2.2 双曲线的简单几何性质 同步练-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过“基础巩固-综合运用-拓展提高”三层设计，以双曲线几何性质为核心，从概念理解到综合应用再到创新探究，梯度递进培养抽象能力、推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|双曲线标准方程、实轴虚轴、离心率、渐近线|多选与填空结合，聚焦单一概念辨析（如离心率计算），夯实基础| |综合运用|椭圆与双曲线综合、直线与双曲线位置关系|解答题为主，需跨知识点推理（如正六边形顶点问题），提升逻辑思维| |拓展提高|几何图形与双曲线方程综合|结合方向向量与线段长度，需构建数学模型，发展创新意识|

2.2　双曲线的简单几何性质 一、基础巩固 1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则 (　　) A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为 2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A.C的方程为＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　) A.－ B.－4 C.4 D. 4.双曲线＝1(a>0，b>0)过点()，离心率为2，则双曲线的方程为(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.＝1 D.＝1 5.(多选)设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e可以为(　　) A. B. C. D.2 6.(多选)已知P是双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为原点，若||＝8，则下列结论正确的是(　　) A.双曲线的离心率为 B.双曲线的渐近线为y＝±x C.△PF1F2的面积为36 D.点P到该双曲线左焦点的距离是18 7.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点C(0，2b)，若线段AC的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为　　　　.  8. 记双曲线的离心率为，若直线与有公共点，则离心率的取值范围为 ________ （请用区间表示）.  9.已知P(x，y)为双曲线C:＝1右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，则|PA|的最小值为　　　　.  10.在①m>0，且C的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为3＋，②C的焦距为6，③C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题. 问题:已知双曲线C:＝1，　　　　，求C的方程.  二、综合运用 11.(多选)已知椭圆M:＝1(a>b>0)，双曲线N:＝1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则下列结论正确的是(　　) A.椭圆的离心率e1＝－1 B.双曲线的离心率e2＝2 C.椭圆上不存在点A使得·<0 D.双曲线上存在点B使得·<0 12.已知双曲线＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为　　　　.  13.已知双曲线C:3x2－y2＝3. (1)求双曲线的两条渐近线的夹角的大小; (2)设定点A(a，0)(a>0)，求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值. 三、拓展提高 14.如图，已知双曲线Γ:＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右两顶点分别是A1，A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P. (1)若d＝(2，)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ的正切值; (2)若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Γ的方程. 2.2　双曲线的简单几何性质 一、基础巩固 1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则 (　　) A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为 答案　ABD 解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为. 2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A.C的方程为＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 答案　AD 解析　双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点在x轴上， 所以，因为c＝5，又c2＝a2＋b2，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为＝1，A正确; 离心率为e＝，B不正确; 焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确; |PF|的最小值为c－a＝2，D正确. 3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　) A.－ B.－4 C.4 D. 答案　A 解析　由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，b2＝－.又虚轴长是实轴长的2倍， ∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选A. 4.双曲线＝1(a>0，b>0)过点()，离心率为2，则双曲线的方程为(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　双曲线离心率e＝＝2，故c＝2a，b＝a，将点()代入双曲线方程，得＝1，故a＝1，b＝，故双曲线方程为x2－＝1.故选B. 5.(多选)设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e可以为(　　) A. B. C. D.2 答案　AC 解析　当焦点在x轴上时，， 所以e2＝1＋＝1＋，所以e＝; 当焦点在y轴上时，， 所以e2＝1＋＝1＋4＝5， 所以e＝.故选AC. 6.(多选)已知P是双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为原点，若||＝8，则下列结论正确的是(　　) A.双曲线的离心率为 B.双曲线的渐近线为y＝±x C.△PF1F2的面积为36 D.点P到该双曲线左焦点的距离是18 答案　BD 解析　因为双曲线＝1，a＝5，b＝4，c＝，所以e＝，A错误; 渐近线方程为y＝±x，B正确; 如图，取线段PF1的中点M，则||＝8＝2||， 所以|PF2|＝8，由|PF1|－|PF2|＝10，得|PF1|＝18，D正确; ∵cos ∠F1PF2＝ ＝， ∴sin ∠F1PF2＝， ∴△PF1F2的面积S＝|PF1|·|PF2|· sin ∠F1PF2＝×18×8×＝32，故C错误，故选BD. 7.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点C(0，2b)，若线段AC的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为　　　　.  答案　 解析　因为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B， 所以A(－a，0)，B(a，0)，|AB|＝2a， 又C(0，2b)，线段AC的垂直平分线过点B， 所以|BC|＝|BA|， 即＝2a，得b2＝a2， 所以c2＝a2＋b2＝a2＋a2＝a2， 因此e＝. 8. 记双曲线的离心率为，若直线与有公共点，则离心率的取值范围为 ________ （请用区间表示）.   答案　 解析　因为双曲线的渐近线为， 又直线与有公共点，所以， 则离心率，即离心率的取值范围为. 故答案为： 9.已知P(x，y)为双曲线C:＝1右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，则|PA|的最小值为　　　　.  答案　 解析　由＝1得y2＝3x2－3.|PA|＝，x≥2，所以当x＝时，|PA|最小＝. 10.在①m>0，且C的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为3＋，②C的焦距为6，③C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题. 问题:已知双曲线C:＝1，　　　　，求C的方程.  解　选择条件①. 因为m>0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以a＝，c＝. 因为C的左支上的点到右焦点的距离的最小值为a＋c，所以＝(1＋)＝3＋，解得m＝3，故C的方程为＝1. 选择条件②. 因为C的焦距为6，所以c＝3. 若m>0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m， 所以c＝＝3，解得m＝3， 则C的方程为＝1; 若m<0，则a2＝－2m，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝－3m，所以c＝＝3，解得m＝－3，则C的方程为＝1. 综上，C的方程为＝1或＝1. 选择条件③. 因为C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝4，即a＝2. 若m>0，则a2＝m，所以a＝＝2，解得m＝4，则C的方程为＝1;若m<0，则a2＝ －2m，所以a＝＝2，解得m＝－2，则C的方程为＝1. 综上，C的方程为＝1或＝1. 二、综合运用 11.(多选)已知椭圆M:＝1(a>b>0)，双曲线N:＝1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则下列结论正确的是(　　) A.椭圆的离心率e1＝－1 B.双曲线的离心率e2＝2 C.椭圆上不存在点A使得·<0 D.双曲线上存在点B使得·<0 答案　ABD 解析　如图，设|F1F2|＝2c，由正六边形的性质可得点I， 由点I在椭圆上，可得＝1，结合a2－b2＝c2可得＝2－3(负值舍去)， ∴椭圆的离心率e1＝－1，A正确; ∴2a2－(2c)2＝[2－4(－1)2]a2<0， ∴当点A为椭圆的上顶点时，sin ∠F1AO＝>，∴∠F1AO>，∴cos ∠F1AF2<0，此时·<0，C错误; 又点I在双曲线N:＝1(m>0，n>0)的渐近线上， ∴·c，即， ∴双曲线的离心率e2＝＝2，B正确. 易知当点B为双曲线的顶点时，·<0，D正确.故选ABD. 12.已知双曲线＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由题意可知直线l的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0.点(1，0)到直线l的距离d1＝，点(－1，0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝， 由s≥c，得≥c， 即5a≥2c2，则5≥2e2， 即4e4－25e2＋25≤0， 得≤e2≤5. 因为e>1，所以e的取值范围是. 13.已知双曲线C:3x2－y2＝3. (1)求双曲线的两条渐近线的夹角的大小; (2)设定点A(a，0)(a>0)，求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值. 解　(1)双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，则它们的夹角是. (2)设P(x，y)为双曲线上任意一点， 则3x2－y2＝3， d＝|AP|＝ ＝x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 当≤1，即0<a≤4时dmin＝|a－1|; 当>1，即a>4时，dmin＝. 三、拓展提高 14.如图，已知双曲线Γ:＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右两顶点分别是A1，A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P. (1)若d＝(2，)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ的正切值; (2)若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Γ的方程. 解　(1)双曲线＝1的渐近线方程为 y＝±x，即bx±ay＝0， 又渐近线方向向量为d＝(2，). 所以<1， 从而tan ，tan θ＝＝4. (2)设P(xP，yP)，则由条件知， xP＝(|PB|－|PA|)＋|PA| ＝(|PB|＋|PA|)＝3， yP＝(|PC|＋|PD|)－|PC| ＝(|PD|－|PC|)＝1， 即P(3，1)，所以A(2，1)，C(3，3)， 代入双曲线方程得 解得 故双曲线Γ的方程为＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $