课时作业40 成对数据的线性相关性（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(四十)　成对数据的线性相关性 [基础达标练] 1．对变量X，Y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量U，V有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断(　　) A．变量X与Y正相关，U与V正相关 B．变量X与Y正相关，U与V负相关 C．变量X与Y负相关，U与V正相关 D．变量X与Y负相关，U与V负相关 解析：选C　由散点图(1)知X与Y负相关；由散点图(2)知U与V正相关，故选C. 2．关于两个变量X，Y与其线性相关系数r，有下列说法： ①若r>0，则X，Y的值总体上变化趋势相同； ②若|r|越趋近于1，则X与Y的线性相关程度越强； ③若r＝1，则X与Y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上． 其中正确的有(　　) A．①②　　　　　　　B．②③ C．①③ D．①②③ 解析：选D　根据样本相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用样本相关系数r进行判断：当r为正数时，表示变量X，Y正相关；当r为负数时，表示变量X，Y负相关；|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．故可知①②③正确． 3．(多选)设某大学的女生体重Y(单位：kg)与身高X(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为Y＝0.85X－85.71，则下列结论中正确的是(　　) A．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg B．回归直线过点(，) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．两变量Y与X正相关 解析：选BCD　用所给的线性回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故A不正确；由最小二乘法的计算公式可知，B显然正确；依据线性回归方程中的含义可知，X每变化1个单位，Y相应变化约为0.85个单位，C正确；回归方程中X的系数为0.85，0.85＞0，因此Y与X正相关．D正确，故选BCD. 4．有以下几组(X，Y)的成对数据：(1，2)，(2，4)，(4，5)，(3，10)，(10，12)，要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是(　　) A．(3，10) B．(10，12) C．(1，2) D．(2，4) 解析：选A　由点(1，2)，(2，4)，(4，5)，(3，10)，(10，12)在坐标系中画出散点图(图略)，结果除去(3，10)之外，其余的点都在一条直线附近，∴去掉(3，10)这个点之后剩下的数据具有较强的相关关系，故选A. 5．某食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度(如下表). 年份X 0 1 4 5 6 8 芳香度Y 1.3 1.8 5.6 7.4 9.3 由最小二乘法得到线性回归方程Y＝1.03X＋1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为________． 解析：由表中数据得＝×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4， ∴＝1.03×4＋1.13＝5.25.设污损数据为a，则×(1.3＋1.8＋5.6＋a＋7.4＋9.3)＝5.25，解得a＝6.1. 答案：6.1 6．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44].由此求得爱看人数比Y关于年龄段X的回归直线方程为Y＝kX－0.4188.那么，年龄在[60，64]的爱看人数比为________． 解析：由题意，可得各年龄段的值为42，47，52，57， 则＝＝49.5， 爱看人数的平均值 ＝＝0.195， 代入Y＝kX－0.4188，得 0．195＝49.5k－0.4188，即k＝0.0124. ∴＝0.0124x－0.4188. 取x＝62，得y＝0.0124×62－0.4188＝0.35. ∴年龄在[60，64]的爱看人数比为0.35. 答案：0.35 7．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表． 气温X/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯数Y/杯 20 24 34 38 50 64 画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系． 解：画出散点图如图所示． ＝(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7， ＝(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3， iyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1 910， ＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1 286， ＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10 172， 由r＝， 可得r≈－0.98. 由于|r|的值较大，所以X与Y具有很强的线性相关关系． 8．某市从2016年起每年12月都举办一届民俗文化周，到2021年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表： 年份 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 民俗文化 周届数编 号X 1 2 3 4 5 外地游客 人数Y(单 位：十万) 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5 (1)求y关于x的线性回归方程Y＝X＋； (2)据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用(1)中的线性回归方程，预测2022年第7届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元． 参考公式：＝， ＝－. 解：(1)由所给数据计算得：＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， ＝×(0.6＋0.8＋0.9＋1.2＋1.5)＝1， (xi－)2＝4＋1＋0＋1＋4＝10， (xi－)(yi－)＝(－2)×(－0.4)＋(－1)×(－0.2)＋0＋1×0.2＋2×0.5＝2.2， ＝＝＝0.22，＝－＝1－0.22×3＝0.34， 所以所求的线性回归方程为Y＝0.22X＋0.34. (2)由(1)知，当x＝7时，y＝0.22×7＋0.34＝1.88， 于是预测2022年第7届民俗文化周期间的外地游客可达18万8千人， 由1 88 000×100＝18 800 000(元)， 所以预测2022年第7届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入达1 880万元． [能力提升练] 9．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，2)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11，8，3)，(12.5，2)，(13，1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　) A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 解析：选C　Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r1＞0，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r2＜0.故r2＜0＜r1. 10．已知X与Y之间的几组数据如下表： X 1 2 3 4 5 6 Y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为Y＝ X＋a，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　) A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＜a′ D．＜b′，＜a′ 解析：选C　由两组数据(1，0)和(2，2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得＝＝＝，＝－ ＝－×＝－，所以＜b′，＞a′.故选C. 11．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如表(单位：百万元)： 固定资 产价值 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10 工业 增加值 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45 根据上表资料计算的样本相关系数约为________． 解析：＝ ＝6.6， ＝ ＝31.5. ∴r＝≈0.991 8. 答案：0.991 8 12．某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据： 日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日 温差 10 11 13 12 8 发芽数(颗) 23 26 32 26 16 由表中根据12月2日至12月4日的数据，求得回归直线方程Y＝＋X中的＝3，则为________；若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的回归直线方程是可靠的，则求得的回归直线方程______(填“可靠”或“不可靠”). 解析：＝(10＋11＋13＋12＋8)＝10.8， ＝(23＋26＋32＋26＋16)＝24.6. 又Y＝＋X中的＝3 ∴＝24.6－3×10.8＝－7.8； ∴线性回归方程为Y＝3X－7.8. 取x＝10，得y＝22.2，|23－22.2|＝0.8＜1； 取x＝11，得y＝25.2，|26－25.2|＝0.8＜1； 取x＝13，得y＝31.2，|32－31.2|＝0.8＜1； 取x＝12，得y＝28.2，|26－28.2|＝2.2＞1； 取x＝8，得y＝16.2，|16－16.2|＝0.2＜1， 由上可知，求得的回归直线方程不可靠． 答案：－7.8　不可靠 13．从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围．其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表： 上一年出 险次数 0 1 2 3 4 5次以上 (含5次) 下一年保 费倍率 85% 100% 125% 150% 175% 200% 连续两年没出险打7折，连续三年没出险打6折 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(x，y)(其中x(单位：万元)表示购车价格，y(单位：元)表示商业车险保费): (8，2150)，(11，2400)，(18，3140)，(25，3750)，(25，4000)，(31，4560)，(37，5500)，(45，6500). 设由这8组数据得到的回归直线方程为Y＝x＋1055. (1)求； (2)广东李先生在2016年1月购买了一辆价值20万元的新车． ①估计李先生购车时的商业车险保费； ②若该车今年2月已出过一次险，现在又被刮花了，李先生到4S店询价，预计修车费用为800元，保险专员建议李先生自费(即不出险)，你认为李先生是否应该接受建议？说明理由(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保). 解：(1)由所给8组数据(x，y)可得：＝×(8＋11＋18＋25＋25＋31＋37＋45)＝＝25(万元)， ＝×(2150＋2400＋3140＋3750＋4000＋4560＋5500＋6500)＝＝4000(元). 由直线Y＝X＋1055经过点(，)即(25，4000)，可得＝＝＝117.8. (2)①价值为20万元的新车的商业车险保费预报值为117.8×20＋1055＝3411(元). ②由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，即增加3411×25%＝852.75(元). 因为852.75＞800，即若出险，明年增加的保费已超800元，故应接受建议． [素养拓展练] 14．为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽取8人，他们的体质指数BMI值、总胆固醇TC指标值(单位：mmol·L-1)、空腹血糖GLU指标值(单位：mmol·L-1)如下表所示： 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值 y/mmol·L-1 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 CLU指标值 z/mmol·L-1 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 (1)用变量Y与X，Z与X的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值、CLU指标值与BMI值的相关程度； (2)求Y关于X的线性回归方程，已知TC指标值超过5.2为总胆固醇偏高，据此模型分析当BMI值超过多少时，需要注意监控总胆固醇偏高的情况出现．(上述数据均要精确到0.01) 参数数据：＝33，＝6，＝8，(xi－)2＝244，(yi－)2＝3.62，(zi－)2＝5.4，(xi－)(yi－)＝28.3，(xi－)(zi－)＝35.4, ≈15.6, ≈1.9, ≈2.3. 解：(1)变量Y与X的相关系数r＝≈0.95， 变量Z与X的相关系数r′＝≈0.99， 可以看出TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值都是高度正相关． (2)根据所给出的数据，可以计算出＝≈0.12，＝6－0.12×33＝2.04， 所以y关于x的线性回归方程是Y＝0.12X＋2.04. 由0.12x＋2.04≥5.2，可得x≥26.33， 据此模型分析BMI值超过26.33时，需要注意监控总胆固醇偏高的情况出现． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$