2.1.1 椭圆及其标准方程+2.1.2 椭圆的简单几何性质 练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

椭圆及其标准方程、椭圆的简单几何性质 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.设椭圆，的离心率分别为，，若，则( ) A. B. C. D. 3.若椭圆的焦距为，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 4.椭圆有一个光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆的一个焦点发出，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 5.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 6.已知，是椭圆的左、右焦点，点，点B在椭圆C上，且，D，E分别是，的中点，且的周长为4，则椭圆C的方程为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是( ) A.C的短轴长 B.点在椭圆上 C.C的离心率为 D. 8.已知M是椭圆上一点，，是左､右焦点，下列选项中正确的是( ) A.椭圆的焦距为2 B.椭圆的离心率 C. D.的面积的最大值是2 9.已知椭圆的左、右焦点分别是，，P是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是( ) A. B. C. D. 10.如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，，则( ) A.椭圆的长轴长等于4 B.椭圆的标准方程可以是 C.椭圆的离心率为 D.椭圆上存在点P到焦点的距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则________. 12.已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程是_________. 13.已知椭圆的上顶点和右顶点在直线上，则椭圆的离心率为_____________. 14.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________________. 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1），，焦点在y轴上； （2）经过点，两点. 1.答案：D参考答案 解析：因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且， 所以实数k的取值范围是.故选：D. 2.答案：A 解析：由题意，，，因为，所以，解得：.故选：A. 3.答案：A 解析：由得，又，所以，，得，所以．故选：A． 4.答案：B 解析：由已知可得，，，所以，.①若光线从椭圆的一个焦点沿x轴方向发出，到长轴端点(较近的)反射后再次回到该焦点，则所经过的路程为；②若光线从椭圆的一个焦点沿x轴方向发出，到长轴端点(较远的)反射后再次回到该焦点，则所经过的路程为；③若光线从椭圆的一个焦点沿非x轴方向发出，则所经过的路程为.故选B. 5.答案：B 解析：圆C的圆心为，半径为，圆D的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点，设动圆的圆心为，半径为，则，，，因此点P的轨迹方程是以C，D为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点），所以该动圆的圆心的轨迹方程为.故选：B 6.答案：B 解析：如图，作轴于点G，则，所以，故，，所以，代入椭圆方程整理得：， 因为D，E分别是，的中点，所以，，， 故，又由椭圆定义，， 所以，故，代入①可求得，所以，故椭圆C的方程为.故选：B 7.答案：AB 解析：因为焦点坐标为，所以，解得或，所以椭圆C的方程为；短轴长为；代入椭圆方程可得点在椭圆上；离心率；焦半径.故选：AB. 8.答案：BCD 解析：对于A，因为椭圆，所以知，，，所以椭圆的焦距为，故A错误； 对于B，椭圆的离心率为，故B正确； 对于C，由椭圆的定义可得，故C正确； 对于D，设，由椭圆的几何性质可知，所以，即的面积的最大值是2，故D正确. 故选：BCD. 9.答案：BCD 解析：由椭圆的定义，可得.因为，所以，.当点P与，不共线时，在中，，即，所以；当点P与，共线时，分析知，，所以，即，所以.综上所述，椭圆的离心率的取值范围是.故选BCD. 10.答案：BD 解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 对于A，由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，A错误； 对于B，当以椭圆短轴所在直线为x轴，长轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，B正确； 对于C，椭圆短半轴长，则半焦距，离心率，C错误； 对于D，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为，而，即椭圆上存在点P到焦点的距离为，D正确.故选：BD 11.答案：4 解析：因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，所以，解得.故答案为：4. 12.答案：或 解析：由题设，，则，，而，所以椭圆的标准方程是或.故答案为：或 13.答案： 解析：令，则；令，则，则椭圆上顶点为，右顶点为，则椭圆C的方程为，则，，.因此离心率为.故答案为：. 14.答案： 解析：方程表示焦点在y轴上的椭圆，该椭圆的标准方程为，满足，解之得故答案为：. 15.答案：（1） （2） 解析：（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上端点，由得椭圆的焦点在x轴上， 所以，，所以椭圆的标准方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $