7.2.1 相关系数&7.2.2 成对数据的线性相关性分析(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦相关系数与线性相关性分析，以概念辨析-图形直观-定量计算-综合应用为逻辑主线，系统提炼散点图判断、异常点处理等实用方法，培养数据观察与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-3题|相关系数取值与相关性强弱关系|从相关系数定义到线性相关性判断原理| |相关性判断|4-6题|散点图趋势分析、相关关系与确定性关系区分|图形直观到逻辑推理的思维递进| |相关系数计算|7-10题|公式直接应用、异常点剔除提升相关性|定量计算深化对相关性的理解| |综合应用|11-14题|回归分析结合实际问题、数据预测与分布列|知识迁移应用，体现数学建模与数据表达|

2.1　相关系数 2.2　成对数据的线性相关性分析 1.如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数r的绝对值应接近于（　　） A．0.5　 B．2 C．0　 D．1 2.第一组样本点为（－5，－8.9），（－4，－7.2），（－3，－4.8），（－2，－3.3），（－1，－0.9），第二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9），第一组变量的线性相关系数为r1，第二组变量的线性相关系数为r2，则（　　） A．r1＞0＞r2　 B．r2＞0＞r1 C．r1＜r2＜0　 D．r2＞r1＞0 3.为了对变量x与y的线性相关性进行检验，由样本点（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10）求得两个变量的样本相关系数为r，则下面说法中正确的是（　　） A．若所有样本点都在直线y=－2x＋1上，则r=1 B．若所有样本点都在直线y=－2x＋1上，则r=－2 C．若|r|越大，则变量x与y的线性相关性越强 D．若|r|越小，则变量x与y的线性相关性越强 4.某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取8位同学，他们的数学、物理成绩（单位：分，满分100分）的散点图如图所示： 根据以上信息，有下列结论： ①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②从全班同学中随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高； ③从全班同学中随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．其中正确的个数是（　　） A．0　 B．1 C．2　 D．3 5.〔多选〕如图是根据X，Y的观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量X，Y具有线性相关关系的图是（　　） 6.〔多选〕甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假对某地10个自然村进行社会调查．他们先走访了5个自然村，发现了一个有趣的现象，其中3个村庄附近天鹅比较多，婴儿出生率也比较高，另外2个村庄附近天鹅比较少，婴儿出生率也比较低，也听说当地流传着一个说法“天鹅带来了孩子”，于是他们对另外5个村庄进行了估计，下列说法不正确的是（　　） A．如果村庄附近的天鹅多，则这个村庄的婴儿出生率一定高 B．如果村庄婴儿出生率比较低，则这个村庄附近的天鹅一定比较少 C．村庄附近的天鹅数与婴儿出生率具有相关性 D．村庄附近的天鹅数与婴儿出生率一定成正比 7.下表给出了5组数据，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据（－5，－3），则应去掉第　　　　组数据． 第i组 1 2 3 4 5 xi －5 －4 －3 －2 4 yi －3 －2 4 －1 6 8.已知（yi－）2是（xi－）2的4倍，（xi－）•（yi－）是（xi－）2的1.5倍，则样本相关系数r=　　　　． 9.当且仅当线性相关系数r满足　　　　时，数据点（xi，yi）（i=1，2，…，n）在一条直线上． 10.某大学生在国家提供的税收、担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数y（单位：万元）与时间t（单位：年）的数据，列表如下： t 1 2 3 4 5 y 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 依据表中给出的数据，判断y与t的线性相关程度，请计算样本相关系数r并加以说明．（计算结果精确到0.01，若|r|≥0.75，则线性相关程度很高） 附：样本相关系数r=． 参考数据：≈7.547. 11.已知两组数据a1，a2，…，a10和b1，b2，…，b10，其中1≤i≤10且i∈Z时，ai=i；1≤i≤9且i∈Z时，bi=ai，b10=a，我们研究这两组数据的相关性，在集合{8，11，12，13}中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a=（　　） A．8　 B．11 C．12　 D．13 12.〔多选〕某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为l1：=0.68x＋，计算其相关系数为r1.经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到的回归直线方程为l2：=x＋0.68，相关系数为r2，以下结论中，正确的是（　　） A．r1＞0，r2＞0　 B．r1＞r2 C．=0.12　 D．0＜＜0.68 13.在某地区随机抽取了8对母女的身高数据，如表： 母亲身高X/cm 154 157 158 159 160 161 162 163 女儿身高Y/cm 155 156 159 162 161 164 165 166 下列说法正确的序号为　　　　． ①8个成对样本数据呈正相关； ②成对样本数据中变量X和变量Y的样本相关系数r约为0.963； ③用关于均值和为零点（，）平移后的成对样本数据（x1－，y1－），（x2－，y2－），…，（x8－，y8－）与原始成对样本数据相关性完全相同； ④用样本相关系数r可以估计总体两个变量的相关系数． 14.野生菌是天然绿色食品，有丰富的营养价值和药理作用，某省野生菌种类多样，产量巨大，占全世界食用菌的一半以上，占全国三分之二以上，被誉为“真菌王国”，松茸是野生菌中的贵族，大量出口国外，国际市场需求量随松茸价格的波动而变化．现从近10年中随机选取6年的国际市场需求量y（单位：百吨）与松茸平均价格x（单位：美元/千克）的数据，如表： 松茸平均价格x 25 35 38 40 47 55 国际市场需求量y 12.3 10.3 9.2 8.6 7.2 6.4 （1）请用相关系数说明可以用线性回归模型拟合市场需求量y与松茸平均价格x的关系；（精确到0.001） （2）求y与x的线性回归方程y=x＋；（精确到0.1） （3）当yi＞i（i为预测需求量，i=1，2，…，6），则称该年松茸国际市场“利好”，若从这6年中随机抽取3年，记3年中有Z年“利好”，求Z的分布列． 参考数据：xiyi=2 052，－62=528，≈110. 参考公式：r=， =，=－． 2.1　相关系数 2.2　成对数据的线性相关性分析 1.D　相关系数｜r｜越接近于1，相关程度越高.故选D. 2.A　观察第一组样本点，Y随X的增大而增大，故r1＞0；观察第二组样本点，Y随X的增大而减小，故r2＜0.综上：r1＞0＞r2.故选A. 3.C　若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则x与y是函数关系，且直线斜率为负数，所以r＝－1，故A、B说法均错误；若｜r｜越大，则变量x与y的线性相关性越强，故C说法正确，D说法错误.故选C. 4.C　由散点图，知两个变量具有线性相关关系，所以①正确；利用统计知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，所以②错误，③正确.所以正确结论的个数为2，故选C. 5.AD　由题图知，B、C的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系；A中Y随X的增大而减小，各点整体呈下降趋势，X与Y负相关；D中Y随X的增大而增大，各点整体呈上升趋势，X与Y正相关. 6.ABD　从调查现象来看，村庄附近的天鹅数与婴儿出生率具有相关性，是相关关系而不是确定性的关系，因此A、B、D都是不正确的. 7.3　解析：画出散点图如图所示，则应去掉第3组数据（－3，4）. 8.0.75　解析：由r＝，得r＝0.75. 9.｜r｜＝1　解析：当数据点（xi，yi）在一条直线上时，Y只受X的影响，即数据点完全线性相关，此时｜r｜＝1. 10.解：由题表可知，＝3，＝4.7， 则（ti－）（yi－）＝14.7，（ti－）2＝10，（yi－）2＝22.78. 所以r＝＝＝≈0.97＞0.75， 故创收利润数y与时间t的线性相关程度很高. 11.B　设点的坐标为（ai，bi），1≤i≤10且i∈Z，由题意得前9个点位于直线y＝x上，a10＝10，则要使相关性最强，b10应最接近10，四个选项中11最接近10，故选B. 12.ACD　由图可知两变量呈现正相关，故r1＞0，r2＞0，且r1＜r2，故A正确，B错误；又回归直线l1：＝0.68x＋必经过样本中心点（3.5，2.5），所以＝2.5－0.68×3.5＝0.12，C正确；回归直线l2：＝x＋0.68必经过样本中心点（3，2），所以2＝×3＋0.68，所以＝0.44，也可直接根据散点图判断0＜＜0.68（比较两直线的倾斜程度），故A、C、D正确. 13.①②③④　解析：由成对样本数据可得，＝（154＋157＋…＋163）÷8＝159.25，＝（155＋156＋…＋166）÷8＝161，－8＝59.5，－8＝116，xiyi－8 ＝80，∴r＝＝≈0.963，②正确；由r≈0.963＞0，8个成对样本数据呈正相关关系，①正确；平移后的成对样本数据所对应平面直角坐标系中的散点图与原始的成对样本数据所对应的散点图形状完全一致，故相关性完全相同，③正确；根据统计学思想，④正确. 14.解：（1）＝（25＋35＋38＋40＋47＋55）＝40，＝（12.3＋10.3＋9.2＋8.6＋7.2＋6.4）＝9， 所以r＝＝＝≈－0.982. 因为r＝－0.982（｜r｜接近1），所以y与x呈负相关，可以用线性回归模型拟合市场需求量y与松茸平均价格x的关系. （2）＝＝＝≈－0.2，＝－＝9－（－0.2）×40＝17，所以y＝－0.2x＋17. （3）由（2）可知 x 25 35 38 40 47 55 y 12.3 10.3 9.2 8.6 7.2 6.4 12 10 9.4 9 7.6 6 所以当x＝25，35，55时，属于“利好”， 故Z的可能取值为0，1，2，3，则P（Z＝0）＝＝，P（Z＝1）＝＝，P（Z＝2）＝＝，P（Z＝3）＝＝， 所以Z的分布列为 Z 0 1 2 3 P §3　独立性检验问题 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $