4.1　直线与圆锥曲线的交点 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 以“基础巩固-综合运用-拓展提高”分层设计，聚焦直线与圆锥曲线位置关系，通过梯度化题型培养运算能力、推理意识与创新意识，实现从单一知识到综合应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|双曲线、椭圆、抛物线与直线位置关系（相切、相交判断）|选择、填空为主，如第1题双曲线渐近线方程，强化概念理解与运算能力| |综合运用|多曲线综合（椭圆与抛物线相切）、焦点弦问题|解答题结合图形，如第12题抛物线焦点弦与准线关系，培养推理意识与模型观念| |拓展提高|轨迹方程推导、直线与曲线位置关系证明|探究性解答题，如第14题轨迹方程及切线证明，发展抽象能力与创新意识|

4.1　直线与圆锥曲线的交点 一、基础巩固 1.以双曲线C:＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆(O为坐标原点)与C的渐近线相切，则C的渐近线方程为(　　) A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0 2.(多选)与直线x＋y－＝0仅有一个公共点的曲线是(　　) A.x2＋y2＝1 B.＋y2＝1 C.x2－y2＝1 D.y2＝x 3.若直线y＝kx＋1与椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A.m>1 B.m>0 C.0<m<5且m≠1 D.m≥1且m≠5 4.若圆(x－2)2＋y2＝4上点(1，－)处的切线与抛物线y2＝2px(p≠0)有且仅有一个公共点，则p＝(　　) A.－ B.－ C. D. 5.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C:＝1(a>0)的蒙日圆为x2＋y2＝4，则a＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.若直线l:x－2y＝0与双曲线x2－ay2＝4(a>0)的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是 (　　) A.(4，＋∞) B.[4，＋∞) C.(0，4) D.(0，4] 7.若直线y＝kx与双曲线＝1相交，则k的取值范围为　　　　.  8.已知抛物线y2＝4x，过点Q(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值为　　　　.  9.直线y＝x＋3与曲线＝1交点的个数为　　　　.  10.(链接教材P79练习T2)已知直线l:x－y＋6＝0与椭圆C:＋y2＝1. (1)判断l与C的位置关系; (2)若相离，求椭圆C上的点到直线l的距离的最大值和最小值. 二、综合运用 11.(多选)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1:＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上.直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2＝4x相切，则(　　) A.椭圆C1的方程为＋y2＝1 B.椭圆C1的方程为＝1 C.直线l的方程y＝x＋或y＝－x－ D.直线l的方程y＝－x＋或y＝x－ 12.如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若＝3，则直线AB的方程为　　　　，|AB|＝　　　　.  13.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)经过点A(1，－2). (1)求抛物线的方程，并求其准线方程; (2)若直线l与OA平行，与抛物线有公共点，且直线OA与l的距离为，求直线l的方程. 三、拓展提高 14.已知直线y＝－2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且⊥，记点P的轨迹为C. (1)求曲线C的方程. (2)设直线l与x轴交于点A，且(≠0).试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论. 4.1　直线与圆锥曲线的交点 一、基础巩固 1.以双曲线C:＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆(O为坐标原点)与C的渐近线相切，则C的渐近线方程为(　　) A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0 答案　B 解析　由以双曲线C:＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆(O为坐标原点)与C的渐近线相切，可得c，可得c＝2b，所以c2＝4b2＝a2＋b2，所以a＝b，则C的渐近线方程为x±y＝0，故选B. 2.(多选)与直线x＋y－＝0仅有一个公共点的曲线是(　　) A.x2＋y2＝1 B.＋y2＝1 C.x2－y2＝1 D.y2＝x 答案　AC 解析　直线与点(0，0)的距离d＝＝1，故直线x＋y－＝0与x2＋y2＝1相切，所以只有一个公共点，所以A正确;联立直线x＋y－＝0与椭圆＋y2＝1的方程，消y得x2－2x＋1＝0，Δ＝8－4××1＝2>0，所以直线与椭圆＋y2＝1有2个交点，所以B不正确;直线x＋y－＝0平行于双曲线的渐近线，所以直线与双曲线只有一个交点，所以C正确;联立直线x＋y－＝0与抛物线y2＝x的方程消y得x2－(2＋1)x＋2＝0，Δ＝(2＋1)2－2×4＝4＋1>0，故有2个交点，所以D不正确，故选AC. 3.若直线y＝kx＋1与椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A.m>1 B.m>0 C.0<m<5且m≠1 D.m≥1且m≠5 答案　D 解析　由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，要使直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上.从而有解得m≥1且m≠5，故选D. 4.若圆(x－2)2＋y2＝4上点(1，－)处的切线与抛物线y2＝2px(p≠0)有且仅有一个公共点，则p＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　D 解析　易知圆心坐标为(2，0)，故切点与圆心连线的斜率为k0＝， 故切线的斜率k＝－＝－，于是该切线方程为y＋＝－(x－1)，即x＝－y－2， 联立有y2＋2py＋4p＝0， 由公共点唯一可知其Δ＝(2p)2－16p＝12p2－16p＝0，解得p＝0(舍)或p＝.故选D. 5.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C:＝1(a>0)的蒙日圆为x2＋y2＝4，则a＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找特殊点分别为(，0)，(0，)，则两条切线分别是x＝，y＝，则两条直线的交点为P()，而P在蒙日圆上，所以()2＋()2＝4，解得a＝1，故选A. 6.若直线l:x－2y＝0与双曲线x2－ay2＝4(a>0)的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是 (　　) A.(4，＋∞) B.[4，＋∞) C.(0，4) D.(0，4] 答案　C 解析　由双曲线方程为x2－ay2＝4(a>0)，可得渐近线方程为x＝±y， 由直线l:x－2y＝0与双曲线的右支仅有一个公共点，可得<2，解得0<a<4，故选C. 7.若直线y＝kx与双曲线＝1相交，则k的取值范围为　　　　.  答案　 解析　把y＝kx代入＝1，得4x2－9k2x2＝36，即(4－9k2)x2＝36， 因直线与双曲线相交， 故x2＝≥0， 所以4－9k2>0，∴－<k<. 8.已知抛物线y2＝4x，过点Q(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值为　　　　.  答案　32 解析　直线AB的斜率显然不为0，故设直线AB的方程为ty＝x－4(t∈R)，由消去y，整理得x2－(8＋4t2)x＋16＝0，Δ＝(8＋4t2)2－4×16＝64t2＋16t4≥0，所以x1＋x2＝8＋4t2≥8，所以＝4(x1＋x2)≥32. 9.直线y＝x＋3与曲线＝1交点的个数为　　　　.  答案　3 解析　当x>0时，曲线＝1表示双曲线＝1位于y轴右侧的部分，其渐近线为y＝±x，而直线y＝x＋3的斜率为1，1<，所以y＝x＋3与x轴上半部分且位于y轴右侧的双曲线有1个交点.当x≤0时，曲线＝1表示椭圆＝1的左半部分，又直线y＝x＋3过椭圆上顶点，故直线y＝x＋3与椭圆左半部分有2个交点.综上，共有3个交点. 10.(链接教材P79练习T2)已知直线l:x－y＋6＝0与椭圆C:＋y2＝1. (1)判断l与C的位置关系; (2)若相离，求椭圆C上的点到直线l的距离的最大值和最小值. 解　(1)由消去y，整理得3x2＋24x＋70＝0， Δ＝242－4×3×70＝－264<0， 所以直线l与椭圆相离. (2)设与l:x－y＋6＝0的平行直线l':x－y＋m＝0(m≠6) 由消去y， 整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 令Δ＝16m2－24(m2－1)＝0， 可得m＝－或m＝， 所以直线x－y±＝0与椭圆C均相切，结合图形(图略)，椭圆上的点到直线l的距离的最大值为，最小值为. 二、综合运用 11.(多选)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1:＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上.直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2＝4x相切，则(　　) A.椭圆C1的方程为＋y2＝1 B.椭圆C1的方程为＝1 C.直线l的方程y＝x＋或y＝－x－ D.直线l的方程y＝－x＋或y＝x－ 答案　AC 解析　根据椭圆的左焦点为F1(－1，0)，知a2－b2＝1，又根据点P(0，1)在椭圆上，知b＝1，所以a＝，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1. 因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切，所以其斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程得＋(kx＋m)2＝1，即x2＋2kmx＋m2－1＝0，由题意可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k2m2－4(m2－1)＝0， 即m2＝2k2＋1. ① 把y＝kx＋m(k≠0)代入抛物线方程得y2－y＋m＝0， 由题意可知此方程有唯一解， 此时Δ'＝1－mk＝0，即mk＝1. ② 联立①②得解得k2＝， 所以所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－，故选AC. 12.如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若＝3，则直线AB的方程为　　　　，|AB|＝　　　　.  答案　y＝(x－1)　 解析　抛物线的焦点坐标为F(1，0)， 准线方程为x＝－1，设C(－1，m)，B(a，b)， 因为＝3， 所以(－2，m)＝3(a－1，b)＝(3a－3，3b)， 则3a－3＝－2，m＝3b，即a＝， 此时b2＝4×，得b＝－，即m＝－2，则C(－1，－2)，则AB的斜率k＝， 则直线方程为y＝(x－1)， 代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，得x1＋x2＝，即|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝. 13.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)经过点A(1，－2). (1)求抛物线的方程，并求其准线方程; (2)若直线l与OA平行，与抛物线有公共点，且直线OA与l的距离为，求直线l的方程. 解　(1)由题设可得(－2)2＝2p，p＝2， 则抛物线方程为y2＝4x，准线方程x＝－1. (2)直线OA斜率为－2， 则方程为y＝－2x. 因直线l与OA平行， 故可设直线l的方程为y＝－2x＋t. 因直线l与抛物线有公共点， 联立消y得 4x2－(4t＋4)x＋t2＝0， 此方程有解，故Δ＝(4t＋4)2－16t2≥0， 所以t≥－. 又直线l与直线OA的距离为， 故，得t＝±1. 因t≥－， 故t＝1. 所以直线l的方程为2x＋y－1＝0. 三、拓展提高 14.已知直线y＝－2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且⊥，记点P的轨迹为C. (1)求曲线C的方程. (2)设直线l与x轴交于点A，且(≠0).试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论. 解　(1)设P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(x，－2). 因为⊥，所以·＝0. 所以x2－2y＝0. 所以点P的轨迹方程为x2＝2y(x≠0). (2)直线PB与曲线C相切. 设点P的坐标为(x0，y0)，点A的坐标为(x0，0). 因为，所以＝(0，－y0). 所以点B的坐标为(0，－y0). 因为≠0，所以直线PB的斜率k＝. 因为＝2y0，所以k＝x0. 所以直线PB的方程为y＝x0x－y0. 代入x2＝2y，得x2－2x0x＋2y0＝0. 因为Δ＝4－8y0＝0，所以直线PB与曲线C相切. 学科网（北京）股份有限公司 $