2.2.2 双曲线的简单几何性质(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 以双曲线几何性质为核心，通过基础巩固与综合运用分层训练，系统提炼标准方程转化、a,b,c关系应用等方法，构建从概念到性质再到应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|标准方程转化、离心率公式、渐近线方程、顶点距离计算|从双曲线标准方程（概念）到a,b,c关系（原理），再到实轴长、离心率等基本量计算（应用）| |综合运用|4题|坐标法建模、黄金双曲线性质证明、焦点三角形面积关系、向量数量积范围|结合实际情境（篮球、建筑物）深化几何性质应用，通过逻辑推理（离心率范围推导）提升综合解题能力|

2.2　双曲线的简单几何性质 1.双曲线2x2－y2=8的实轴长是（　　） A．2　 B．2 C．4　 D．4 2.已知双曲线－=1（b＞0）的离心率是2，则b=（　　） A．12　 B．2 C．　 D． 3.双曲线x2－y2=1的顶点到其渐近线的距离为（　　） A．　 B． C．1　 D． 4.从某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB=BC=CD，则该双曲线的离心率为（　　） A．　 B． C．　 D． 5.〔多选〕双曲线C1：－y2=1与C2：－y2=λ（λ＞0且λ≠1）的（　　） A．顶点相同　 B．焦点相同 C．离心率相同　 D．渐近线相同 6.〔多选〕若双曲线C的一个焦点为F（5，0），P是双曲线上一点，且渐近线方程为y=±x，则下列结论正确的是（　　） A．C的方程为－=1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 7.能说明“若mn≠0，则方程＋=1表示的曲线为焦点在y轴上且一条渐近线方程为y=2x的双曲线”的一组m，n的值是　　　　． 8.双曲线－=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a=　　　　． 9.已知双曲线－=1（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足|OM|=c，则双曲线的离心率e的取值范围是　　　　． 10.设双曲线－=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 11.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线－=1（a＞0，b＞0）的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（　　） A．－x2=1　 B．y2－=1 C．－=1　 D．－=1 12.〔多选〕我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　） A．曲线－=1是黄金双曲线 B．如果双曲线－=1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，那么b2=ac（c为半焦距） C．如果双曲线－=1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，那么右焦点F到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 D．过双曲线C：－=1（a＞0，b＞0）的右焦点F且垂直于实轴的直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，若∠MON=90°，则双曲线C是黄金双曲线 13.已知双曲线C：－=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2，B（0，b）的直线与双曲线右支在第一象限相交于点P，若S△BF1F2=3S△PF1F2，则双曲线C的渐近线方程为　　　　． 14.若点O和点F（－2，0）分别为双曲线－y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求•的取值范围． 2.2　双曲线的简单几何性质 1.C　双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C. 2.B　由题意可得e＝＝＝＝＝2，解得b＝2.故选B. 3.B　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为（1，0），（－1，0），故顶点到渐近线的距离为. 4.C　以O为原点，AD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），不妨设｜AB｜＝｜BO｜＝｜OC｜＝｜CD｜＝1，则该双曲线过点（，），且a＝1，所以－＝1，解得b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝，所以双曲线的离心率为e＝＝，故选C. 5.CD　由C2：－y2＝λ⇒－＝1，因为λ＞0且λ≠1，所以4≠4λ，顶点不同，A错；对C1：－y2＝1，＝4，＝1，＝5，e1＝，渐近线为y＝±x，对C2：－＝1，＝4λ，＝λ，＝5λ，e2＝，渐近线为y＝±x，由此判断B错，C、D正确.故选C、D. 6.AD　由双曲线C的一个焦点为F（5，0），且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；｜PF｜的最小值为c－a＝2，D正确. 7.（答案不唯一）　解析：设焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线的方程为－x2＝λ（λ＞0），即－＝1（λ＞0），所以（λ＞0），不妨令λ＝1，所以 8.2　解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝｜OB｜＝2.又∠AOB＝，∴＝tan ＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 9.（1，］　解析：因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以｜PF1｜＝2｜OM｜＝c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a，所以c≥c－a＞0，解得1＜≤，因此双曲线的离心率e的取值范围是（1，］. 10.解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2，所以16a2（c2－a2）＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝. 又b＞a，所以e2＝＝1＋＞2，则e＝2. 于是双曲线的离心率为2. 11.D　双曲线的下焦点坐标为（0，－c），渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，则下焦点到渐近线的距离为＝＝b＝3，又离心率e＝＝＝2，所以a2＝3，所以该双曲线的标准方程为－＝1.故选D. 12.BD　对于A，－＝1，a2＝3，b2＝＋1，所以c2＝＋4，所以e2＝＝≠（）2＝，故A错误；对于B，若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，则e＝＝，由c2＝a2＋b2，所以b2＝（a）2－a2＝a2＝ac，故B正确；对于C，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则F（c，0）到该渐近线的距离d＝＝b，而由B可知，b2＝ac≠c2，故C错误；对于D，当x＝c时，y2＝（－1）b2＝，令M（c，），N（c，－），则＝（c，），＝（c，－），所以·＝c2－＝0，则b2＝ac，由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确.故选B、D. 13.y＝±x　解析：设P（x0，y0），x0＞0，y0＞0，因为B（0，b），F2（c，0），所以直线BF2的方程为＋＝1，又＝3，＝×2c·b＝bc，＝×2c·y0＝cy0，则bc＝3cy0，解得y0＝，将y0＝代入＋＝1中，得x0＝，则P（，），所以－＝1，又a2＋b2＝c2，解得＝，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 14.解：因为 F（－2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3， 所以双曲线方程为－y2＝1. 设点P（x0，y0）（x0≥），则－＝1（x0≥），可得＝－1（x0≥），易知＝（x0＋2，y0），＝（x0，y0）， 所以·＝x0（x0＋2）＋＝x0（x0＋2）＋－1＝＋2x0－1， 此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0＝－. 因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2， 故·的取值范围是[3＋2，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $