3.2　第二课时　抛物线的简单几何性质的综合应用 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从抛物线定义应用到综合问题解决的梯度进阶，强化数学抽象与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线定义、焦点准线、简单几何量计算|结合黄河大桥、太阳灶等生活情境，设置选择、填空及简单应用题，巩固概念理解| |综合运用|直线与抛物线位置关系、焦点弦、轨迹方程|通过多选、解答题融合距离关系与余弦定理，提升综合分析能力| |拓展提高|定点问题证明|以探究性证明题培养逻辑推理与创新意识，深化数学思维|

第二课时　抛物线的简单几何性质的综合应用 一、基础巩固 1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 2.过抛物线y2＝4x焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点到y轴的距离为2，则|AB|＝(　　) A.4 B.6 C.3 D.8 3.如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥.大桥主跨OA长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以O为顶点且开口向上的抛物线C的一部分，若F为抛物线C的焦点，则主塔端点B到焦点F的距离约为(　　) A.1 350米 B.758米 C.725米 D.558米 4.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点的坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且||＋||＋||＝10，则x1＋x2＝(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 5.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点(　　) A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 6.(多选)已知平面内到定点F(0，1)比它到定直线l:y＝－2的距离小1的动点的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是(　　) A.曲线C的方程为x2＝4y B.曲线C关于y轴对称 C.当点P(x，y)在曲线C上时，y≥2 D.当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d>2 7.已知抛物线C:y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝　　　　.  8.已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋－y2－＝　　　　.  9.已知抛物线C:y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则||＝　　　　.  10.某花卉博览会的主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度. 二、综合运用 11.(多选)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　　) A.＝1 B.|AF|＝6 C.|BD|＝2|BF| D.F为AD的中点 12.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C:y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点.若|FA|＝2|FB|，则k＝　　　　，cos ∠AFB＝　　　　.  13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0).观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令? 三、拓展提高 14.已知点O为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明:直线AB必过一定点. 第二课时　抛物线的简单几何性质的综合应用 一、基础巩固 1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　A 解析　由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4. 2.过抛物线y2＝4x焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点到y轴的距离为2，则|AB|＝(　　) A.4 B.6 C.3 D.8 答案　B 解析　因为y2＝4x，所以2p＝4，p＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为，依题意有＝2， 所以x1＋x2＝4，于是|AB|＝x1＋x2＋2＝6. 3.如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥.大桥主跨OA长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以O为顶点且开口向上的抛物线C的一部分，若F为抛物线C的焦点，则主塔端点B到焦点F的距离约为(　　) A.1 350米 B.758米 C.725米 D.558米 答案　C 解析　以O为原点，OA所在直线为x轴，OF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由题设易知B(500，100)，设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则5002＝2p·100，2p＝2 500，故抛物线的焦点F(0，625)，则|FB|＝＝725(米). 4.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点的坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且||＋||＋||＝10，则x1＋x2＝(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 答案　A 解析　因为抛物线方程为y2＝4x，所以＝1， 由抛物线的定义得，||＝1＋1＝2，||＝x1＋1，||＝x2＋1，因为||＋||＋||＝10，所以2＋x1＋1＋x2＋1＝10，即x1＋x2＝6.故选A. 5.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点(　　) A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 答案　B 解析　若使吸收太阳光的效果最佳，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m. 6.(多选)已知平面内到定点F(0，1)比它到定直线l:y＝－2的距离小1的动点的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是(　　) A.曲线C的方程为x2＝4y B.曲线C关于y轴对称 C.当点P(x，y)在曲线C上时，y≥2 D.当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d>2 答案　AB 解析　由题意可知，动点到定点F(0，1)与它到定直线l1:y＝－1的距离相等，由抛物线定义，知曲线C是以F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，其方程为x2＝4y，所以A，B正确;由x2＝4y知y≥0，点P到直线l的距离d≥2，所以C，D错误. 7.已知抛物线C:y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝　　　　.  答案　1 解析　∵＋x0＝x0，∴x0＝1. 8.已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋－y2－＝　　　　.  答案　6 解析　由抛物线的定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，y1＋－y2－＝y1－y2＋2y1－2y2＝3(y1－y2)＝3×2＝6. 9.已知抛物线C:y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则||＝　　　　.  答案　3 解析　过点Q作QQ'⊥l，垂足为Q'，如图. ∵＝4， ∴|PQ|∶|PF|＝3∶4， 又焦点F到准线l的距离为4，∴|QF|＝|QQ'|＝3. 10.某花卉博览会的主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度. 解　如图所示，建立平面直角坐标系，由题意得A(－6，－6)，B(6，－6)， 设该抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 代入A点，得36＝－2p·(－6)， 解得p＝3， 故该抛物线方程为x2＝－6y， 令x＝4，y＝－，∴E， ∴|EF|＝6－2－， 故所搭建舞台的最大高度为米. 二、综合运用 11.(多选)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　　) A.＝1 B.|AF|＝6 C.|BD|＝2|BF| D.F为AD的中点 答案　BCD 解析　如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1， 直线l的斜率为， 则∠xFA＝60°，则∠FDA1＝30°. 设BD＝x，则|BB1|＝，|AA1|＝4＋， 所以|BF|＝|BB1|＝， |AF|＝|AA1|＝4＋， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝4＋x＝8，解得x＝4，所以|BF|＝2，|AF|＝6，故B正确; ≠1，故A不正确; |BD|＝4＝2|BF|，故C正确; |DF|＝|BD|＋|BF|＝4＋2＝6＝|AF|，故D正确.故选BCD. 12.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C:y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点.若|FA|＝2|FB|，则k＝　　　　，cos ∠AFB＝　　　　.  答案　　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 所以x1x2＝4， ① 因为|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|， 所以x1＝2x2＋2. ② 由①②得x1＝4，x2＝1， 所以A(4，4)，B(1，2)， 将B(1，2)代入y＝k(x＋2)，得k＝. 由两点间的距离公式得|AB|＝， 又|FA|＝2|FB|＝6，由余弦定理得， cos ∠AFB＝. 13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0).观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令? 解　(1)设曲线方程为y＝ax2＋， 由题意可知，0＝64a＋， 所以a＝－. 所以曲线方程为y＝－x2＋. (2)设变轨点为C(x，y)， 联立 得4y2－7y－36＝0. 所以y＝4或y＝－(不合题意，舍去). 由y＝4得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去). 所以C点的坐标为(6，4)， 此时|AC|＝2，|BC|＝4. 故当观测点A，B测得AC，BC距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令. 三、拓展提高 14.已知点O为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明:直线AB必过一定点. 证明　设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x， 由 即点A的坐标为， 同样由 解得点B的坐标为(2k2，－2k). 故AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)， 化简并整理，得y＝x－2. 不论实数k取任何不等于0的实数， 当x＝2时，恒有y＝0. 故直线过定点P(2，0). 学科网（北京）股份有限公司 $