2.1.1 椭圆及其标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦椭圆定义与标准方程，通过分级训练构建“概念辨析-方程求解-综合应用”的完整方法体系，渗透数形结合与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|10题（含多选、一题多解）|定义法求距离和、待定系数法求方程、分类讨论焦点位置|从椭圆定义（第3题）到标准方程（第1-2题），再到a,b,c关系（第7题），形成概念-性质-应用链条| |B级综合运用|4题（含动态问题）|焦点三角形面积公式、均值不等式求最值、数形结合（第11题）|拓展至焦点三角形（第12、14题）、轨迹与最值（第13题），体现从静态计算到动态分析的思维进阶|

1.1　椭圆及其标准方程 1.椭圆＋=1上任意一点到两焦点的距离之和为（　　） A．2　　 B．8　　 C．2　 D．4 2.与椭圆9x2＋4y2=36有相同焦点，且满足2b=4的椭圆方程是（　　） A．＋=1　 B．＋=1 C．＋=1　 D．＋=1 3.已知在平面内，F1，F2是两个定点，M是一个动点，则“|MF1|＋|MF2|为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知椭圆C：＋=1的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＋|BF1|=8，则|AB|=（　　） A.4　　　　 B.6　　 C.8　　 　　 D.10 5.〔多选〕下列叙述正确的是（　　） A．椭圆x2＋=1的焦点坐标为（0，1），（0，－1） B．椭圆＋=1与＋=1的焦点相同 C．椭圆＋=1上点P到两焦点的距离之和为6 D．方程2 025x2＋2 026y2=1表示焦点在y轴上的椭圆 6.〔多选〕（2026•周口月考）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的方程可能为（　　） A．＋=1　 B．＋=1 C．＋=1　 D．＋=1 7.已知椭圆的标准方程为＋=1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值为　　　　． 8.已知椭圆＋=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是　　　　． 9.已知F1，F2是椭圆C：＋=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为　　　　． 10.〔一题多解〕求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）过点Q（2，1），且与椭圆＋=1有公共的焦点； （2）焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q． 11.设P是椭圆＋=1上一点，M，N分别是圆A：（x＋4）2＋y2=1和圆B：（x－4）2＋y2=1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为（　　） A．9，12　 B．8，11 C．8，12　 D．10，12 12.〔多选〕已知F1，F2分别是椭圆C：＋=1的左、右焦点，P为椭圆C上异于椭圆C与x轴两个交点的动点，则下列结论正确的是（　　） A．△PF1F2的周长为10 B．△PF1F2面积的最大值为2 C．当∠F1PF2=60°时，△PF1F2的面积为 D．存在点P使得•=0 13.已知椭圆C：＋=1（m＞4）的右焦点为F，点A（－2，2）为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋|PF|=8，则实数m的取值范围是　　　　． 14.已知椭圆E：＋=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2=2θ． （1）求△F1PF2的面积S； （2）研究∠F1PF2的变化规律． 1.1　椭圆及其标准方程 1.B　因为a2＝16，所以椭圆＋＝1上任意一点到两焦点的距离之和为2a＝8.故选B. 2.B　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1. 3.B　若｜MF1｜＋｜MF2｜＞｜F1F2｜，则点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，若｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜F1F2｜，则点M的轨迹是线段F1F2，所以“｜MF1｜＋｜MF2｜为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的必要不充分条件，故选B. 4.A　由题意，得a＝3，所以｜AF1｜＋｜AF2｜＝｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝6，所以｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＝12，又｜AF1｜＋｜BF1｜＝8，所以｜AB｜＝4. 5.ABC　因为椭圆方程x2＋＝1中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，椭圆的焦点在y轴上，得焦点坐标为（0，1），（0，－1），选项A正确.椭圆＋＝1与＋＝1的焦点相同，都是（1，0），（－1，0），选项B正确.由椭圆方程＋＝1，得a2＝9，b2＝3，所以椭圆上的点P到两焦点的距离之和为2a＝6，选项C正确.方程2 025x2＋2 026y2＝1，即＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆，选项D错误. 6.ACD　因为△F1MF2是等边三角形，所以｜MF1｜＝｜MF2｜，所以点M在坐标轴上，∠MF1F2＝60°，所以＝sin 60°，则＝，椭圆C的焦点可以在x轴或y轴上，则＋＝1，＋＝1，＋＝1满足条件.故选A、C、D. 7.4或　解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或. 8.4　解析：设椭圆的另一个焦点为E，则｜MF｜＋｜ME｜＝10，又∵｜MF｜＝2，∴｜ME｜＝8，又ON为△MEF的中位线，∴｜ON｜＝｜ME｜＝4. 9.9　解析：由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜MF1｜·｜MF2｜≤（）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时，等号成立. 10.解：（1）法一 设所求椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 由＋＝1，得c2＝5，即a2－b2＝5. ① 又点Q（2，1）在所求椭圆上，所以＋＝1. ② 由①②得a2＝＋5，b2＝， 所以所求椭圆的标准方程是＋＝1. 法二 设所求椭圆的方程为＋＝1（λ＞－4）. 因为点Q（2，1）在所求椭圆上， 所以＋＝1，解得λ＝－4＋， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. （2）法一 当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 依题意有得 由a＞b＞0知，不符合题意，故舍去. 当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 依题意有得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）. 依题意有解得 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，其标准方程为＋＝1. 11.C　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点.由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10，连接PA，PB，分别与圆相交于M，N两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12.即最小值和最大值分别为8，12. 12.AB　由椭圆C：＋＝1的方程可得a＝3，b＝，c＝2，△PF1F2的周长为2a＋2c＝10，故A正确；当点P位于y轴与椭圆C的交点时，△PF1F2的面积最大，最大值为×2c×b＝2，故B正确；当∠F1PF2＝60°时，由余弦定理可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（2a）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，可得｜PF1｜·｜PF2｜＝，所以△PF1F2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜sin 60°＝，故C错误；设P（x0，y0），则＋＝1，由·＝0可得＋＝4，从而可得＝－，＝，不成立，故D错误，故选A、B. 13.（6＋2，25]　解析：由题知椭圆C的右焦点为F（2，0），设左焦点为F'（－2，0），由椭圆的定义可得2＝｜PF｜＋｜PF'｜，即｜PF'｜＝2－｜PF｜，可得｜PA｜－｜PF'｜＝8－2.由｜｜PA｜－｜PF'｜｜≤｜AF'｜＝2，可得－2≤8－2≤2，解得3≤≤5，所以9≤m≤25.又因为点A在椭圆C内，所以＋＜1，所以8m－16＜m（m－4），解得m＜6－2或m＞6＋2.综上，实数m的取值范围是（6＋2，25]. 14.解：（1）如图所示，由椭圆的定义，可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a. 由余弦定理，可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2·｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－2·｜PF1｜·｜PF2｜－2·｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝4a2－2｜PF1｜·｜PF2｜·（1＋cos 2θ）＝4c2， ∴｜PF1｜·｜PF2｜＝. ∴S＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2·tan θ. （2）∵2θ为△PF1F2的内角，∴2θ∈（0，π），即θ∈（0，）. 令点P由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高在逐渐增大，故S逐渐变大，从而tan θ逐渐变大，由θ∈（0，）可知，θ也逐渐变大.由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $