2.4.1 直线与圆锥曲线的交点(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线交点问题，以代数联立与几何性质结合为核心，构建“基础判断-综合应用”的方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|判别式法判断交点个数、特殊直线（k=0/斜率不存在）讨论|从概念出发，通过方程联立转化为一元二次方程，用Δ研究代数关系| |综合运用|4题|几何性质（渐近线/切线）应用、对称问题中点坐标法|结合圆锥曲线几何特征，实现代数方法与几何直观融合，提升综合推理能力|

4.1　直线与圆锥曲线的交点 1.若直线y=kx＋2与抛物线y2=x只有一个公共点，则实数k=（　　） A．　 B．0 C．或0　 D．8或0 2.若直线y=kx＋2与椭圆＋=1有且仅有一个公共点，则斜率k的值是（　　） A．　 B．－ C．±　 D．± 3.已知双曲线方程为x2－=1，过点P（1，0）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有（　　） A．4条　 B．3条 C．2条　 D．1条 4.已知斜率为－2的直线经过椭圆C：＋=1的左焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标分别为（　　） A．（0，－2），　 B．（0，2）， C．（0，－2），　 D．（0，2）， 5.〔多选〕若直线x=a与双曲线－y2=1仅有一个交点，则a的值可以是（　　） A．4　 B．2 C．1　 D．－2 6.〔多选〕已知直线l：x=ty＋4与抛物线C：y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则（　　） A．y1y2为定值 B．k1k2为定值 C．y1＋y2为定值 D．k1＋k2＋t为定值 7.若双曲线－=1（a＞0，b＞0）与直线y=2x无交点，则离心率e的取值范围是　　　　． 8.已知以F1（－2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x＋y＋4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为　　　　． 9.若直线y=kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋=1总有公共点，则实数m的取值范围为　　　　． 10.已知直线l：y=2x＋m，椭圆C：＋=1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不同的公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点． 11.已知双曲线C：x2－y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线C仅有一个公共点P，则|PF2|=（　　） A．　 B． C．　 D． 12.若过点（0，－1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线l有（　　） A.0条　　 B.1条 C.2条　　 D.3条 13.已知直线l过点A，且与抛物线x2=2py（p＞0）只有一个公共点，则直线l的方程为　　　　． 14.已知双曲线x2－=1上存在关于直线l：y=kx＋4对称的两点A，B，求实数k的取值范围． 4.1　直线与圆锥曲线的交点 1.C　由可知若k＝0，直线与抛物线只有一个交点（4，2）；若k≠0，则ky2－y＋2＝0，Δ＝1－8k＝0，所以k＝.综上可知k＝0或，故选C. 2.C　把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±. 3.B　因为双曲线方程为x2－＝1，则P（1，0）是双曲线的右顶点，所以过P（1，0）并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P（1，0）分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条. 4.A　由题意知F1（－1，0），故直线AB的方程为y＝－2（x＋1），由得或 5.BD　由题设，双曲线顶点坐标为（±2，0），要使x＝a与双曲线－y2＝1仅有一个交点，所以a＝±2，故选B、D. 6.ABD　由得y2－4ty－16＝0，则对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确；对于B，k1k2＝＝＝＝－1为定值，故B正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；对于D，k1＋k2＋t＝＋＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确. 7.（1，]　解析：由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e＞1，所以离心率e的取值范围是（1，]. 8.2　解析：由题意可设椭圆的方程为＋＝1（a＞2），与直线方程x＋y＋4＝0联立，得4（a2－3）y2＋8（a2－4）y＋（16－a2）（a2－4）＝0，由Δ＝0，得a＝，所以椭圆的长轴长为2. 9.[1，5）　解析：∵直线y＝kx＋1过定点M（0，1），∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M（0，1）必在椭圆内或椭圆上，由此得解得1≤m＜5. 10.解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144. （1）当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. （2）当Δ＝0，即m＝±3时，方程有两个相同的实数根， 可知原方程组有两组相同的实数解. 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. （3）当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时， 方程没有实数根，可知原方程组没有实数解. 这时直线l与椭圆C没有公共点. 11.C　由已知得c2＝a2＋b2＝1＋1＝2，所以左焦点F1的坐标为（－，0），因为过点F1的直线与双曲线C仅有一个公共点P，所以该直线与双曲线的渐近线y＝x或y＝－x平行，所以不妨设该直线方程为y＝x＋，联立解得即P，又F2（，0），所以｜PF2｜＝＝. 12.D　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，与抛物线只有一个交点，满足题意.当直线l的斜率k存在时，若k＝0，则直线l与抛物线y2＝2x有且只有一个交点，满足条件；若k≠0，过点（0，－1）的直线l与抛物线y2＝2x相切，此时有且只有一个交点，这样的直线只有1条.综上满足条件的直线有3条.故选D. 13.x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p　解析：当直线l斜率不存在时，方程为x＝－p，与抛物线有一个公共点.当直线l斜率存在时，设l：y－p＝k与x2＝2py联立得x2－2pkx－2p2－3kp2＝0，∴Δ＝4p2k2＋4（2p2＋3kp2）＝0，解得k＝－1或k＝－2.∴直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0.综上，直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p. 14.解：当k＝0时，显然不成立. 当k≠0时，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－x＋b， 代入3x2－y2＝3中，得（3k2－1）x2＋2kbx－（b2＋3）k2＝0. ∴3k2－1≠0，Δ＝（2kb）2－4（3k2－1）[－（b2＋3）·k2]＞0， 即k2b2＋3k2－1＞0， ① 设AB的中点为M（x0，y0），则 ∵点M（x0，y0）在直线l上，∴＝＋4， 即k2b＝3k2－1， ② 把②代入①得k2b2＋k2b＞0，解得b＞0或b＜－1. ∴＞0或＜－1， 即｜k｜＞或｜k｜＜，且k≠0. 故k的取值范围是（－∞，－）∪（－，0）∪（0，）∪（，＋∞）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $