7.2 成对数据的线性相关性-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §2　成对数据的线性相关性 知识点一　样本相关系数的性质 1．关于两个变量X，Y与其线性相关系数r，有下列说法： ①若r>0，则X增大时，Y通常也相应增大；②若|r|越趋近于1，则X与Y的线性相关程度越弱；③若r＝1或r＝－1，则X与Y有函数关系，在散点图上各个散点均在一条直线上．其中说法正确的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　C 解析　根据线性相关系数的定义，变量之间的线性相关程度可用线性相关系数r来判断：当r为正数时，表示变量X，Y正相关；当r为负数时，表示变量X，Y负相关；|r|越接近于1，线性相关程度越强；|r|越接近于0，线性相关程度越弱；|r|＝1时，X与Y有函数关系，故可知①③正确． 2．下列现象中线性相关程度最强的是(　　) A．商店的职工人数与商品销售额之间的线性相关系数为0．87 B．流通费用率与商业利润率之间的线性相关系数为－0．94 C．商品销售额与商业利润率之间的线性相关系数为0．51 D．商品销售额与流通费用率之间的线性相关系数为－0．70 答案　B 解析　线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个变量间的线性相关程度越强． 3．某相关变量X，Y的散点图如图所示，现对这两个变量进行回归分析．方案一：根据图中所有数据分析，可得到线性回归方程Y＝1X＋1，样本相关系数为r1；方案二：剔除点(10，32)，根据剩下数据分析，可得到线性回归方程Y＝2X＋2，样本相关系数为r2，则(　　) A．0<r1<r2<1 B．0<r2<r1<1 C．－1<r1<r2<0 D．－1<r2<r1<0 答案　A 解析　由题中散点图可知，变量X，Y正相关，故0<r1<1，0<r2<1．在剔除点(10，32)之后，可以看出线性回归方程Y＝2X＋2的线性相关程度更强，故r1<r2，所以0<r1<r2<1．故选A． 知识点二　样本相关系数的计算及应用 4．为考察两个变量X，Y的线性相关性，搜集数据如下表，则两个变量的线性相关程度(　　) X 5 10 15 20 25 Y 103 105 110 111 114 A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 答案　A 解析　xi＝75，yi＝543，x＝1375，xiyi＝8285，y＝59051，＝15，＝108．6，r＝＝≈0．9826，故相关程度很强． 5．某种产品的广告支出X(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下对应数据： X 2 4 5 6 8 Y 30 40 60 50 70 (1)计算样本相关系数； (2)推断销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征． 解　(1)计算得＝5，＝50， x＝145，y＝13500，xiyi＝1380． 所以样本相关系数r＝ ＝≈0．92． (2)因为样本相关系数r≈0．92>0，所以销售额与广告支出正相关，且相关程度很强，变化趋势相同． 6．流行性感冒(简称流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．它主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．某幼儿园将今年春季该园患流感的小朋友按照年龄X与人数Y统计，得到如下数据： 年龄X 2 3 4 5 6 患病人数Y 22 22 17 14 10 (1)计算样本相关系数r(计算结果保留到小数点后的第2位)； (2)是否可以认为该幼儿园今年春季患流感的人数与年龄负相关性很强？(若|r|∈[0．75，1]，则X与Y相关性很强；若|r|∈(0．25，0．75)，则X与Y相关性一般；若|r|∈(0，0．25]，则X与Y相关性较弱．) 参考数据：≈5．477． 解　(1)由题意可得＝＝4， ＝＝17， (xi－)(yi－)＝－32， (xi－)2＝10， (yi－)2＝108， 样本相关系数r＝＝＝≈－0．97． (2)因为r<0，所以X与Y负相关．又因为|r|∈[0．75，1]，所以X与Y相关性很强．因此，可以认为该幼儿园今年春季患流感的人数与年龄负相关性很强． 一、选择题 1．若变量Y与X之间的样本相关系数为r＝－0．9362，则变量Y与X之间(　　) A．不具有线性关系 B．具有线性关系 C．Y随X的增大而增大 D．不确定 答案　B 解析　由r＝－0．9362可知Y与X具有较强的线性关系，且Y与X负相关． 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0．82 0．78 －0．69 －0．85 则能体现A，B两变量有更强的线性相关性的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　D 解析　在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中丁的相关系数的绝对值最大，相关性最强，所以丁的试验结果能体现A，B两变量有更强的线性相关性．故选D． 3．对于样本相关系数r，下列说法正确的是(　　) A．r越大，两个变量的线性相关程度越强 B．r越小，两个变量的线性相关程度越强 C．|r|越大，两个变量的线性相关程度越弱，|r|越接近0，两个变量的线性相关程度越强 D．|r|≤1，且|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越强，|r|越接近0，两个变量的线性相关程度越弱 答案　D 解析　两个变量之间的样本相关系数r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表示两个变量的线性相关性越弱，此时两个变量之间几乎不存在线性关系．故选D． 4．若已知 (yi－)2是 (xi－)2的4倍， (xi－)(yi－)是 (xi－)2的1．5倍，则样本相关系数r＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由r＝，得r＝． 5．[多选]对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是(　　) A．r1>r2 B．r3>r4 C．r1>r3>0 D．r4<r2<0 答案　ABC 解析　由散点图可知图1与图3中的两个变量正相关，故r1>0，r3>0，图2与图4中的两个变量负相关，故r2<0，r4<0，所以r1>r2，r3>r4；又图1与图2中的样本点更加集中在一条直线附近，所以|r1|>|r3|，|r2|>|r4|，所以r1>r3>0，r2<r4<0．故选ABC． 二、填空题 6．对两个变量X，Y进行线性相关性检验，得到样本相关系数r1＝0．7895，对变量X，Z进行线性相关性检验，得到样本相关系数r2＝0．9321，则X与________的线性相关性较强． 答案　Z 解析　|r|越接近于1，两个变量之间的线性相关程度越强． 7．在变量X，Y的一组样本数据(a1，b1)，(a2，b2)，…，(an，bn)(n≥2，a1，a2，…，an不全相等)的散点图中，若所有样本点(ai，bi)(i＝1，2，…，n)恰好都在直线y＝－2x＋1上，则根据这组样本数据推断变量X与Y的样本相关系数为________． 答案　－1 解析　所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，说明这两个变量完全负相关，故其样本相关系数为－1． 8．某10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)： 固定资产价值X 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10 工业增加值Y 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45 根据上表资料计算的样本相关系数约为________(精确到0．01)． 答案　0．99 解析　由表中数据计算可得＝6．6，＝31．5，x＝490，y＝10877，xiyi＝2305，则r＝≈0．99． 三、解答题 9．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下： 训练次数X 30 33 35 37 39 44 46 50 运动成绩Y 30 34 37 39 42 46 48 51 根据样本数据，判断两个变量之间是否具有线性关系，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度． 解　作出该运动员训练次数(X)与运动成绩(Y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性关系． 计算可得＝39．25，＝40．875，x＝12656，y＝13731，xiyi＝13180， 所以样本相关系数r＝ ＝≈0．99． 由此可得它们的相关程度很强． 10．下面的数据是从年龄在40～60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏功能水平Y(满分100)，以及每天花在看电视上的平均时间X(单位：小时)． 看电视的平均时间X 4．4 4．6 2．7 5．8 0．2 4．6 心脏功能水平Y 52 53 69 57 89 65 (1)求心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X之间的样本相关系数r； (2)求心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X的线性回归方程(线性回归方程的系数保留到小数点后的第2位)，并讨论方程是否有意义； (3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平． 解　n＝6，＝×(4．4＋4．6＋2．7＋5．8＋0．2＋4．6)≈3．717，＝×(52＋53＋69＋57＋89＋65)≈64．1667， x－62≈(4．42＋4．62＋2．72＋5．82＋0．22＋4．62)－6×3．7172≈19．7535， y－62≈(522＋532＋692＋572＋892＋652)－6×64．16672≈964．8077， xiyi－6≈(4．4×52＋4．6×53＋…＋4．6×65)－6×3．717×64．1667≈－124．7457． (1)心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X之间的样本相关系数 r≈≈－0．9036． (2)≈≈－6．32，＝－≈87．66，心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X的线性回归方程为Y＝－6．32X＋87．66． 因为|r|＝0．9036，所以Y与X之间具有很强的相关性，这个方程是有意义的． (3)将X＝3代入线性回归方程，可得Y＝68．7，即平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平约为68．7． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$