4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到拓展提高，覆盖直线与圆锥曲线综合问题的基础应用、跨曲线综合及存在性探究，适配新授课知识内化与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆、抛物线、双曲线的中点弦、焦点弦、向量数量积等单一曲线问题|以选择、填空、基础解答题为主，强化运算能力与推理意识，如中点弦斜率计算、焦点弦长求解| |综合运用|多曲线综合、参数范围、最值问题（如双曲线过定点判断、抛物线弦长最值）|跨曲线综合应用，结合多选题和中档解答题，发展逻辑推理与模型观念，如含参数直线与双曲线交点问题| |拓展提高|存在性问题（对称点）及面积最值|含参数讨论与复杂情境，提升创新意识与数学抽象能力，如椭圆上对称点的参数范围及面积最大值探究|

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 一、基础巩固 1.已知曲线C:＝1，直线l与曲线C交于A，B两点，且点P(1，1)是线段AB的中点，则直线l的斜率为(　　) A. B.－ C. D.－ 2.两条直线y＝kx和y＝－kx分别与抛物线C:y2＝4x相交于不同于原点的A，B两点，当直线AB经过抛物线的焦点时，则|AB|为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知直线l与抛物线C:y2＝4x相交于A，B两点，若·＝－4，则|AB|的最小值为(　　) A.4 B.4 C.8 D.16 4.已知椭圆＝1的焦点为F，椭圆上M，N满足:＝2，则|MN|＝(　　) A.2 B.3 C. D. 5.已知抛物线y2＝2x，过点P(2，0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值为(　　) A.4 B.10 C.6 D.8 6.(多选)已知椭圆C:＝1的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0，1)，设直线l与椭圆 C交于M，N两点，且点P为线段MN的中点，则下列说法正确的是(　　) A.椭圆C的离心率为 B.椭圆上不存在点Q使得∠F1QF2＝90° C.直线l的方程为x－y＋1＝0 D.△F1MN的周长为4 7.直线AB过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标是3，则直线AB的斜率是　　　　.  8.直线x－2y＋3＝0与椭圆＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且P(－1，1)恰好为AB的中点，则椭圆的离心率为　　　　.  9.椭圆＝1(a>b>0)的左顶点为A，上、下顶点分别为B1，B2，若·＝3，△AB1B2的面积为2，直线y＝x与椭圆相交于M，N两点，则椭圆的方程为　　　　，|MN|的值为　　　　.  10.已知直线l:x＋y＝1与双曲线C:－y2＝1(a>0). (1)若a＝，求l与C相交所得的弦长; (2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围. 二、综合运用 11.(多选)已知直线l经过双曲线C:＝1(a>0，b>0)的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得|AB|的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为(　　) A.(4，2) B.(－2，2) C.(－2，－2) D.(3，－) 12.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是　　　　.  13.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值. 三、拓展提高 14.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称. (1)求实数m的取值范围; (2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点). 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 一、基础巩固 1.已知曲线C:＝1，直线l与曲线C交于A，B两点，且点P(1，1)是线段AB的中点，则直线l的斜率为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　B 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，＝1，两式相减得，＝－， 即＝－， 又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，故＝－， 即直线l的斜率为－. 2.两条直线y＝kx和y＝－kx分别与抛物线C:y2＝4x相交于不同于原点的A，B两点，当直线AB经过抛物线的焦点时，则|AB|为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由题意，联立则A，同理可得B，所以|AB|＝||，抛物线C:y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，直线AB经过抛物线的焦点F(1，0)，且AB⊥x轴，所以＝1，解得k2＝4，解得|k|＝2，所以|AB|＝＝4.故选D. 3.已知直线l与抛物线C:y2＝4x相交于A，B两点，若·＝－4，则|AB|的最小值为(　　) A.4 B.4 C.8 D.16 答案　B 解析　由题意可知，直线l的斜率不可能为0，设直线l的方程为x＝my＋n(n≠0)， 由消去x，得y2－4my－4n＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0， 所以x1x2＝(my1＋n)(my2＋n)＝m2×(－4n)＋mn×4m＋n2＝n2.因为·＝－4， 所以x1x2＋y1y2＝n2－4n＝－4，解得n＝2， |AB|＝ ＝ ＝ ＝4＝4≥4， 当且仅当m2＝0即m＝0时，|AB|取得最小值为4.故选B. 4.已知椭圆＝1的焦点为F，椭圆上M，N满足:＝2，则|MN|＝(　　) A.2 B.3 C. D. 答案　D 解析　设M(x0，y0)，N(x1，y1)，不妨设F为右焦点，据题意得F(1，0)，因为＝2，所以(1－x0，－y0)＝2(x1－1，y1)，所以N，将点N＝1得＝1由所以M，所以，所以||＝，所以||＝，所以|MN|＝.故选D. 5.已知抛物线y2＝2x，过点P(2，0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值为(　　) A.4 B.10 C.6 D.8 答案　D 解析　当直线的斜率不存在时，其方程为x＝2， 由得y1＝－2，y2＝2， 所以＝8. 当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－2)(k≠0)， 由得ky2－2y－4k＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－4， 所以＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋8>8. 综上，≥8，所以的最小值为8.故选D. 6.(多选)已知椭圆C:＝1的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0，1)，设直线l与椭圆 C交于M，N两点，且点P为线段MN的中点，则下列说法正确的是(　　) A.椭圆C的离心率为 B.椭圆上不存在点Q使得∠F1QF2＝90° C.直线l的方程为x－y＋1＝0 D.△F1MN的周长为4 答案　BCD 解析　椭圆C:＝1的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0，1)，则a2＝m2，b2＝2， c2＝a2－b2＝m2－2＝1，可得m2＝3，故a＝，对于A，椭圆的离心率为e＝，A错误; 对于B，假设在椭圆上存点Q(x，y)，使得∠F1QF2＝90°，且x2＝2－＝(x，y＋1)，＝(x，y－1)， 所以·＝x2＋y2－1＝2－＋y2－1＝＋1＝0，在实数范围内无解，故椭圆上不存在点Q使得∠F1QF2＝90°，B对; 对于C，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意可得若直线MN的斜率不存在，则线段MN的中点在x轴上，不合乎题意，所以直线MN的斜率存在，则由＝－，即＝－，所以直线MN的斜率为kMN＝＝1，因此直线l的方程为y－＝x＋，即x－y＋1＝0，C对; 对于D，因为0－1＋1＝0，所以，直线l过椭圆的上焦点F2，所以△F1MN的周长为:|F1M|＋|MN|＋|F1N|＝|F1M|＋|F2M|＋|F2N|＋|F1N|＝4a＝4，D对，故选BCD. 7.直线AB过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标是3，则直线AB的斜率是　　　　.  答案　1或－1 解析　由题意得F(1，0)，直线AB的斜率不为0， 设直线AB的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得y2－4my－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系得y1＋y2＝4m， y1·y2＝－4， 所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2＝2×3，解得m＝±1， 所以直线AB的方程为x＝±y＋1， 所以kAB＝±1. 8.直线x－2y＋3＝0与椭圆＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且P(－1，1)恰好为AB的中点，则椭圆的离心率为　　　　.  答案　 解析　由消去x， 得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0， Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)>0， 即a2＋4b2>9. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝. ∵线段AB的中点为(－1，1)， ∴＝2，于是得a2＝2b2. 又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝. 9.椭圆＝1(a>b>0)的左顶点为A，上、下顶点分别为B1，B2，若·＝3，△AB1B2的面积为2，直线y＝x与椭圆相交于M，N两点，则椭圆的方程为　　　　，|MN|的值为　　　　.  答案　＋y2＝1　 解析　由题意A(－a，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，因此·＝a2－b2＝3，由于△AB1B2的面积为2，所以ab＝2，解得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.把y＝x代入椭圆的方程，化简整理得5x2＝4，解得x1＝，x2＝－，所以|MN|＝|x1－x2|＝×. 10.已知直线l:x＋y＝1与双曲线C:－y2＝1(a>0). (1)若a＝，求l与C相交所得的弦长; (2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围. 解　(1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1， 联立消去y，得3x2＋2x－2＝0. 设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 于是|AB|＝·×. (2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中消y得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， 所以 解得0<a<且a≠1. 又双曲线的离心率e＝， 所以e>且e≠， 即离心率e的取值范围是 ∪(，＋∞). 二、综合运用 11.(多选)已知直线l经过双曲线C:＝1(a>0，b>0)的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得|AB|的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为(　　) A.(4，2) B.(－2，2) C.(－2，－2) D.(3，－) 答案　ACD 解析　若直线l与C的两支交于顶点A，B，则|AB|min＝2a，若直线l与C的一支交于A，B两点，则通径最短，|AB|min＝，由题意得＝2a＝4，解得a＝b＝2，则C的方程为＝1，把选项ABCD分别代入方程，则B选项表示的点不在双曲线上，ACD选项表示的点在双曲线上.故选ACD. 12.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是　　　　.  答案　2 解析　由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，故AB所在的直线方程可设为y＝kx＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4kx－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k， 由y＝kx＋1可得y1＋y2＝kx1＋1＋kx2＋1＝4k2＋2，|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋4， 故所截弦长为2 ＝2≥2，当k＝0时弦长取最小值. 13.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值. 解　(1)由题意得∴ ∴椭圆C的方程为＝1. (2)设直线AB的方程为y＝－x＋m， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 得3x2－4mx＋2m2－6＝0， ∴ ∴|AB|＝|x1－x2| ＝·， 当m＝0时，满足Δ>0，|AB|max＝4. 三、拓展提高 14.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称. (1)求实数m的取值范围; (2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点). 解　(1)由题意知m≠0， 可设直线AB的方程为y＝－x＋b. 由消去y， 得x2－x＋b2－1＝0. 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0. ① 将线段AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－. ② 由①②得m<－或m>. 故实数m的取值范围为. (2)令t＝∈∪， 则|AB|＝·， 且O到直线AB的距离为d＝. 设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤， 当且仅当t2＝，即m＝±时，等号成立. 故△AOB面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $