4.2直线与圆锥曲线的综合问题同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线位置关系，通过基础计算、综合推理、创新应用三层设计，实现从单一知识点到复杂问题的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线与椭圆、抛物线交点及弦长计算|单选1-4、填空7-9，直接应用韦达定理与弦长公式，强化基本运算| |能力提升|中点弦、轨迹方程及多曲线综合|多选5-6、解答10，结合圆与抛物线，训练方程思想与参数处理| |综合应用|对称问题、离心率范围及斜率关系|单选11-12、解答16，需逻辑推理与模型构建，发展数学思维|

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 1.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦AB的中点M的坐标是（　　） A.　　　　　 　B. C. D. 2.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长｜AB｜＝（　　） A. B. C.2 D.3 3. 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，则｜AB｜＝（　　） A.2 B.2 C.3 D.3 4.已知直线l：y＝x＋3与双曲线－＝1相交于A，B两点，线段AB的中点为M，则OM的斜率为（　　） A. B. C. D. 5.（多选）已知圆C：（x＋3）2＋（y－2）2＝4，直线l：ax＋y＋2a－1＝0，直线l与抛物线D：y2＝－8x交于A，B两点，下列结论正确的是（　　） A.l被圆C截得的弦长的最小值为2 B.l被圆C截得的弦长的最小值为 C.若弦AB中点的坐标为（－2，1），则a＝－4 D.若弦AB中点的坐标为（－2，1），则a＝4 6.（多选）设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（　　） A.直线AB与OM垂直 B.若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x＋y－3＝0 C.若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为（，） D.若直线方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝ 7.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点.若直线AB的倾斜角为，则弦长｜AB｜＝　　　　. 8.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是　　　　. 9.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则该双曲线的方程为　　　　. 10.已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且｜AB｜＝9. （1）求该抛物线的方程； （2）O为坐标原点，C为抛物线上一点（异于A，B两点），若＝＋λ，求实数λ的值. 11.已知倾斜角为的直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，抛物线C上存在点P与x轴上一点Q（5，0）关于直线l对称，则p＝（　　） A.　　　B.1　　　C.2　　　D.3 12.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）.若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为（　　） A. B. C.2 D.2 13.（多选）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，－1）的直线交C于P，Q两点，则（　　） A.C的准线为y＝－1 B.直线AB与C相切 C.｜OP｜·｜OQ｜＞｜OA｜2 D.｜BP｜·｜BQ｜＞｜BA｜2 14.已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是　　　　. 15.已知椭圆＋＝1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点. （1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度； （2）当点P恰好为线段AB的中点时，求直线l的方程. 16.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（－，0），F2（，0），点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝2.记M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且｜TA｜·｜TB｜＝｜TP｜·｜TQ｜，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 1.A　由消y得2x2＋（x－1）2＝4，即3x2－2x－3＝0，解得x1＝，x2＝，所以弦AB的中点M的横坐标为x0＝＝，纵坐标为y0＝x0－1＝－，故选A. 2.A　由得交点为（0，1），（ －，－），则｜AB｜＝＝. 3.B　法一　如图，由题意可知F（1，0），设A，则由抛物线的定义可知｜AF｜＝＋1.因为｜BF｜＝3－1＝2，所以由｜AF｜＝｜BF｜，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2）.不妨取A（1，2），则｜AB｜＝＝＝2，故选B. 法二　由题意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以｜AB｜＝＝＝2，故选B. 4.D　设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），解方程组得5x2＋54x＋117＝0，故x1＋x2＝－，所以x0＝＝－，y0＝x0＋3＝－，故kOM＝＝. 5.AD　因为直线l：ax＋y＋2a－1＝0，a（x＋2）＋（y－1）＝0，即过定点P（－2，1），（－2＋3）2＋（1－2）2＝2＜4，则P（－2，1）在圆C内，所以当直线l与CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短.因为圆C的半径为2，｜CP｜＝，所以弦长的最小值为2＝2，A正确，B错误；设A（x1，y1），B（x2，y2），则相减得－＝－8x1＋8x2，整理得＝－.因为弦AB中点的坐标为（－2，1），所以＝－＝－4＝－a，得a＝4，C错误，D正确；故选A、D. 6.BD　假设直线与椭圆交于椭圆的左顶点A（－，0）和上顶点B（0，2），显然△ABO不是等腰直角三角形，AB与OM显然是不垂直的.故A错误.设直线方程为y＝kx＋b（b≠0）.联立直线与椭圆的方程，消去y得，（2＋k2）x2＋2kbx＋b2－4＝0.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2b＝－＋2b＝.故点M的坐标为（－，）.对于B，点M（1，1），则解得即所求直线方程为2x＋y－3＝0.故B正确.对于C，若直线方程为y＝x＋1，即k＝1，b＝1，则M点坐标为（－，），故C错误.对于D，若直线方程为y＝x＋2，即k＝1，b＝2，｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·＝×＝.故D正确. 7.　解析：易知F1（－1，0），∵直线AB的倾斜角为，∴直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为y＝x＋1.联立整理得7x2＋8x－8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1·x2＝－，则由弦长公式得｜AB｜＝·＝×＝. 8.（3，2）　解析：设线段的端点为（x1，y1），（x2，y2），将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2，∴所求点的坐标为（3，2）. 9.x2－y2＝9　解析：设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝x联立，得x2＝a2，∴｜AB｜＝×a＝2，∴a＝3，故双曲线的方程为x2－y2＝9. 10.解：（1）由题意得直线AB的方程为y＝2（x－），与抛物线方程y2＝2px联立，消去y可得4x2－5px＋p2＝0. 由题意知，该方程必有两个不等实根. 所以x1＋x2＝.由抛物线定义知｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4， 从而该抛物线的方程为y2＝8x. （2）将p＝4代入4x2－5px＋p2＝0， 可得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4， 所以y1＝－2，y2＝4， 从而A（1，－2），B（4，4）.设C（x3，y3）， 则＝（x3，y3）＝（1，－2）＋λ（4，4）＝（4λ＋1，4λ－2）. 又＝8x3，即[2（2λ－1）]2＝8（4λ＋1）， 整理得（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝2. 11.C　由题意得，F（，0），设P（x0，y0），直线PQ的方程为y＝－（x－5），由得，3（x0－5）2＝2px0.连接FP，则易知｜FP｜＝｜FQ｜，即x0＋＝5－， 由解得（x0＝5时不合题意，舍去）. 12.C　因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，所以直线与双曲线相交只能是点A在双曲线的左支上，点B在双曲线的右支上.由双曲线的对称性，设点A，B均在x轴上方，如图所示.设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0）（c＞0）.因为＝3，所以c－x1＝3（c－x2），3x2－x1＝2c.由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，所以≥2，即离心率e≥2，当且仅当点A，B分别为双曲线的左、右顶点时等号成立.故选C. 13.BCD　如图，因为抛物线C过点A（1，1），所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y的准线为y＝－，所以A错误；因为x2＝y，所以y'＝2x，所以y'｜x＝1＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，又点B（0，－1）在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为y＝kx－1，由得x2－kx＋1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4＞0，得k＞2或k＜－2，所以｜OP｜·｜OQ｜＝·＝ ＝·x1x2 ＝ ＝＞2＝｜OA｜2，所以C正确；｜BP｜·｜BQ｜ ＝· ＝· ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝k2＋1＞5＝｜BA｜2，所以D正确.故选B、C、D. 14.±1　解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8＞0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为（m，2m）.又点（m，2m）在x2＋y2＝5上，所以m2＋（2m）2＝5，得m＝±1. 15.解：（1）由已知可得直线l的方程为y－2＝（x－4）， 即y＝x.由消去y并整理，得x2－18＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是｜AB｜＝ ＝ ＝× ＝×6＝3.∴线段AB的长度为3. （2）当直线l的斜率不存在时，不合题意. ∴直线l的斜率存在. 法一　设直线l的斜率为k，则其方程为y－2＝k（x－4）. 由消去y并整理，得（1＋4k2）x2－（32k2－16k）x＋（64k2－64k－20）＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝. ∵AB的中点恰好为P（4，2）， ∴＝＝4，解得k＝－. 此时直线l的方程为y－2＝－（x－4）， 即x＋2y－8＝0. 法二　设A（x1，y1），B（x2，y2），则有 ②－①得＋＝0， 整理得kAB＝＝－. ∵P（4，2）是AB的中点， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， ∴kAB＝－＝－， ∴直线l的方程为y－2＝－（x－4），即x＋2y－8＝0. 16.解：（1）因为｜MF1｜－｜MF2｜＝2＜｜F1F2｜＝2， 所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支. 设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16， 所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1（x≥1）. （2）设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1（k1≠0），直线PQ的方程为y－t＝k2（k2≠0）， 由得（16－）x2－2k1x－－16＝0. 设A（xA，yA），B（xB，yB），易知16－≠0， 则xAxB＝，xA＋xB＝， 所以｜TA｜＝＝（ xA－），｜TB｜＝·＝， 则｜TA｜·｜TB｜＝（1＋）（ xA－） ＝（1＋） ＝（1＋）［－·＋］＝. 同理得｜TP｜·｜TQ｜＝. 因为｜TA｜·｜TB｜＝｜TP｜·｜TQ｜， 所以＝，所以－16＋－16＝－16＋－16，即＝， 又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0. 故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $