6.1.2 乘法公式与事件的独立性(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦乘法公式与事件独立性，以“概念理解-方法应用-综合拓展”为逻辑主线，通过分层训练构建从基础计算到复杂情境的解题体系，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|1-10题|对立事件转化法、乘法公式直接应用、独立事件判定|从条件概率到乘法公式，再到事件独立性，形成“概念-公式-应用”链条| |综合运用|11-14题|多步独立事件分步计算、条件概率与独立性综合证明|结合实际情境深化公式推广，通过证明题强化逻辑推理，体现数学语言表达|

1.2　乘法公式与事件的独立性 1.已知P（B|A）=，P（A）=，则P（AB）=（　　） A．　 B． C．　 D． 2.甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p1，p2，p3，那么至少有一人解决这道题的概率是（　　） A．p1＋p2＋p3 B．1－（1－p1）（1－p2）（1－p3） C．1－p1p2p3 D．p1p2p3 3.某食物的致敏率为2%，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹的概率为99%，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为（　　） A．1.98%　 B．0.98% C．97.02%　 D．99% 4.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示．那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（　　） 甲 乙 丙 丁 甲获胜概率 — 0.3 0.3 0.8 乙获胜概率 0.7 — 0.6 0.4 丙获胜概率 0.7 0.4 — 0.5 丁获胜概率 0.2 0.6 0.5 — A．0.15　 B．0.105 C．0.045　 D．0.21 5.〔多选〕下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有（　　） A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现的点数为奇数”，事件N=“出现的点数为偶数” B．袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M=“第1次摸到红球”，事件N=“第2次摸到红球” C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M=“第1枚为正面”，事件N=“两枚结果相同” D．一枚硬币掷两次，事件M=“第一次为正面”，事件N=“第二次为反面” 6.〔多选〕假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 80% 90% 70% 在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机的品牌为甲、乙、其他，B表示买到的手机是优质品，则（　　） A．P（A1）=0.5　 B．P（B|A2）=0.9 C．P（BA1）=0.8　 D．P（BA3）=0.7 7.已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序是否产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则p=　　　　． 8.〔一题多解〕甲、乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲、乙两人中至少有一人能破译这份密码的概率是　　　　． 9.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为　　　　． 10.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工1个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为．求徒弟加工2个零件都是精品的概率． 11.已知0＜P（B）＜1，且P（A|B）=P（A）．若P（）=0.6，P（B|）=0.3，则P（AB）=（　　） A．0.18　 B．0.12 C．0.28　 D．0.42 12.〔多选〕甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲中靶的概率为 0.8，乙中靶的概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（　　） A．两人都中靶的概率为 0.72 B．至少一人中靶的概率为 0.88 C．至多一人中靶的概率为 0.26 D．恰好有一人脱靶的概率为 0.26 13.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　． 14.从装有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i=1，2，…，6. （1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； （2）记P（A1A2A3）表示A1，A2，A3同时发生的概率，P（A3|A1A2）表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率．证明：P（A1A2A3）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）． 1.2　乘法公式与事件的独立性 1.C　由乘法公式得P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝×＝. 2.B　至少有一人解决这道题的对立事件是“没有人解决这道题”，也即“三人均没有解出此题”，此概率为（1－p1）·（1－p2）·（1－p3），∴至少有一人解决这道题的概率是1－（1－p1）（1－p2）·（1－p3）. 3.A　设事件A表示“食用该食物过敏”，事件B表示“嘴周产生皮疹”，则P（A）＝2%，P（B｜A）＝99%.所以某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝2%×99%＝1.98%. 4.C　甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙比赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件同时发生的概率等于概率之积，所以甲得冠军且丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3＝0.045. 5.CD　在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P（M）＝，P（N）＝，P（MN）＝，P（MN）＝P（M）P（N），因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.故选C、D. 6.AB　依题意可得P（A1）＝0.5，P（B｜A1）＝0.8，P（B｜A2）＝0.9，P（B｜A3）＝0.7，P（A3）＝0.2，则P（BA1）＝P（B｜A1）P（A1）＝0.8×0.5＝0.4，P（BA3）＝P（B｜A3）P（A3）＝0.7×0.2＝0.14.故选A、B. 7.0.03　解析：由题意，得（1－0.01）（1－p）＝0.960 3，解得p＝0.03. 8.　解析：法一　记“甲破译密码”为事件A，“乙破译密码”为事件B，“甲、乙两人中至少有一人破译这份密码”为事件M，则M＝A∪B∪AB，其中事件A，B相互独立，事件A，B，AB两两互斥，故P（M）＝P（A∪B∪AB）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＋P（A）P（B）＝×（1－）＋（1－）×＋×＝. 法二　“甲、乙两人中至少有一人破译这份密码”的对立事件为“两人都未破译密码”，故所求概率p＝1－（1－）×（1－）＝. 9.0.09　解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率p＝（1－0.4）×0.5×（1－0.4）×0.5＝0.09. 10.解：设徒弟加工1个零件是精品的概率为p，则×p2＝，得p2＝，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是. 11.B　因为0＜P（B）＜1，P（A｜B）＝P（A），所以A，B相互独立，所以B，也相互独立.因为P（）＝0.6，所以P（A）＝1－P（）＝1－0.6＝0.4，因为P（B｜）＝0.3，所以P（B）＝0.3，所以P（AB）＝P（A）P（B）＝0.4×0.3＝0.12. 12.AD　设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立.A选项：都中靶的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.8×0.9＝0.72，故A对；B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶，故至少一人中靶的概率为1－P（）＝1－P（）P（）＝1－0.2×0.1＝0.98，故B错；C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶，则至多一人中靶的概率为1－P（AB）＝0.28，故C错；D选项：恰好有一人脱靶的概率为P（A）P（）＋P（）P（B）＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26，故D对.故选A、D. 13.0.46　解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai（i＝1，2，3），则P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.6，P（A3）＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3发生，故所求概率为P＝P（A1A2A3∪A1A3∪A2A3）＝P（A1A2A3）＋P（A1A3）＋P（A2A3）＝P（A1）P（A2）P（A3）＋P（A1）P（）P（A3）＋P（）P（A2）P（A3）＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46. 14.解：（1）P（A2｜）＝＝＝，所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率为. （2）证明：由条件概率公式得P（A1A2A3）＝P（A1A2）P（A3｜A1A2）， P（A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）， 所以P（A1A2A3）＝P（A1A2）P（A3｜A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）， 即P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $