专题04 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆锥曲线中定点、定值、定直线问题，构建“题型-方法-变式”三维训练体系，提炼通性通法，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线过定点|1典例+3变式|设参消参法（x=my+t优先）|联立方程→韦达定理→参数关系→定点坐标| |定点存在性|1典例+3变式|假设验证法|坐标化条件→韦达化简→恒成立条件→存在性判断| |线段定值|1典例+3变式|表达式化简法|弦长公式→韦达代入→参数消去→常数结果| |面积定值|1典例+3变式|面积公式优选法|弦长×距离→韦达化简→参数抵消→面积常数| |斜率定值|1典例+3变式|斜率表达式法|斜率公式→坐标代换→韦达化简→常数斜率| |角度定值|1典例+3变式|夹角公式法|斜率关系→夹角公式→韦达代入→定值角度| |向量定值|1典例+3变式|向量坐标法|向量运算→坐标化→韦达化简→定值关系| |点在定直线|1典例+3变式|轨迹方程法|设参列条件→消参得方程→定直线结论|

专题04 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 （题型突破·举一反三） 题型01 直线过定点问题 题型02 定点存在性问题 题型03 线段为定值的问题 题型04 面积为定值的问题 题型05 斜率为定值的问题 题型06 角度为定值的问题 题型07 与向量有关的定值的问题 题型08 点在定直线上的问题 ▌题型01 直线过定点问题 设直线：x=my+t（优先，免讨论斜率） 联立曲线，得一元二次方程 韦达定理：y1+y2, y1y2 用题给条件化简，得t与m关系（如t=2m+1） 代回直线：x=my+2m+1，整理m（*）+（*）=0 令系数= 0、常数 = 0，解出定点(x0,y0) 【典例1】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【变式1-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点. (1)求的方程； (2)若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【变式1-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【变式1-3】（25-26高二下·广东汕尾·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足直线，的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若是曲线上第一象限的点，且，求点的坐标． (3)设、是曲线上的两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． ▌题型02 定点存在性问题 1. 设直线 ，交点 ， 2. 联立圆锥曲线，写出韦达定理 3. 将题干条件坐标化，代入韦达化简 4. 假设存在定点 ，列出等式恒成立条件 5. 对比系数，求解 6. 检验：若有解，则定点存在；无解，则不存在 【典例2】（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知点，直线，点到点的距离与到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点，点是上异于点的两点，且. ①直线是否过定点？如果是，求出此定点；如果没有，请说明理由； ②过点作于点，是否存在定点，使得定点到点的距离为定值？如果有，求出定点的坐标；如果没有，请说明理由. 【变式2-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知斜率为的直线与抛物线交于两点，且当直线过的焦点时，在点处的切线的交点的横坐标为． (1)求的准线方程； (2)若，直线与的另一个交点为（异于点），是否存在实数，使得直线恒过定点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（2026·四川眉山·二模）已知是圆上一动点，，线段的中垂线与线段交于点，点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设，是上的两点，且，在直线上的射影为，是否存在，使得直线过平面内的定点？若存在，求出的值和定点坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型03 线段为定值的问题 1. 设直线 / 动点参数 2. 联立曲线，韦达定理 3. 弦长 / 距离公式写出线段表达式 4. 代入韦达化简 5. 消去参数，结果为常数即定值；不能消去则不是定值 【典例3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点． ①求面积的最大值以及此时直线的方程； ②若直线分别与轴交于两点，证明：为定值． 【变式3-1】（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线：的离心率为，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为．过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)试证明为定值 【变式3-2】（25-26高二下·广西柳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？ 【变式3-3】（25-26高二下·安徽阜阳·期中）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． ▌题型04 面积为定值的问题 1. 设直线，联立曲线，得到韦达定理 2. 选取面积公式（常用两类） ○ 任意两点弦为底： (弦长 × 点到直线距离) 3. ，代入韦达 4. 化简表达式，消去所有参数 5. 式子化为常数，即为面积定值 【典例4】（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的焦距为2，为的右焦点，为坐标原点，过且垂直于轴的直线与交于两点（在的上方），且的面积为. (1)求的标准方程. (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点（在的左侧）. （ⅰ）证明：直线与的斜率之差的绝对值为定值； （ⅱ）设直线与轴分别交于点，且直线相交于点，证明：的面积为定值. 【变式4-1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线的实轴的长为，离心率． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【变式4-2】（2026·安徽蚌埠·二模）已知抛物线的焦点为，过点作一条直线交抛物线于、两点，过、分别作准线的垂线，垂足分别为、，为坐标原点． (1)记、的斜率分别为、，求； (2)求证：、、三点共线； (3)记、，的面积分别为、、，求证：． 【变式4-3】（25-26高二下·重庆·期中）平面内一动点到直线的距离为，到直线的距离为，且，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程： (2)曲线的右焦点为，过点的直线与曲线相交于，两点，已知线段的中点为，求点的轨迹方程： (3)已知，是椭圆上的点，是上一点，若线段，的中点都在上，证明：的面积是定值. ▌题型05 斜率为定值的问题 1. 设直线l动点参数，联立圆锥曲线，写出韦达定理 2. 写出目标斜率表达式 3. 将y用直线方程代换，通分整理 4. 代入韦达定理化简 5. 参数全部抵消，得到常数，即斜率定值 【典例5】（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是圆上一点，线段与交于点，且． (1)求的标准方程； (2)设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式5-1】（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． 【变式5-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【变式5-3】（2026·河北沧州·二模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与交于，两点，且. (1)求的值； (2)已知点，直线与交于，两点（异于点）. （ⅰ）判断直线与直线的斜率之和是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. （ⅱ）若外接圆的圆心为，求圆心的轨迹方程. ▌题型06 角度为定值的问题 【典例6】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，，分别是的上、下顶点，点是椭圆的右顶点，的面积为（是坐标原点）．若直线与椭圆有唯一的公共点，且与直线交于点，直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线与的夹角为定值． 【变式6-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线交于，两点，且的中点为. (1)求双曲线的方程； (2)过向双曲线作两条切线，切点分别为，. （i）证明：直线的方程为； （ii）设为双曲线的左焦点，证明：. 【变式6-2】（25-26高二下·河北·期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线交于，两点，且的中点为. (1)求双曲线的方程； (2)过向双曲线作两条切线，切点分别为，. （i）证明：直线的方程为； （ii）设为双曲线的左焦点，证明：. 【变式6-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线：的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线PA、PF、PB的斜率成等差数列； (3)若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线PM、PN的夹角为，求的取值范围． ▌题型07 与向量有关的定值的问题 【典例7】（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值. 【变式7-1】（25-26高二下·上海青浦·期末）已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； (3)点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 【变式7-2】（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【变式7-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的标准方程； (2)若的面积为20，求直线的方程； (3)若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. ▌题型08 点在定直线上的问题 1. 设参：设动点坐标 / 直线参数（斜率 k、参数 t、点 ） 2. 列条件：根据题干几何关系写出等式 3. 消参：消去所有参数，得到只含x, y的方程 4. 结论：该方程即为动点所在定直线 【典例8】（25-26高二下·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)点，过点的直线与交于，两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 【变式8-1】（25-26高二下·陕西安康·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． (1)证明：直线与的斜率之积为定值； (2)直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 【变式8-2】（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【变式8-3】（2026·河北·二模）已知双曲线的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 （题型突破·举一反三） 题型01 直线过定点问题 题型02 定点存在性问题 题型03 线段为定值的问题 题型04 面积为定值的问题 题型05 斜率为定值的问题 题型06 角度为定值的问题 题型07 与向量有关的定值的问题 题型08 点在定直线上的问题 ▌题型01 直线过定点问题 设直线：x=my+t（优先，免讨论斜率） 联立曲线，得一元二次方程 韦达定理：y1+y2, y1y2 用题给条件化简，得t与m关系（如t=2m+1） 代回直线：x=my+2m+1，整理m（*）+（*）=0 令系数= 0、常数 = 0，解出定点(x0,y0) 【典例1】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 【变式1-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点. (1)求的方程； (2)若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)方法一:由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，， 所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或3. 当时，的方程为，此时过点，不合题意， 当时，的方程为，此时过点，符合题意， 所以恒过定点. 方法二:由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 又，即， 整理得， 即， 所以， 整理得，解得或， 当，， 此时， 所以， 所以，此时的方程为，所以恒过定点. 【分析】（1）由渐近线方程和双曲线所过的点即可列方程求得解； （2）联立直线与双曲线方程求出韦达定理，利用韦达定理求出弦长，再求出点到直线的距离即可计算面积； （3）方法一:设为，联立直线与双曲线方程求出韦达定理，利用韦达定理求出，再由题设得到，再代入韦达求出t即可求解； 方法二:设为，联立直线与双曲线方程求出韦达定理，将韦达定理代入题设求出t即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以的方程为. （2）由题意，直线的方程为，即. 设，，由，得， 所以，. 则， 又点到直线的距离为， 所以的面积为. （3）略 【变式1-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）略 （ii）略 【变式1-3】（25-26高二下·广东汕尾·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足直线，的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若是曲线上第一象限的点，且，求点的坐标． (3)设、是曲线上的两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)解：法一：直线，的斜率均存在且不为，设直线的斜率为， 则直线的斜率为，直线，的方程分别为和， 联立方程组，整理得， 解得或，得，同理得， 则直线的斜率为，                             所以直线的方程为，即，             令，则，即直线过定点               法二：设，则满足，可得 因为，，可得， 则， 又因为，且，所以，即， 直线的斜率明显存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 所以，即， 即， 即， 整理得，解得或（舍去）， 所以直线的方程：， 经检验，此时，所以直线过定点． 【分析】（1）设，根据题意，得到，进而求得曲线的方程； （2）法一：设，直线与的倾斜角分别为，得到，由，，求得，结合椭圆的方程，求得的值，即可求解；         法二：设，得到，，求得，由，结合椭圆的方程，得到关于的方程，求得的值，即可求解； （3）法一：设直线的斜率为，得到直线，的方程分别为和， 联立方程组求得和，得到直线的方程，即可得证； 法二：设直线的方程为，设，，联立方程组，结合韦达定理和，得到关于的方程，求得值，即可得证. 【详解】（1）解：设，且，， 因为点满足直线，的斜率之积为，可得，         即，整理得， 所以曲线的方程. （2）解：法一：设，其中，， 直线与的倾斜角分别为，，则，                 所以，         因为，，所以①，         因为，代入①中，得，故或（舍），         因为，所以点的坐标为．         法二：设，其中，，则，，        所以②，        由，可得③，        因为④，将③，④代入②中，， ， 所以，即， 因为，可得，所以，解得或（舍）．                      因为，所以点的坐标为． （3）略 ▌题型02 定点存在性问题 1. 设直线 ，交点 ， 2. 联立圆锥曲线，写出韦达定理 3. 将题干条件坐标化，代入韦达化简 4. 假设存在定点 ，列出等式恒成立条件 5. 对比系数，求解 6. 检验：若有解，则定点存在；无解，则不存在 【典例2】（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知点，直线，点到点的距离与到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点，点是上异于点的两点，且. ①直线是否过定点？如果是，求出此定点；如果没有，请说明理由； ②过点作于点，是否存在定点，使得定点到点的距离为定值？如果有，求出定点的坐标；如果没有，请说明理由. 【答案】(1) (2)①过定点；②存在定点 【分析】对于（1），设点，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式列出等式，再化简得到曲线的方程. 对于（2）①，先设出直线的方程，分斜率存在和不存在两种情况讨论；当斜率存在时，将直线方程与曲线的方程联立，利用韦达定理得到和，再结合的条件，代入斜率公式化简，进而判断直线是否过定点. 对于（2）②，根据（2）①的结论，结合，利用直线垂直的斜率关系或圆的相关性质，分析点的轨迹，进而判断是否存在定点使得为定值. 【详解】（1）设动点，由题意得 ， 两边平方整理得： ，化简得， 即曲线的方程为： . （2） ① 已知在曲线上，设，分两种情况讨论： 当直线斜率存在时，设， 联立得： ， 由韦达定理：. 由得：， 代入， 整理得： ， 将韦达定理代入化简得：， 因式分解得. 若，则直线过，不符合题意舍去； 故，即， 代入直线方程得： 恒过定点. 当直线斜率不存在时，设，由解得，也过点. 综上，直线过定点，定点为. ② 因为，且在上，也在上， 故，因此的轨迹是以为直径的圆. ，， 的中点坐标为 ，圆的半径为， 故对圆上任意点，为定值. 因此存在定点，坐标为. 【变式2-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点； ②不存在，理由如下： 假设双曲线上存在点，使为的重心， 则，即， 由①知，， 所以，又，所以， 因为点在双曲线上，所以，即， 化简得，即， 所以，或(舍)， 又因为，所以假设不成立， 故双曲线上不存在点，使为的重心． 【分析】（1）利用已知条件及，可求得双曲线方程； （2）①以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点；②假设存在点，利用点在双曲线上，再结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）①略 ②略 【变式2-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知斜率为的直线与抛物线交于两点，且当直线过的焦点时，在点处的切线的交点的横坐标为． (1)求的准线方程； (2)若，直线与的另一个交点为（异于点），是否存在实数，使得直线恒过定点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，定点为 【分析】（1）通过抛物线切线方程性质，结合切线横坐标与焦点的关系列方程求解；（2）假设直线方程，联立方程用韦达定理化简，得出的值，再计算得出定点. 【详解】（1）    设直线过的焦点， 设其方程为，其中， 联立得， 设，不妨令， 则， 因为， 所以在点处的切线方程分别为， 又， 代入切线方程得， 解得，故， 所以的准线方程为． （2）    由（1）得抛物线的方程为，设，直线， 联立得， 则， 所以，① （ⅰ）当直线斜率存在时，， 同理得，则，所以， 则直线的方程为， 代入得， 将①代入得，要使直线过定点，则，即， 此时的方程为，其恒过定点； （ⅱ）当，且直线斜率不存在时，，由得， 代入①式得，所以， 解得，所以，此时直线的方程为，也过点． 综上，存在实数，使得直线恒过定点． 【变式2-3】（2026·四川眉山·二模）已知是圆上一动点，，线段的中垂线与线段交于点，点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设，是上的两点，且，在直线上的射影为，是否存在，使得直线过平面内的定点？若存在，求出的值和定点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，定点 【分析】（1）题意可得，则，由椭圆的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，直线的方程为，令，结合根与系数的关系化简可得解. 【详解】（1）由可知，， 因为线段的垂直平分线与直线交于点， ，所以， 所以由椭圆的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 所以， 所以， 所以曲线的方程为． （2）因为，则三点共线， 设直线所在直线方程为， 设，， 由 消去y整理得， 恒成立， 所以， 在直线上的射影为，则， 所以，可得直线的方程为, 令，则 ， 当时，即时，为定值， 当直线为轴时也成立， 所以存在，直线过定点. ▌题型03 线段为定值的问题 1. 设直线 / 动点参数 2. 联立曲线，韦达定理 3. 弦长 / 距离公式写出线段表达式 4. 代入韦达化简 5. 消去参数，结果为常数即定值；不能消去则不是定值 【典例3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点． ①求面积的最大值以及此时直线的方程； ②若直线分别与轴交于两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为，或； ②，直线的方程为：， 令，所以，则； 直线的方程为：，令，所以， 则 所以 ， 所以为定值，且定值为． 【分析】（1）运用点到直线的距离公式和三角形面积公式，结合椭圆顶点坐标建立关于、的方程组，通过解方程组并利用确定椭圆的标准方程； （2）①设直线方程为，联立椭圆方程后利用韦达定理和弦长公式表示三角形面积，通过换元转化为基本不等式求最值，并回代求直线方程； ②利用点斜式写出直线和的方程并求与轴的交点坐标，将与的乘积表达式用韦达定理化简，证明该表达式为与参数无关的常数. 【详解】（1），所以， 因为坐标原点到直线的距离为，所以①， 又因为的面积为，所以，即②， 由①②及得，，所以椭圆的方程为：. （2）（i）由（1）知焦点的坐标为， 因为直线的斜率不为0，则可设直线的方程为， 联立方程组，消去，得， ， 设，则， ， 令，则，当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为． 令，解得，所以此时直线的方程为或； （ii）①面积的最大值为，此时直线的方程为或； ②略 【变式3-1】（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线：的离心率为，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为．过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)试证明为定值 【答案】(1) (2) (3)由（2）知，，，则． 将代入直线方程中，可得， 同理可得， 所以 ，即， ， ， 所以， 而， 所以． 【分析】（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解； （2）设直线方程为，，，联立直线与双曲线方程，得，，再联立直线方程分别求出的横坐标，即可求解； （3）根据条件求出，即可求解. 【详解】（1）易知双曲线：的渐近线方程为，右焦点为， 由题意知， 解得，，， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，，，， 由题可设过的直线方程为，，， 联立，消整理得， 则，，， 又直线方程为，直线方程为， 联立解得 ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为． 所以直线的方程为．    （3）略 【变式3-2】（25-26高二下·广西柳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)是定值1,理由如下： 由（2）可知， 且，， 又因为， 所以直线的方程为， 令，得 ， 即， 所以， 所以是定值1.    【分析】（1）由题意可得，求出的值即可得答案； （2）设的方程为，与抛物线方程联立，分、及分别求解； （3）由题意可求得，，利用点斜式求出直线的方程，进而可得点的坐标，代入化简即可得答案. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设为， 所以的方程为， 由，得， 其中， 解得， 设, 由韦达定理可得：， 所以， 又因为为直角三角形， 当时，则有, 即， 即， 所以， 解得， 所以， 又因为在抛物线上， 所以， 整理得, 即， 解得； 同理当时，解得； 当时，所以,即， 所以， 解得，满足， 所以； 综上，或； （3）略； 【变式3-3】（25-26高二下·安徽阜阳·期中）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在定点，定值． 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可得抛物线的标准方程； （2）设，求得直线的方程，利用直线与圆相切可得，化简得，进而可得直线过定点；①利用，可求得，进而计算可求得直线的方程；②由题意可得点在以为直径的圆上，进而可得，可得结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 因为点，在抛物线上，所以，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 同理可得到直线的距离为， 因为两直线均与圆相切，所以，即， 两边平方得，所以， 所以， 所以 整理得， 因为，是不同的两点，所以， 所以①， 设直线的方程为，与抛物线联立得， 所以，所以，所以， 所以的方程，所以，所以直线过定点. ①因为，，， 所以， 由，得， 显然不符合题意，所以， 所以， 所以②， 由①②得，所以或， 当，得，此时是方程， 又，不符合题意，舍去； 所以，可得， 由，，两式相减得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. ②因为直线过定点，过点作于点， 所以点在以为直径的圆上，所以， 所以存在定点，使得为定值，定值为. ▌题型04 面积为定值的问题 1. 设直线，联立曲线，得到韦达定理 2. 选取面积公式（常用两类） ○ 任意两点弦为底： (弦长 × 点到直线距离) 3. ，代入韦达 4. 化简表达式，消去所有参数 5. 式子化为常数，即为面积定值 【典例4】（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的焦距为2，为的右焦点，为坐标原点，过且垂直于轴的直线与交于两点（在的上方），且的面积为. (1)求的标准方程. (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点（在的左侧）. （ⅰ）证明：直线与的斜率之差的绝对值为定值； （ⅱ）设直线与轴分别交于点，且直线相交于点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）知. 设， 联立与的方程得，化简整理得， 则， ，， . 故直线与的斜率之差的绝对值为定值1. （ⅱ）设，则由（ⅰ）可知， 所以， 因此点在定直线上，所以. 直线，令，得，则. 直线，令，得，则， 所以. 所以， 所以的面积为定值8. 【分析】（1）根据椭圆焦距定义，结合椭圆通径的性质、三角形面积公式进行求解即可； （2）（ⅰ）设出直线的方程与椭圆方程联立，根据直线斜率公式、一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行求解即可； （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，结合直线的点斜式方程，三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）设的焦距为，由题知，则. ，则. 根据对称性得，所以点， 所以，又，所以， 所以的标准方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）略 【变式4-1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线的实轴的长为，离心率． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是， 【分析】1）根据实轴的长为，离心率，求出即可求得双曲线的标准方程; （2）假设直线的方程与双曲线的标准方程联立，通过韦达定理表示出线段的中点的坐标，从而求出轨迹方程； （3）设，求出点双曲线两条渐近线的距离，再利用分别取两条渐近线的法向量为求出两条渐近线的夹角，由于与两条渐近线垂直，故与该夹角互补，从而表示出面积，再判断是否为定值. 【详解】（1）由双曲线的实轴的长为，得，所以， 又，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 联立，消去并整理，得 ， 由直线与双曲线有两个交点，得， 且 ，解得且． 设，则，故， 由且，得或， 将代入，整理得， 因为，所以，即 ， 故线段的中点的轨迹方程为或． （3）的面积是定值．理由如下： 设，则，双曲线的渐近线方程分别为 ． 点到两条渐近线的距离分别为， 故．分别取两条渐近线的法向量为， 则， 由于与两条渐近线垂直，所以，与该夹角互补 故， 所以的面积， 故的面积为定值． 【变式4-2】（2026·安徽蚌埠·二模）已知抛物线的焦点为，过点作一条直线交抛物线于、两点，过、分别作准线的垂线，垂足分别为、，为坐标原点． (1)记、的斜率分别为、，求； (2)求证：、、三点共线； (3)记、，的面积分别为、、，求证：． 【答案】(1) (2)由（1），依题意知，要证 、 、三点共线，只需证． 即证，即证．而成立， 故 、 、三点共线． (3)记，由（2）同理知、 、 三点共线，且． ，， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）设、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得的值； （2）利用韦达定理证明出即可； （3）记，由（2）同理知、 、 三点共线，且，求出、、、，利用三角形的面积公式可证得结论成立. 【详解】（1）设、， 若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意， 设直线的方程为，与抛物线方程联立有， 消去并化简得，， 则，， 因此，，所以． （2）略 （3）略 【变式4-3】（25-26高二下·重庆·期中）平面内一动点到直线的距离为，到直线的距离为，且，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程： (2)曲线的右焦点为，过点的直线与曲线相交于，两点，已知线段的中点为，求点的轨迹方程： (3)已知，是椭圆上的点，是上一点，若线段，的中点都在上，证明：的面积是定值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用点到直线的距离，根据条件列出方程化简即可得解； （2）当直线斜率存在时设直线方程，联立椭圆的方程，根据韦达定理及中点坐标公式消参数即可得解，再检验斜率不存在时即可; （3）根据点到直线的距离公式及弦长公式，再代入三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）设，则，同理， 所以， 即，化简得. 即的方程为. （2）由（1）知，，所以，所以椭圆的右焦点， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得，， 设，中点，则，， 于是，，代入直线方程， ， 两式相除，得，即，代入中，可得； 当直线斜率不存在时，直线为，由椭圆的对称性知，点为， 也满足， 综上，点的轨迹方程为. （3）设在椭圆上，在上，即， 因为的中点在上， 所以， 同理可得，， 又，， 化简可得，， 所以直线的方程为. 所以点到直线的距离， 联立，化简得， 所以，， 所以 ， 又， 所以，， 所以， 即的面积是定值. ▌题型05 斜率为定值的问题 1. 设直线l动点参数，联立圆锥曲线，写出韦达定理 2. 写出目标斜率表达式 3. 将y用直线方程代换，通分整理 4. 代入韦达定理化简 5. 参数全部抵消，得到常数，即斜率定值 【典例5】（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是圆上一点，线段与交于点，且． (1)求的标准方程； (2)设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，定值为9 【分析】（1）根据椭圆的定义可求，根据半焦距可求，从而可求椭圆方程； （2）（i）联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求的坐标；（ii）设，结合圆过可得其一般方程，联立直线方程和圆的方程后结合韦达定理可求的坐标与的关系，据此可求定值. 【详解】（1）圆，即， 所以该圆是以为圆心，6为半径的圆． ，即，． 又，， 故C的标准方程为． （2）（i）设，， 联立得， 则且，， ，故， ． （ii）为定值9，理由如下： 设，外接圆的方程可设为． 因为在外接圆上，所以，即， 故外接圆的方程为． 联立， 则， ，． 又，， 故，， 解得，． ，，故为定值．    【变式5-1】（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． 【答案】(1) (2)或或或 (3)由题意得，， 若存在，则的横坐标不为2， 代入，得， 因为 ， 因为，则， 则 ，所以，得证. 【分析】（1）利用长轴与短轴的倍数关系设出，代入已知点坐标解出，进而得到椭圆方程; （2）设直线方程并与椭圆联立，用韦达定理、弦长公式和点到直线距离表示面积，建立关于截距的方程求解; （3）将与分别用坐标表示，通过韦达定理和直线方程消去，验证两者相等. 【详解】（1）由题知，解得，， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为（）， 点，的坐标分别为，， 联立得，则， 由，得． 所以 ． 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 由，解得或， 故直线的方程为或或或． （3）略 【变式5-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)，，，， 由（1）可知，直线与双曲线联立消元可得：， 所以，根据已知条件有： ， 所以是定值. 【分析】（1）设，，直线，联立双曲线方程，得到两根之积小于即可求解； （2）对进行配凑得，代入计算即可. 【详解】（1）设，，直线， 由，消元得：， 整理得：. 因为直线过定点且与双曲线右支有两个交点， 因为在轴上，且在双曲线的内部， 所以有：，，且， 则，解得：. （2）略. 【变式5-3】（2026·河北沧州·二模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与交于，两点，且. (1)求的值； (2)已知点，直线与交于，两点（异于点）. （ⅰ）判断直线与直线的斜率之和是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. （ⅱ）若外接圆的圆心为，求圆心的轨迹方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）是定值0；（ⅱ）（且）. 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，再根据韦达定理求解； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线，利用韦达定理得出，再计算直线与直线的斜率之和并化简即可；（ⅱ）设圆心，利用和列出方程，结合（ⅰ）韦达定理的结果可得：，又因为圆心在的垂直平分线上，所以，联立解得，，可得点的坐标为，进而求出圆心的轨迹方程. 【详解】（1）设点，，直线的方程为，联立， 可得，则,由可得. （2）（ⅰ）由（1）知抛物线，设点，， 联立，可得， 由，且，则， 则， ， 即直线与直线的斜率之和为定值，该定值为0. （ⅱ）设的中点坐标为,则, , 即的中点坐标为，所以的垂直平分线的方程为， 设圆心，由题可知，，则， 整理得①， 同理，，②， ①+②，得， 由（ⅰ）整理得③， 因为圆心在的垂直平分线上，所以④， 联立③④，结合的取值范围，解得，， 可得点的坐标为， 故点的轨迹方程为（且）. ▌题型06 角度为定值的问题 【典例6】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，，分别是的上、下顶点，点是椭圆的右顶点，的面积为（是坐标原点）．若直线与椭圆有唯一的公共点，且与直线交于点，直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线与的夹角为定值． 【答案】(1) (2)设点，则由（1）可得． 依题意可知直线的斜率存在，设的方程为，则． 由，得． 因为直线与椭圆有唯一的公共点， 所以．整理得． 由，得． 解得，． 由（1）知直线即直线， 由，得． 又直线：，直线：． 由，得． 所以 ． 所以．所以轴． 又直线的斜率为， 所以直线与直线的夹角的大小为，为定值. 【分析】（1）利用椭圆基本量关系，由已知条件列方程求解； （2）设点的坐标以及直线的方程，与椭圆方程联立，利用，解得，从而得到，．联立与直线的方程解得的坐标，分别表示出直线与直线的方程，求出交点，利用斜率关系可得轴，即可证明结论. 【详解】（1）由已知得解得 所以椭圆的方程为． （2）略 【变式6-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线交于，两点，且的中点为. (1)求双曲线的方程； (2)过向双曲线作两条切线，切点分别为，. （i）证明：直线的方程为； （ii）设为双曲线的左焦点，证明：. 【答案】(1) (2)（i）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，. 联立得， 则，化简得. 因为方程有两个相等实根， 所以，，则， 所以，即， 故直线的方程为，同理可得直线的方程为. 又直线，均过点， 所以，，故直线的方程为，即. （ii）由题可得，则， ， . 不妨设点在第一象限，则，，所以，， 则， ， 故，故. 【分析】（1）设两点坐标并代入双曲线方程，通过题目条件建立相关等式进行求解； （2）（i）设的直线方程和两点坐标，并联立双曲线方程，再运用切线的相关性质求出的直线方程的表达式，同理可得的直线方程的表达式，最后经过同一点求出的直线方程； （ii）先将形成的夹角余弦求出，比较两个余弦值的关系进行验证. 【详解】（1）设，，则，， 两式作差可得，即. 又，，，所以. 又，所以，，所以双曲线的方程为. （2）（i）略 （ii）略 【变式6-2】（25-26高二下·河北·期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线交于，两点，且的中点为. (1)求双曲线的方程； (2)过向双曲线作两条切线，切点分别为，. （i）证明：直线的方程为； （ii）设为双曲线的左焦点，证明：. 【答案】(1) (2)（i）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，. 联立得， 则，化简得.             因为方程有两个相等实根， 所以，，则， 所以，即， 故直线的方程为，同理可得直线的方程为.             又直线，均过点， 所以，，故直线的方程为，即.          （ii）由题可得，则， ， .             不妨设点在第一象限，则，，所以，， 则， ， 故，故. 【分析】（1）设两点坐标并代入双曲线方程，通过题目条件建立相关等式进行求解； （2）（i）设的直线方程和两点坐标，并联立双曲线方程，再运用切线的相关性质求出的直线方程的表达式，同理可得的直线方程的表达式，最后经过同一点求出的直线方程； （ii）先将形成的夹角余弦求出，比较两个余弦值的关系进行验证. 【详解】（1）解：设，，则，， 两式作差可得，即. 又，，，所以.         又，所以，，所以双曲线的方程为. （2）（i）略 （ii）略 【变式6-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线：的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线PA、PF、PB的斜率成等差数列； (3)若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线PM、PN的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 双曲线的右焦点坐标为，其中，即； 设，直线的方程为. 将直线方程代入双曲线方程得， 化简得：，设，， 则，， ，，， ， 所以，，成等差数列； (3) 【分析】（1）由题意可得，把点的坐标代入双曲线方程得，求解即可； （2）设直线的方程为,，，将直线方程代入双曲线方程，利用根与系数的关系可得，，计算可得，可证结论； （3）设，设切线方程为，代入双曲线方程，由切线可得，设切线PM、PN的斜率为，利用夹角公式可得，可求的取值范围． 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线为，即，所以 又双曲线过点，所以， 所以，所以 ，解得，， 所以双曲线的标准方程为：； （2）略 （3）设，设切线方程为 ，即， 代入双曲线方程得， 所以，整理得， 因为时，直线与双曲线不可能相切， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 整理得， 设切线PM、PN的斜率为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号，所以， 所以 的取值范围为. ▌题型07 与向量有关的定值的问题 【典例7】（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值. 【答案】(1) (2)是， (3)24 【分析】（1）由直线垂直于轴时知椭圆经过点，结合离心率列出关于的方程组，解得即得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入并根据韦达定理求得，再求出，将代入即得答案； （3）由（2）中韦达定理得到，分别求出直线、方程，联立得到，求得点，再由点在和上，求出直线和的方程，求得点的坐标，即可求得. 【详解】（1）解：因为椭圆的离心率为，可得，即，① 因为过点的直线垂直于轴时截得弦长， 所以椭圆经过点，所以，② 由①②解得，所以椭圆的方程为. （2）解：由（1）可知，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，且， 直线的斜率分别为，可得， 所以， 因为在直线：上，所以， 所以 ， 所以. （3）解：由（2）知，可得， 所以， 直线的方程为，直线的方程为， 两条直线联立可得 则，解得， 所以设点的坐标为， 因为过原点平行于的直线斜率为，且点在上， 则，故该直线的方程为， 点在上，则， 故直线的方程为， 联立方程组，解得，所以点的坐标为， 所以. 【变式7-1】（25-26高二下·上海青浦·期末）已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； (3)点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1); (2)，; (3)存在，. 【分析】（1）通过题目所给条件直接计算的值； （2）通过三角换元，将点的坐标表示出来，用角度表示，结合二次函数与角度的范围求出最大、最小值； （3）通过坐标将和表示出来，直接判断两者是否存在固定的数量关系，直接求出的值. 【详解】（1）已知左焦点坐标为，所以， 且， 因为椭圆经过点，所以， 所以， 所以椭圆方程为： （2）因为点在椭圆上， 设，因为 所以       因为，所以当时， 当时， 所以，; （3）点在直线上，设， 直线过点且与平行，， 所以直线方程为：，即， 令，所以直线的方程为：， 联立椭圆的方程：，消得：， 设，，所以由韦达定理有，， 所以 同理， 所以， 因为， 代入韦达定理及化简得： 所以， 又因为， 所以，所以存在常数使得. 【变式7-2】（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）略 【变式7-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的标准方程； (2)若的面积为20，求直线的方程； (3)若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)或； (3) 由在抛物线上，代入得， 又，故，即， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， ，，由（2）知，， 直线的斜率为：， 故直线的方程为：， 令，得，即，又 故，，由，得 故，即， 同理，直线交轴于，得， 故 代入，，得 故，为定值. 【分析】（1）根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，求出，从而得出抛物线的标准方程； （2）设直线的方程为，联立，由韦达定理，得，， 的面积，结合， 解得，从而求出直线的方程； （3）由在抛物线上，求出，得到直线的方程为：，即得， 由得，同理得，结合韦达定理得，，可解得，为定值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即：，解得，故抛物线的标准方程为； （2）由（1）得焦点，又，则， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， 联立，消去，整理得： ，设， 由，得， 由韦达定理，，， 故的面积，代入得： ,得， 又，故： ，解得 满足，因此直线的方程为或； （3）略 ▌题型08 点在定直线上的问题 1. 设参：设动点坐标 / 直线参数（斜率 k、参数 t、点 ） 2. 列条件：根据题干几何关系写出等式 3. 消参：消去所有参数，得到只含x, y的方程 4. 结论：该方程即为动点所在定直线 【典例8】（25-26高二下·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)点，过点的直线与交于，两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）． （ⅱ）假设点在定直线上， 由椭圆的对称性可知该定直线必然与轴垂直．     由题可知的斜率不为，且直线：， 直线：，联立， 得 ， 所以点在定直线上． 【分析】（1）设，由题可得，化简可得曲线方程； （2）（i）由题得，当的斜率为时，由可得直线方程；当的斜率不为时，设：，，，将直线方程与曲线方程联立，然后由结合韦达定理可得，据此可得答案； （ii）假设N在定直线上，由椭圆对称性可得该直线与x轴垂直，然后将直线AM与BN方程联立，结合韦达定理可得定直线方程. 【详解】（1）设，由题得， 即， 整理得， 所以 的方程为． （2）（ⅰ）由题得，     当的斜率为 时，可取，或，. 则，符合题意，此时的方程为 ；     当的斜率不为 时，设：，，， 联立，得， 则，，．     ，， 所以，即，不成立．     综上，的方程为 ．     （ⅱ）略 【变式8-1】（25-26高二下·陕西安康·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． (1)证明：直线与的斜率之积为定值； (2)直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 【答案】(1)由椭圆方程可知：，则，， 设，，则，即， 可得， 所以直线与的斜率之积为定值． (2)6 (3)设，，直线：，， 联立方程，消去y得， 因为，解得且， 则，， 可得 则， ， ， 设外接圆的方程为，，圆心为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，则， 可得， 即，整理可得， 且， 整理可得， 因为，且，即， 可得， 即，可得，整理可得， 代入得， 解得或， 当时，，不满足题意； 当时，即，则点在定直线上， 所以的外心在定直线上； 综上所述：的外心在定直线上. 【分析】（1）设，，可得，结合斜率公式分析证明； （2）设直线：，，结合（1）中结论可得，，再利用基本不等式求最小值； （3）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，设外接圆的方程为，代入点结合韦达定理分析证明. 【详解】（1）略 （2）设直线：，，令得，即； 由（1）可知：，则， 可得直线的方程为，令得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． （3）略 【变式8-2】（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 【变式8-3】（2026·河北·二模）已知双曲线的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明：直线的方程为，令，得. 直线的方程为， 直线的方程为. 联立两直线方程：， 代入，，结合， 即， 所以， ， ， ， ， ，即， 因在右支，不恒为，故. 即点在定直线上. 【分析】（1）通过离心率与点在曲线上的条件求解双曲线方程； （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算斜率乘积； （ii）联立直线方程，结合韦达定理关系化简，确定交点横坐标为定值. 【详解】（1）由双曲线离心率，得. 结合，得，故. 将点代入双曲线方程，得， 解得，则. 故双曲线的方程为. （2）（i）双曲线的左右顶点为，. 设过的直线为，与交于，. 联立方程，消去得，， 由韦达定理，，. 直线、的斜率分别为，，则， 代入，， 得 ， 因此. （ii）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $