2.3.2 抛物线的简单几何性质-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

I0A1=√21.故答案为√21 压轴挑战 B解析：如图①，作PQ⊥AD于Q,因为AB⊥平面ADD,A1,PQ∥AB,则 PQ⊥平面ADD1A1,过点Q作QR⊥AD1于R,因为AD∥AD1,故 PQ⊥A1D1,而QR∩PQ=Q,QR,PQC平面PQR,故A1D1⊥平面PQR,所 以PR长即为P到直线A1D1的距离.因为1PRI2-1PQ12=IRQ12=9, 1PR12-IPMI2=9,所以1PMI=1PQ1,所以点P的轨迹是以AD为准线， 点M为焦点的抛物线 D). -D M ① ③ 如图②建立平面直角坐标系，则M(1,0),B(2,0),则点P的轨迹方程 是4a(0≤y≤2).设P(任小，所以1P81=√(2) 4 N16 +4,所以当y2=8时，1PB1取得最大值2√2.故选B. 3.2抛物线的简单几何性质 白题基础过关 1.B解析：由抛物线关于x轴对称易知，点(m,-n)一定在该抛物线 上故选B. 2.BD解析：对于A,抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为 y=-1,故A错误：对于BC,由抛物线定义可得|MF1=5=yo+1,所以 yo=4,x品=16，解得x0=±4，故B正确，C错误；对于D,10M1= /16+16=42,故D正确.故选BD. 3.B解析：设等边三角形的边长为α，则由等边三角形和抛物线的对 称性可得等边三角形一个顶点的坐标为(。，号)，代入抛物线方 ,2a,解得a=8w5故选B 4.y2=-x(答案不唯一)解析：由题意，抛物线与直线x=1无公共 点，∴.抛物线开口向左，满足的抛物线的标准方程可以为y2=-x,故 答案为y=-(答案不唯一) 5.B解析：由题意得p=6,1AB1=x1+x2+p=6+6=12.故选B. 6.B解析：设B(x1,m1),C(x2,m2),所以|AB1=5-x1,1BC1=x1+ 2+2,1CD1=5-为2，所以该光线经过的路程为12.故选B. 7.CD解析：因为抛物线以y轴为对称轴，故设抛物线方程为x2=2py 或2=-2y(p>0),由题意得通径长为号+号+p=2p=8,故p=4,所 以抛物线方程为x2=8y或x2=-8y.故选CD. 8.A解析：如图，已知抛物线焦点F到准线的距离为2，即p=2,则抛 物线方程为y2=4x,F(1,0),设直线1与抛物线交点A(x1,y1), B(,),则kr=ke,即-0-h-0 21 ,1217,经1 4)·(y1y2)=0.因为y1≠y2,所以y1y2=-4,则x12=1.又由抛物线 可知1AP1=1AM1=X+1,1BF1=1B'1=+1,所以AF+BF 1 1 x1+x2+2 +1灯名+1，故选A (第8题) （第9题) 参考答案 9.60°解析：如图，设直线m为抛物线的准线，过点A,B分别作AM BN垂直于m,作BE⊥AM.因为IAFI=IAMI,IBFI=IBNI,且IAFI= 31BFI,所以IAMI=31BNI,则IABI=4IBFI,IAEI=IAMI-IMEI= 2BF1,所以c0s∠BAE=),则LBME=60,即直线1的倾斜角为 60°.故答案为60° 重难聚焦 10.D解析：设点P的坐标为(x,y),则x2=-5y,且1PA12=x2+ *》49=(）}'的又因为0所以当y=时 IPA2有最小值，所以IPA1的最小值为 2故选D. 11.A解析：如图，由抛物线C的方程为x2=4y, Y个 得焦点坐标为F(0,1),设过点F的直线与抛 物线的交点坐标为M(x1,1),N(x2,2), 则r=6p,即-1h- 00即4 0 1 X2 则(x1x2+4)(x1-x2)=0.因为x1≠x2,所以x1x2=-4,则y1y2=1.又 由抛物线可知1MF1=1+号=+1,1NF1=2+号=%+1，所以 1 1 1 1 =ty2+2 IMFI INFI y1+1 y2+1y12+y1+y2+1 1,则21MF1+21NF1= (2Iwr1+子r）·（Ma)=2+2w+2M+2≥ 1 2IMFI INFI 1 21MFI INFI 5 2INFI2IMFI2 故流心 -+2= 黑题 应用提优 1.B解析：由抛物线的定义，可知1MP1=6+号，又210F1=p, 1MF1=210F,则0+号=p,即=号，由点M(,4)在C上，得 16=2pxo,结合p>0,解得p=4.所以C的方程为y2=8x.故选B. 2.A解析：如图，设AB中点为M,过A,M,B作 准线的垂线，垂足分别为A',M',B′，又该直线 不经过抛物线的焦点，则MW'=2(AM'+ B)=（(aP+BP)>A,所以以线段A 为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是 B 相离.故选A. 3.BC解析：设M(,),因为1MF1=10,所以名+号=10因为 MM1F,所以减·=0，即(1-3)·（号-3)=0，所以 分-30-3)=0，所以-3(1-3)=0，解得1=6，所以36 4 2p,=2p(0-号)，解得p=2或p=18,所以抛物线C的方程为y= 4x或y2=36x.故选BC. 4.A解析：因为抛物线C1:y2=2x(p>0)过点(1,2)，则4=2p×1, 则2p=4,即抛物线的标准方程为y2=4x,焦点坐标F(1,0),准线方 程为x=-1;圆C2:(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0)，半径1，故直线PQ 过抛物线的焦点，设P(,),Q(g,),则r=,即0 1 y2-0 ,即1三2则(y2+4)y12)=0.因为≠2，所以 -1-1 4 4 1y2=-4,则x1x2=1,再由抛物线可知1PF1=x1+1,1QF1=x2+1,则 1 1 11x1+x2+2 IPFIOF1+1t,++11,所以1PMI+41QNI= 1PF1-1+4(1QF1-1)=1PF1+41QF1-5=(IPFI+41QFI)（PF 黑白题033 0）ss16195s,/0 1 PP四x410F-5=4,当且仅 当8-9期1P1=20r时等号成立，即p+410w的是 小值为4.故选A 5.ABD解析：如图，由抛物线的定义，对于A,得IAC1=|AF1,IBD1= IB,义1NI=HC12BD,则1wNI=1218-子h1,A正 2 2 确；对于B,由II=宁hB1,1M1=MB1,得1N1=1AM1,所以 ∠MAN=∠MNA.而∠MNA=∠CAN,所以∠MAN=∠CAN,所以 △ANC≌△AWF,可知∠ACN=∠AFN=90°，所以FN⊥AB,B正确；对 于D,在Rt△MNF中，IQNI=IQFI,可知∠QWF=∠QFN,所以 ∠QFM=∠QMF,D正确；对于C,由∠QFM=∠QMF,可知IQFI= IQMI,所以IQNI=IQMI,即Q是MW的中点，C不正确.故选ABD y P (第5题) (第7题) 6.2解析：当a>2时，A∩B表示抛物线的一部分；当a<2时，A∩B为 空集，因此当且仅当a=2时，集合A∩B表示一个点(2,0)，有且只有 一个元素.故答案为2. 7.号解折：如图，低驱意知P(分0），设P,(,A()。 P(),因为F为△PP,R的重心，所以+.1 3 ，即+ 子由范物线的定义可知1户川=宁，所以边P,A的中线 长为141：号P,=受(+)，同壁可得边PA和边PR 的中线长分别为1PBI=21PPI=子(+子)，1乃，C1 P,川=子(+)所以△PPA三边中线长之和为 3 9 8[0] 解析：：抛物线y2=16x的焦点为(4,0)，准线为x= -4,.圆心C2即为抛物线的焦点F,设P(x,y）),.1PF1-1≤|PQ1≤ 1PF1+1,.x+4-1≤1PQ1≤x+4+1.:IPM1=1PQ1,.x+3≤1PM1≤ x+5,x+3≤√(x-8)2+y2≤x+5,x2+6x+9≤x2-16x+64+16x≤x2+ 10+25沿≤≤2枚答案为[0名] 39 9.()解：设M(0,o),有后=2，而点F(号，0），则1MF1= √（号）=√6因为n≥0，所以1MF1m分， 而圆M面积最小值为T,即IMF1n=1,则有p=2,所以p的值是2. (2)证明：由(1)知，抛物线C:y2=4x,则有M(1,2),而F(1,0),即 有MF⊥x轴，因过M作抛物线的两条弦MA,MB,有∠AMF=∠BMF, 则直线MA,MB倾斜角互补，即直线MA,MB斜率和为0，设点A _Y1-2 (）,B(日a)(i≠，直线Aw的斜率6 4 +2因此有4 +2直线BM的斜率kw=4 4 +22+20,整理得+ 4 选择性必修第一册·BS 2=-4,所以直线AB的斜率kB= y1-y24 -=-1是定值 片21+ 44 四方法总结 求定值问题常见方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量 无关；或直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到 定值. §3 阶段综合 黑题 阶段强化 1 1.C解析：由=y得准线方程为y=4过A,B作准线的垂线，垂足 分别为A1,B,设AB的中点为P,过P作直线y=-1的垂线，垂足为 Q,交准线于P,,如图所示 根据抛物线的定义可知，IAA11+1BB,I=1AB1=4,所以IPP11= 之(，1+1Ba,)=2,所以1P01=m+-,即AB的中点到 直线)+1-0的距离是故选C y+1=0 0 (第1题) (第2题) 2.A解析：因为抛物线C:y2=4x,所以F(1,0),准线方程为x=-1,过 P点向准线作垂线交准线于点M,如图所示. 由抛物线的定义可得IPFI=IPMI,因为线段PF的垂直平分线与直 线x=-1交于点Q,所以1QFI=1QP1.又因为IQP1≥1PM1,所以 IQFI≥1PF1,当且仗当QP⊥y轴时等号成立.故选A. 3.B解析：设M(x,yo)(x0≥0)，则y6=2xo,所以1AM1= √(x0-a)2+y6=√(0-a)2+2p=√6-(2a-2p)0+a2.因 为14M≥a恒成立，所以x号-(2a-2p)x+a2≥a2恒成立，所以x号 (2a-2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时，0≥ 2a-2p恒成立，所以2a-2p≤0，则a≤p.又a>0,所以0<a≤p,即实数 a的取值范围为(0，p]故选B. 4.C解析：如图，设A(0,b)(b>0),P(x,y)是抛物线上任一点，显然 y≥0，抛物线内以A为圆心的圆能过原点，则1P41的最小值是 10A,1PA1=√x2+(y-b)2=√4y+(y-b)2=Vy2+(4-2b)y+b= √(y+2-b)2+4b-4,所以y=b-2时，1PA1取得最小值.若b-2>0,则 P点不可能是原点，即抛物线的顶点，不合题意；若b-2≤0，即0< b≤2，则y=0时，1 PAlmin=Ibl,此时圆A半径为b,最大值是2.故 选C. (第4题) (第5题) 5.B解析：如图，设P(x0,o),则=2x,圆C的圆心C(4,0),半径 为T,由PA,PB切圆C于点A,B,得PC⊥AB,PA⊥AC,PB⊥BC, 则1AB|·|PC1=2S四边形PACB=4S△PMG=21PA1·|AC1=27· √PC12-2=2r√(x0-4)2+哈-2=2r√场-60+16-2= 2r√/(0-3)2+7-7≥2√7-7，当且仅当0=3时，等号成立，可 知1AB1·1PC1的最小值为2r√7-r2=43,整理可得4-7r2+12=0, 解得2=4或2=3，且r∈N“,所以2=4，即r=2.故选B. 黑白题0343.2 抛物线的简单几何性质 白题 基础过关 限时：30min 题组1抛物线的几何性质及其应用 7.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径（过 1.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上，则下列点中 焦，点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线 定在该抛物线上的是 ( 的顶点在坐标原点，则其方程为 () A.（-m,-n） B.(m,-n) A.y2=8x B.y2=-8x C.(-m,n) D.（-n,-m) C.x2=8y D.x2=-8y 2.(多选)(2025·广西南宁高二期中)已知抛物 8.（2025·江苏淮安高二期中)已知抛物线C: 线C:x2=4y的焦点为F,0为坐标原点，点 y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过 M(xo,yo)在抛物线C上，若MF1=5,则( 焦点F且斜率为2的直线1与抛物线交于A, A.F的坐标为(1,0)B.xo=±4 B两点，则 C.yo=3 D.10M1=4√2 LAFI IBFI 的值为 ( 3.（2025·吉林长春高二期中)若正三角形的 A.1 B.2 个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x C.3 D.4 上，则该正三角形的边长为 9.(2024·辽宁鞍山一中高二期中)已知抛物线 A.43 B.83 C.123 D.163 C的方程为y2=2px(p>0),若倾斜角为锐角的 4.请写出一条与直线x=1无公共点的抛物线的 直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B 标准方程： (写出一个即可) 两点，且IAFI=3IBFI,则直线1的倾斜 题组2抛物线的焦点弦问题 角为 5.过抛物线C:y2=12x的焦点作直线1交抛物 重难聚焦 线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，若x1+x2= 题组3 抛物线的最值问题 6,则IAB1= 10.(2025·江西上饶高二月考)已知点P在抛 A.16 B.12 C.10 D.8 物线x2=-5y上，且A(0,-3),则1PA1的最 6.根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点 小值为 发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行， A. 1 B.I 一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后 4 会经过抛物线的焦点.如图所示，从A(5,m1) C 35 D.3 沿直线y=m1发出的光线经抛物线y2=4x两 4 2 次反射后，回到光源接收器D(5,m2),则该光 11.(2025·湖南长沙雅 线经过的路程为 三月考)已知抛物线 的焦点为F,过点F 于M,N两点，则21MF1+。 I1vrIy取小且为 B.4 C. D.3 A.11 B.12 C.13 D.14 选择性必修第一册：BS黑白题052 黑题 应用提优 限时：40min 1.(2025·河南南阳高二期中)已知0为坐标 原点，F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点， A.IMNI-21ABI 点M(xo,4)在C上，且1MF1=210F1,则C的 B.FN⊥AB 方程为 ( C.Q是线段MN的一个三等分点 A.y2=4x B.y2=8x D.∠QFM=∠QMF C.y2=2x D.y2=x 6.已知集合A={(x,y)1y2=x-2},B={(x,y)1 2.(2025·福建泉州高二月考)已知直线1与抛 x≤a},若集合A∩B中有且只有一个元素，则 物线y2=2px交于A,B两点，且该直线不经过 a= 抛物线的焦点，那么以线段AB为直径的圆与 7.（2025·黑龙江哈尔滨高二期中)已知抛物线 该抛物线的准线的位置关系是 ( C:y2=2x的焦点为F,若C上存在三点P1,P2, A.相离 B.相交 P3,且F为△PP2P的重心，则△P1P2P3三边 C.相切 D.与直线1的位置有关 中线长之和为 3.(多选)设抛物线C:Y2=2x(p>0)的焦点为 8.已知抛物线C1:y2=16x,圆C2:(x-4)2+y2=1, F,点M在抛物线C上，点N(0,3),若IMFI= 点M的坐标为(8,0)，P,Q分别为C1,C2上的 10,且NM⊥NF,则抛物线C的方程可以为 动点，且满足IPMI=IPQ1,则点P的横坐标的 取值范围是 A.y2=3x B.y2=4x 9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,以抛 C.y2=36x D.y2=18x 物线上一动点M为圆心的圆经过点F,若圆M 4.(2025·浙江温州高二期中)已知抛物线C1: 的面积最小值为π y2=2px过点(1,2)，圆C2:x2+y2-2x=0.如图， (1)求p的值； 过圆心C2的直线1与抛物线C,和圆C2分别 (2)当点M的横坐标为1且位于第一象限时， 交于P,Q,M,N,则IPM1+4IQNI的最小值为 过M作抛物线的两条弦MA,MB,且满足 ∠AMF=∠BMF.证明：直线AB的斜率为 定值 A.4 B.5 C.6 D.9 5.(多选)(2025·江苏盐城高二期中)已知抛物 线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物 线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过 点A,B,M作抛物线的准线L的垂线AC, BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物 线于点Q,连接QF,NF,NB,NA,则下列说 法正确的是 进阶突破拔高练P04 第二章黑白题053