平均提高273. 1.已知变量X和变量Y的线性相关系数为r1，变量U和变量V的线性相关系数为r2，且r1＝0.785，r2＝－0.983，则（　　） A.X和Y之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度 B.X和Y之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度 C.U和V之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度 D.U和V之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度 解析：C　∵r1＝0.785＞0，r2＝－0.983＜0，∴X和Y之间呈正线性相关关系，U和V之间呈负线性相关关系，又｜r2｜＞｜r1｜，∴X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度，故选C. 2.已知变量X，Y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现X与Y之间具有线性相关关系，计算得到线性回归方程为Y＝0.8X＋，据此模型预测当X＝10时Y的值为（　　） X 5 6 7 8 9 Y 3.5 4 5 6 6.5 A.6.8　　　B.7.4 C.8.2　　　D.8.7 解析：B　由题表数据，得＝＝7，＝＝5.因为线性回归直线Y＝0.8X＋过样本点的中心（7，5），所以5＝0.8×7＋，解得＝－0.6，当X＝10时，Y＝0.8×10－0.6＝7.4. 3.已知x，y是两个具有线性相关关系的变量，其取值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 m 9 n 11 其回归直线＝x＋过点（3，7）的一个充分不必要条件是（　　） A.m＝n＝5 B.m＝n＝6 C.m＋n＝11 D.m＝5，n＝6 解析：D　若回归直线＝x＋过点（3，7），由题知xi＝15，＝3，故（3，7）为样本中心点，所以4＋m＋9＋n＋11＝35，m＋n＝11，所以m＋n＝11的一个充分不必要条件可以是m＝5，n＝6.故选D. 4.如图是一组实验数据的散点图，拟合方程y＝＋c（x＞0），令t＝，则y关于t的回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈（1.01，1.02）时，x的取值范围是（　　） A.（0.01，0.02） B.（50，100） C.（0.02，0.04） D.（100，200） 解析：D　根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的回归直线过点（2，5），（12，25）可得：所以b＝2，c＝1，所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200，故选D. 5.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.回归直线＝x＋恒过样本点的中心（，），且至少过一个样本点 B.两个变量相关性越强，则相关系数｜r｜就越接近1 C.某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差s2＜2 D.在线性回归方程＝2－0.5x中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位 解析：BCD　A选项，回归直线＝x＋恒过样本的中心点（，），可以不过任一个样本点，A错；B选项，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数｜r｜就越接近1，B对；C选项，根据平均数的计算公式可得＝＝4，根据方差的计算公式s2＝[7×2＋（4－4）2]＝1.75＜2，C对；D选项，根据回归系数的含义，可得在线性回归方程＝2－0.5x中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，D对，故选B、C、D. 6.〔多选〕针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数可能为（　　） A.25 B.45 C.60 D.75 解析：BCD　设男生的人数为5n（n∈N＋），根据题意列出2×2列联表如下所示： 是否喜欢航天 性别 男生 女生 总计 喜欢航天 4n 3n 7n 不喜欢航天 n 2n 3n 总计 5n 5n 10n 则χ2＝＝，∵有95%的把握认为是否喜欢航天与学生性别有关，∴χ2＞3.841，即＞3.841，得n＞8.066 1，∴5n＞40.330 5，又n∈N＋，∴结合选项知B、C、D正确.故选B、C、D. 7.已知x与y之间的几组数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y＝b'x＋a'，则　＜　b'，　＞　a'（填“＞”或“＜”）. 解析：由两组数据（1，0）和（2，2）可求得直线方程为y＝2x－2，b'＝2，a'＝－2.而利用表格中的数据，可求得＝＝＝，＝－＝－×＝－，所以＜b'，＞a'. 8.某省从2021年开始全面推行新高考制度，新高考“3＋1＋2”中的“1”要求考生从物理、历史中选一科，为了解学生选历史、物理与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到结果如下表： 性别 科目 物理 历史 男 13 10 女 7 20 则我们有　95%　的把握判断选历史、物理与性别有关系. 解析：根据表中数据，得到χ2＝≈4.844＞3.841，所以我们有95%的把握判断选历史、物理与性别有关系. 9.某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛.赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a忘了记录，但知道36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分别表示小明、小红第i天的成功次数）. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 序号X 1 2 3 4 5 6 7 小明成功 次数（Y） 16 20 20 25 30 36 a 小红成功 次数（Z） 16 22 25 26 32 35 35 （1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率； （2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数Y关于序号X的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数a的值. 参考数据：1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582；12＋22＋32＋42＋52＋62＝91. 解：（1）因为36≤a≤55，且a∈Z，所以a的取值共有55－36＋1＝20种情况， yi，zi分别表示小明、小红第i天成功次数， 又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，yi＋a≥zi， 即16＋20＋20＋25＋30＋36＋a≥16＋22＋25＋26＋32＋35＋35，得a≥44， 又36≤a≤55，所以44≤a≤55，且a∈Z， 所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a的取值共有55－44＋1＝12种情况， 所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为＝. （2）由题设可知：xiyi＝1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582， ＝＝， ＝＝， 所以＝＝，＝－＝－×＝11， 所以成功次数Y关于序号X的线性回归方程为Y＝X＋11. 当X＝7时，Y＝×7＋11＝38， 估计小明第7天成功次数a的值为38. 10.学校为了进一步加快推进学生素质教育，丰富学生的课余生活，挖掘学生的动手动脑潜力，在高一年级进行了一次“变废为宝”手工作品评比，对参赛作品进行统计得到如下统计表： 性别 作品是否合格 不合格 合格 总计 男生 120 100 220 女生 30 50 80 总计 150 150 300 （1）运用独立性检验的思想方法判断：能否有99%以上的把握认为性别与作品是否合格有关联？并说明理由； （2）学校为了鼓励更多的同学参与到“变废为宝”活动中来，决定通过3轮挑战赛评选出一些“手工达人”，3轮挑战结束后，至少2次挑战成功的参赛者被评为本学期的“手工达人”.已知某参赛者挑战第一、二、三轮成功的概率分别为，，，求该参赛者在本学期3轮挑战中成功的次数X的分布列及数学期望EX. 参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 解：（1）由题意可得 χ2＝≈6.818＞6.635， 所以有99%的把握认为性别与作品是否合格有关. （2）X的所有可能值分别为0，1，2，3. P（X＝0）＝××＝， P（X＝1）＝××＋××＋××＝， P（X＝2）＝××＋××＋××＝， P（X＝3）＝××＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $