2.1.2 第二课时 椭圆的简单几何性质（二）同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质，通过基础巩固、中档综合、拔高拓展三层设计，实现从定义应用到高考真题及实际情境的知识进阶，培养数学推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|椭圆定义、标准方程、离心率计算|直接应用公式，如第1题求椭圆方程、第7题求离心率| |中档|离心率与几何性质综合、直线与椭圆位置关系|结合图形推理，如第6题焦点三角形面积判断、第9题直线与圆位置关系求离心率范围| |拔高|高考真题、实际情境应用、探究性问题|融入嫦娥五号轨道（第5题）、鱼群洄游建模（第15题），培养应用意识|

第二课时　椭圆的简单几何性质（二） 1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（　　） A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 2.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　） A.　　 　B.　　 　C.　 　　D. 3.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝2，则椭圆的离心率是（　　） A. B. C. D. 4.（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　　） A. B. C. D. 5.（多选）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆（如图所示）.已知它的近月点A（离月球表面最近的点）距离月球表面m千米，远月点B（离月球表面最远的点）距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的有（　　） A.a＝ B.a＝＋R C.c＝ D.c＝＋R 6.（多选）已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（　　） A.｜PF1｜＋｜PF2｜＝2 B.离心率e＝ C.△PF1F2面积的最大值为 D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切 7.已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为　　　　. 8.若椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为　　　　. 9.过椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是　　　　. 10.椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右顶点是A（a，0），其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围. 11.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若｜PF1｜＋｜QF2｜≥b，则C的离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 12.设A，B为椭圆＋＝1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，右焦点为F（c，0）.若｜AB｜＝2c，S△ABF≥c2，则该椭圆的离心率e的取值范围为（　　） A.［，］ B.［，1） C.（0，） D.（0，］ 13.（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是（　　） A.卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c] B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 14.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　. 15.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C的标准方程； （2）某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P处的位置（即点P的坐标）？ 16.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P（0，）到椭圆上一点的最远距离是，求椭圆的标准方程. 第二课时 椭圆的简单几何性质（二） 1.D　右焦点为F（1，0）说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1. 2.B　法一　不妨设直线l过椭圆的上顶点（0，b）和左焦点（－c，0），b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝或e＝－（舍去）. 法二　不妨设直线l过椭圆的上顶点（0，b）和左焦点（－c，0），b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝. 法三　如图，由题意得在椭圆中，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b，BF＝a. 在Rt△OFB中，｜OF｜×｜OB｜＝｜BF｜×｜OD｜，即c×b＝a×b，解得＝，所以椭圆的离心率e＝. 3.D　如图，∵＝2，∴｜OA｜＝2｜OF｜，∴a＝2c，∴e＝. 4.A　法一　由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A. 法二　代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A. 5.BC　由题意可知2a＝2R＋m＋n，所以a＝＋R，因为a－c＝R＋m，a＋c＝R＋n，所以c＝，故选B、C. 6.AD　对于A选项，由椭圆的定义可知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，所以A选项正确.对于B选项，依题意知a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B选项不正确.对于C选项，｜F1F2｜＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，为·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误.对于D选项，以线段F1F2为直径的圆的圆心为（0，0），半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为A、D. 7.　解析：不妨设a＞0，因为椭圆C的一个焦点为（2，0），所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. 8.＋＝1　解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，所以解得所以椭圆的标准方程为＋＝1. 9.　解析：由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为（c，0），根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤. 10.解：设P（x，y），由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是＋y2＝. ∴y2＝ax－x2. ① 又P点在椭圆上，故＋＝1. ② 把①代入②化简，得（a2－b2）x2－a3x＋a2b2＝0， 即（x－a）[（a2－b2）x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0， ∴x＝，又0＜x＜a， ∴0＜＜a，即2b2＜a2. 由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，∴e＞. 又∵0＜e＜1，∴＜e＜1. 故所求椭圆离心率的取值范围为（，1）. 11.C　由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆另一交点为A（图略），由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，易知｜QF2｜＝｜F1A｜，又｜PF1｜＋｜F1A｜＝｜PA｜，由过椭圆焦点的弦通径最短，所以当PA垂直x轴时，｜PA｜最短，所以b≤｜PA｜min＝，所以ab≤2b2，解得0＜e≤.故选C. 12.A　∵A，B关于原点对称，∴｜OA｜＝｜OB｜＝｜AB｜＝c.若b＞c，则椭圆与圆x2＋y2＝c2没有交点，∴b≤c，∴e＝＝≥＝.设A（x1，y1），B（－x1，－y1），不妨设x1＞0，y1＞0，则整理得a2c2－c2＝a2b2，解得＝a2－.∴＝c2－a2＋＝（－1）·b2，得y1＝，∴S△ABF＝·y1·｜OF｜＋·｜－y1｜·｜OF｜＝y1·c≥c2，即≥c，∴a2－c2≥c2，解得e＝≤.综上所述，可得≤e≤. 13.ABD　根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星在左半椭圆弧运行时，由面积守恒规律知时间更长，B正确；＝＝－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确.故选A、B、D. 14.（－1，1）　解析：在△PF1F2中，由正弦定理，得＝.∵＝，∴＝，即｜PF1｜＝·｜PF2｜.由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则·｜PF2｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝.由椭圆的几何性质知｜PF2｜＜a＋c，则＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.又e∈（0，1），∴e∈（－1，1）. 15.解：（1）由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆， 又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2， 所以曲线C的方程是＋＝1. （2）由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3， 所以设此时鱼群距A，B两岛的距离比为5∶3， 即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里. 设P（x，y），B（2，0），由｜PB｜＝3， 所以＝3， 所以 解得或 所以点P的坐标为（2，3）或（2，－3）. 16.解：依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），则e2＝＝＝1－＝，所以＝，即a＝2b. 设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2＝x2＋（y－）2＝a2（1－）＋y2－3y＋＝－3（y＋）2＋4b2＋3（－b≤y≤b）. 若－b＞－，即b＜，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，于是（）2＝（b＋）2，解得b＝±－，与0＜b＜矛盾. 若－b≤－，即b≥，则当y＝－时，d2有最大值，从而d有最大值，即4b2＋3＝（）2，解得b2＝1，所以a2＝4. 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $