2.4 培优课　圆锥曲线的综合问题 第一课时　最值、范围及证明问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦圆锥曲线综合问题（最值、范围及证明），分层设计清晰，从基础概念辨析到综合应用证明，梯度递进，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|椭圆、双曲线离心率、渐近线等单一概念|选择题强化概念辨析，如离心率取值范围计算| |提升层|定义应用（特征三角形）、最值范围|解答题结合新定义，如“相似椭圆”求方程及参数范围| |拓展层|充要条件证明、轨迹方程|证明题培养逻辑推理，如三点共线充要条件的双向论证|

培优课　圆锥曲线的综合问题 第一课时　最值、范围及证明问题 1. (2025秋·惠州校级月考) 已知a > b > 0，设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是 （ ） A.  B.  C.  D.  2. (2025秋·天心区校级期末) 设点M是抛物线的焦点，点F是双曲线：的左焦点，点Q是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是 ( ) A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 3. (2025秋·信阳期末) 已知双曲线  与双曲线  互为共轭双曲线，设它们的离心率分别为  和 ，则  的最小值为 ( ) A. 2 B.  C. 3 D.  4.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，已知椭圆C2的短半轴长为b. （1）写出椭圆C2的方程（用b表示）； （2）若椭圆C2的焦点在x轴上，且C2上存在两点M，N关于直线y＝2x＋1对称，求实数b的取值范围. 5.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为，且通径长为1. （1）求椭圆E的方程； （2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值. 6.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 ，且过点（4，－）. （1）求双曲线的方程； （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：·＝0. 7.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2. （1）求C的方程； （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值. 8.已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）经过点（，），一条渐近线的倾斜角为60°. （1）求双曲线E的标准方程； （2）若斜率为k（k≠0）的直线l与双曲线E交于两个不同的点M，N，线段MN的中垂线与y轴交于点（0，4），求实数k的取值范围. 9.已知椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2（x＞0）相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是｜MN｜＝. 第一课时　最值、范围及证明问题 1. D　因为双曲线的渐近线方程为，又双曲线渐近线斜率的绝对值小于，所以，而椭圆的离心率，双曲线的离心率，因此，由，得，所以，即，即，即. 故选：D. 2. D　如图，由点M是抛物线的焦点，故M(0, 4)，由双曲线：，那么可知，，，故F(-2, 0)，右焦点F'(2, 0)，所以，又因为双曲线的渐近线方程为，所以直线FM与双曲线第一象限部分无交点，故，故A, C错误；由双曲线的定义，，所以，即点Q运动到线段MF'与双曲线的交点N时，有最小值，故B错误，D正确. 3. A　因为共轭双曲线  和  的半焦距相等，记双曲线  和  的半焦距 ，且 ，此时 ，，所以 ，当且仅当 ，即  时，等号成立，所以  的最小值为 2。 4.解：（1）由椭圆C2与C1是相似椭圆，得＝＝， ∴椭圆C2的方程为＋＝1或＋＝1. （2）由题设知：椭圆C2的方程为＋＝1， 设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N的中点为E（xE，yE），lMN∶y＝－x＋m. 联立lMN与椭圆C2的方程，整理得3x2－4mx＋4（m2－b2）＝0， ∴Δ＞0，即b2＞m2且x1＋x2＝＝2xE， ∴xE＝，yE＝－xE＋m＝， 由点E在直线y＝2x＋1上，得m＝－，于是b2＞m2＝， ∴b的取值范围为. 5.解：（1）依题意可知解得故椭圆E的方程为＋y2＝1. （2）延长MF1交E于点M0（如图），由椭圆的性质知｜F2N｜＝｜F1M0｜，由（1）可知F1（－，0），F2（，0）， 设M（x1，y1），M0（x2，y2），设MF1的方程为x＝my－， 由得（m2＋4）y2－2my－1＝0，故 设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，则 S＝d ＝（｜F1M｜＋｜F1M0｜）d ＝｜MM0｜d＝， 又因为＝·｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝·2·｜y1－y2｜ ＝ ＝ ＝≤＝2， 当且仅当 ＝，即m＝±时，等号成立， 故四边形F1F2NM面积的最大值为2. 6.解：（1）由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝λ（λ≠0），又双曲线过点（4，－），代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x2－y2＝6. （2）证明：由双曲线的方程为x2－y2＝6，可得a＝b＝，c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0）.由点M（3，m），得＝（－2－3，－m），＝（2－3，－m），又点M（3，m）在双曲线上，所以9－m2＝6，解得m2＝3，所以·＝m2－3＝0. 7.解：（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2， 所以C的方程为y2＝4x. （2）由（1）知F（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则＝（x2－x1，y2－y1），＝（1－x2，－y2）， 因为＝9， 所以 可得 又点P在抛物线C上，所以＝4x1，即（10y2）2＝4（10x2－9），化简得＝x2－，则点Q的轨迹方程为y2＝x－. 设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大值， 联立y＝kx与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0， 令Δ＝－4k2·＝0，解得k＝±， 所以直线OQ斜率的最大值为. 8.解：（1）依题意，双曲线E的渐近线方程为y＝±x，因一条渐近线的倾斜角为60°，即＝，由双曲线E经过点（，），得－＝1，解得a＝1，b＝， 所以双曲线E的标准方程为x2－＝1. （2）设直线l的方程为y＝kx＋m，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由消去y并整理得（3－k2）x2－2kmx－m2－3＝0，3－k2≠0， Δ＝（－2km）2＋4（3－k2）（m2＋3）＝12（3＋m2－k2）＞0，即m2＞k2－3， 则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2m＝k·＋2m＝， 于是得线段MN中点坐标为， 因此，线段MN的垂直平分线的方程为y－＝－，而线段MN的垂直平分线过点（0，4）， 从而有4－＝－，化简得m＝3－k2， 代入m2＞k2－3得：9－6k2＋k4＞k2－3， 解得k＞2或k＜－2，或－＜k＜，且k≠0， 所以实数k的取值范围为（－∞，－2）∪（－，0）∪（0，）∪（2，＋∞）. 9.解：（1）由题意知　⇒a＝， 又∵a2＝b2＋c2，∴b＝1. 故椭圆C的方程为＋y2＝1. （2）证明：①（必要性）若M，N，F三点共线，设直线MN的方程为x＝my＋， 圆心O（0，0）到MN的距离d＝＝1⇒m2＝1. 联立⇒（m2＋3）y2＋2my－1＝0⇒4y2＋2my－1＝0， ｜MN｜＝·＝×＝，必要性成立. ②（充分性）当｜MN｜＝时，设直线MN的方程为x＝ty＋n. 此时圆心O（0，0）到MN的距离d＝＝1⇒n2－t2＝1， 联立⇒（t2＋3）y2＋2tny＋n2－3＝0，Δ＝4t2n2－4（t2＋3）（n2－3）＝12（t2－n2＋3）＝24. ｜MN｜＝＝⇒t2＝1，∴n2＝2. ∵直线MN与曲线x2＋y2＝b2（x＞0）相切，∴n＞0，n＝， ∴直线MN的方程为x＝ty＋，恒过点F（，0）， ∴M，N，F三点共线，充分性成立. 由①②可得M，N，F三点共线的充要条件是｜MN｜＝. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $