2.1.2 第一课时 椭圆的简单几何性质（一）同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦椭圆几何性质，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆标准方程、长轴短轴、离心率等单一知识点|以选择填空为主（题1-9），直接考查定义与运算，如题1求长轴端点坐标| |中档应用|离心率、焦点三角形、实际情境应用等综合知识|结合实际情境（题11鸟巢模型）和几何性质综合应用（题10求标准方程）| |提升拓展|轨迹问题、最值问题、向量与椭圆综合等复杂探究|设置轨迹问题（题15）和向量数量积（题16），深化逻辑推理与数学建模|

1.2　椭圆的简单几何性质 第一课时　椭圆的简单几何性质（一） 1.椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为（　　） A.（－1，0），（1，0）　　 　 B.（－6，0），（6，0） C.（－，0），（，0） D.（0，－），（0，） 2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为（　　） A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.x2＋＝1 3.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的面积为2π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4.已知椭圆的标准方程为＋＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心的距离｜OP｜的取值范围为（　　） A.[6，10] B.[6，8] C.[8，10] D.[16，20] 5.（多选）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则（　　） A.a2＝25 B.b2＝9 C.a2＝21 D.b2＝16 6.（多选）已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 7.已知椭圆C：＋＝1（a＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（0，6），椭圆C短轴的一个端点恰为△AF1F2的重心，则椭圆C的长轴长为　　　　. 8.已知椭圆＋＝1的离心率为，则m＝　　　　. 9.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴长的最小值为　　　　. 10.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程. 11.手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为（　　） A.30 cm　　　　　　 B.20 cm C.10 cm D.10 cm 12.已知椭圆＋＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若｜BF2｜＋｜AF2｜的最大值为5，则b的值为（　　） A.1 B. C. D. 13.（多选）已知椭圆Ω：＋＝1（a＞b＞0），则下列结论正确的是（　　） A.若a＝2b，则Ω的离心率为 B.若Ω的离心率为，则＝ C.若F1，F2为Ω的两个焦点，直线l过点F1且与Ω交于点A，B，则△ABF2的周长为4a D.若A1，A2分别为Ω的左、右顶点，P为Ω上异于点A1，A2的任意一点，则PA1，PA2的斜率之积为－ 14.如图，把椭圆＋＝1的长轴（线段AB）分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7这七个点，F是椭圆的左焦点，则｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P7F｜＝　　　　. 15.已知圆M：（x＋3）2＋y2＝64的圆心为M，定点N（3，0），动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若点Q是曲线C上一点，且∠QMN＝60°，求△QMN的面积. 16.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点.若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，求·的取值范围. 第一课时　椭圆的简单几何性质（一） 1.D　∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上，∴长轴端点坐标为（0，－），（0，）. 2.A　依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1. 3.A　由题意得 解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1.故选A. 4.C　设点P（x0，y0），则｜OP｜＝.由椭圆的范围，知｜x0｜≤a＝10，｜y0｜≤b＝8.∵点P在椭圆上，∴＋＝1，∴＝64－，∴｜OP｜＝.∵0≤≤100，∴64≤＋64≤100，∴8≤｜OP｜≤10. 5.AB　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9. 6.AC　由椭圆的定义可得2a＝12，则a＝6.因为椭圆G的离心率为＝，则c＝3，所以b＝＝3.若椭圆G的焦点在x轴上，则椭圆G的方程为＋＝1；若椭圆G的焦点在y轴上，则椭圆G的方程为＋＝1.故选A、C. 7.2　解析：由椭圆方程＋＝1（a＞1），得c＝＝1，则F1（－1，0），F2（1，0）.由题可知，点（0，b）（b为椭圆的短半轴长）是△AF1F2的重心，∴b＝6×＝2，则2a＝2＝2. 8.3或　解析：由于题中没有明确指出焦点在哪个坐标轴上，所以要分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种情况讨论：当焦点在x轴上时，0＜m＜4，＝，解得m＝3；当焦点在y轴上时，m＞4，＝，解得m＝.综上，m＝3或m＝. 9.2　解析：由题意知，当椭圆上的点为短轴的一个端点时，三角形的面积最大，故·b·2c＝1，即bc＝1，c＝，∴a2＝b2＋c2＝b2＋≥2，当且仅当b＝1时取等号，∴a≥，∴2a≥2. 10.解：设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.由△ABF2的周长为｜AB｜＋｜BF2｜＋｜AF2｜＝｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.故椭圆C的标准方程为＋＝1. 11.B　由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，可得焦距长为20 cm，故离心率为e＝，所以小椭圆离心率为e＝，小椭圆的短轴长为10 cm，即2b＝10 cm，由e＝，可得a＝10 cm，所以小椭圆的长轴长为20 cm，故选B. 12.C　因为0＜b＜2，所以椭圆的焦点在x轴上，可知a＝2.因为过F1的直线交椭圆于A，B两点，所以由椭圆的定义知｜BF2｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜AF1｜＝4a＝8，所以｜BF2｜＋｜AF2｜＝8－（｜BF1｜＋｜AF1｜）＝8－｜AB｜，当AB⊥x轴时，｜AB｜最小，｜BF2｜＋｜AF2｜的值最大，此时｜AB｜为椭圆的通径，由通径公式可得｜AB｜＝＝b2，所以8－b2＝5，解得b＝. 13.BCD　选项A，离心率e＝＝＝＝，若a＝2b，则e＝＝＝，所以A不正确.选项B，离心率e＝＝，则＝，所以B正确.选项C，根据椭圆的定义可知C正确.选项D，设P（x0，y0），则＋＝1，由椭圆方程可知A1（－a，0），A2（a，0），所以·＝·＝＝＝－，所以D正确.故选B、C、D. 14.35　解析：由椭圆的对称性及定义，知｜P1F｜＋｜P7F｜＝2a，｜P2F｜＋｜P6F｜＝2a，｜P3F｜＋｜P5F｜＝2a，｜P4F｜＝a，所以｜P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P4F｜＋｜P5F｜＋｜P6F｜＋｜P7F｜＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35. 15.解：（1）由已知｜PN｜＝｜PA｜，故｜PM｜＋｜PN｜＝｜PM｜＋｜PA｜＝｜AM｜＝8＞｜MN｜， 所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆， 设点P的轨迹方程为＋＝1（a＞b＞0），则2a＝8，c＝3，b2＝7， 所以点P的轨迹方程为＋＝1. （2）不妨设｜MQ｜＝m，由椭圆定义可得｜QN｜＝2a－m＝8－m，又｜MN｜＝2c＝6， 则在△MNQ中，由余弦定理可得：cos∠QMN＝＝， 解得m＝. 故△QMN的面积S＝×sin∠QMN×m×2c＝c×m＝××3＝. 16.解：因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2. 因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝， 则椭圆的方程为＋＝1， 所以点A的坐标为（－2，0），点F的坐标为（－1，0）. 设P（x，y），－2≤x≤2，则·＝（x＋2，y）·（x＋1，y）＝x2＋3x＋2＋y2. 由椭圆的方程得y2＝3－x2，所以·＝x2＋3x－x2＋5＝（x＋6）2－4. 因为x∈[－2，2]，所以·∈[0，12]. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $