1.2.3 直线与圆的位置关系(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 以距离公式与几何性质为核心，系统覆盖直线与圆位置关系的判定、切线、弦长等问题，通过分层训练构建“概念-原理-应用”逻辑链，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|距离法判定位置关系、切线方程求法、最短弦性质、恒过定点转化|从位置关系概念出发，通过圆心到直线距离与半径比较原理，应用于基础判定、切线和弦长计算| |综合运用|4题|半圆交点分析、向量与圆结合、反射对称模型|拓展至含参数直线与曲线交点、动态几何问题，强化代数运算与几何直观融合，体现模型观念|

2.3　直线与圆的位置关系 1.直线3x＋4y＋12=0与圆（x－1）2＋（y＋1）2=9的位置关系是（　　） A．过圆心　 B．相切 C．相离　 D．相交但不过圆心 2.圆心为（3，0）且与直线x＋y=0相切的圆的方程为（　　） A．（x－）2＋y2=1　 B．（x－3）2＋y2=3 C．（x－）2＋y2=3　 D．（x－3）2＋y2=9 3.（2026•大庆期中）在圆x2＋y2－2x－2y－1=0的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（　　） A．1　 B．2 C．2　 D．4 4.（2026•中山期中）已知直线l：kx－y－k＋3=0，若无论k取何值，直线l与圆（x－5）2＋（y－6）2=r2（r＞0）恒有公共点，则r的取值范围是（　　） A．［3，5］　 B．（3，＋∞） C．［4，6）　 D．［5，＋∞） 5.〔多选〕已知直线l：ax＋by－r2=0与圆C：x2＋y2=r2（r＞0），点A（a，b），则下列说法正确的是（　　） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 6.〔多选〕与圆C：x2＋y2－4x＋2=0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为（　　） A．x＋y=0　 B．x－y=0 C．x=0　 D．x＋y=4 7.若直线3x－4y＋5=0与圆x2＋y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r=　　　　． 8.由直线y=x＋1上任一点向圆（x－3）2＋y2=1引切线，则该切线长的最小值为　　　　． 9.一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为　　　　． 10.已知圆C：（x－2）2＋（y－3）2=4外有一点P（4，－1），过点P作直线l． （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 11.（2026•泉州期中）若直线l：kx－y－2=0与曲线C：=x－1至少有一个公共点，则实数k的取值范围是（　　） A．［，2］ B．［，4］ C．［－2，－］⋃（，2］　 D．［，＋∞） 12.〔多选〕已知点P（2，4），若过点Q（4，0）的直线l交圆C：（x－6）2＋y2=9于A，B两点，R是圆C上一动点，则（　　） A．|AB|的最小值为2 B．P到l的距离的最大值为2 C．•的最小值为12－2 D．|PR|的最大值为4＋3 13.在圆x2＋y2－2x－6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　　　　． 14.已知圆C：x2＋（y－1）2=r2（r为半径），圆C被x轴截得的弦长为2，直线l：y=x＋m（m∈R），O为坐标原点． （1）求圆的方程； （2）若m=－2，过直线l上一点P作圆C的切线PQ，Q为切点，求切线长|PQ|最小时，点P的坐标； （3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON，求实数m的值． 2.3　直线与圆的位置关系 1.D　圆心（1，－1）到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，因为0＜d＜r，所以相交但不过圆心. 2.B　由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝3，故选B. 3.B　由x2＋y2－2x－2y－1＝0， 得圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝3，如图，M为圆x2＋y2－2x－2y－1＝0的圆心，A，B为直线AB与圆的交点，图中AB⊥MO，｜MB｜＝，｜MO｜＝，易知AB为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，所以｜AB｜＝2＝2＝2.故选B. 4.D　由直线l：kx－y－k＋3＝0的方程得（x－1）k＋（3－y）＝0，由解得即直线l恒过定点A（1，3），∴当点A（1，3）在圆上或圆内时，直线l与圆（x－5）2＋（y－6）2＝r2（r＞0）恒有公共点，∴（1－5）2＋（3－6）2≤r2，即r2≥25，又r＞0，∴r≥5，即r的取值范围为[5，＋∞）.故选D. 5.ABD　圆心C（0，0）到直线l的距离d＝，若点A（a，b）在圆C上， 则a2＋b2＝r2，所以d＝＝r（r＞0），则直线l与圆C相切，故A正确；若点A（a，b）在圆C内， 则a2＋b2＜r2，所以d＝＞r（r＞0），则直线l与圆C相离，故B正确；若点A（a，b）在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以d＝＜r（r＞0），则直线l与圆C相交， 故C错误；若点A（a，b）在直线l上， 则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝r（r＞0），直线l与圆C相切， 故D正确.故选A、B、D. 6.ABD　圆C的方程可化为（x－2）2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：（1）直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；（2）直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1（a≠0），即x＋y－a＝0（a≠0），则＝，解得a＝4（a＝0舍去）. 7.2　解析：如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又｜OD｜＝＝1，∴r＝2｜OD｜＝2. 8.　解析：圆心C（3，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝2.所以切线长的最小值为l＝＝. 9.－或－　解析：由已知得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线所在直线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，即24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－或k＝－. 10.解：（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与圆C相切； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，若直线l与圆C相切，则＝2，解得k＝－， 此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. （2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为y＋1＝－（x－4），即x＋y－3＝0，圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2×＝2. 11.B　直线l：kx－y－2＝0恒过定点（0，－2），由方程＝x－1，两边平方得（x－1）2＋（y－1）2＝1（x≥1），所以曲线C表示以点（1，1）为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆，包括点（1，2），（1，0），如图所示，当直线l经过点（1，2）时，l与曲线C有一个交点，此时k＝4；当l与半圆相切时，由＝1，解得k＝，由图可知，当≤k≤4时，l与曲线C至少有一个公共点，故选B. 12.ABD　如图所示，当直线l与x轴垂直时，｜AB｜有最小值，且最小值为2，所以A正确.当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为｜PQ｜＝2，所以B正确.设R（6＋3cos θ，3sin θ），则·＝6cos θ－12sin θ＋24，所以·＝6cos（θ＋φ）＋24，其中tan φ＝－，所以·的最小值为24－6，所以C错误.当P，C，R三点共线时，｜PR｜最大，且最大值为｜PC｜＋r＝4＋3，所以D正确. 13.10　解析：圆的方程化为标准形式为（x－1）2＋（y－3）2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦｜AC｜＝2，最短弦BD恰以E（0，1）为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为（1，3）.故｜EF｜＝，∴｜BD｜＝2＝2，∴S四边形ABCD＝｜AC｜·｜BD｜＝10. 14.解：（1）由题意可知，圆心C（0，1）在y轴上，OC⊥x轴， 设x轴与圆C交于A，B两点，｜OA｜＝，｜OC｜＝1， r＝｜AC｜＝＝， 所以圆C的方程为x2＋（y－1）2＝3. （2）当m＝－2时，直线l的方程为y＝x－2， 因为△PQC为直角三角形， 所以｜PQ｜2＝｜PC｜2－｜QC｜2＝｜PC｜2－3. 当｜PC｜最小时，切线长｜PQ｜最小， 显然当PC⊥l时，｜PC｜最小， 因为kPC＝－1，C（0，1），所以直线PC：y－1＝－1×（x－0），即y＝－x＋1. 由 解得 即P（，－）. （3）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可得x1≠0，x2≠0， 联立得2x2＋2（m－1）x＋m2－2m－2＝0. 所以Δ＝4（m－1）2－8（m2－2m－2）＞0.x1＋x2＝－（m－1），x1x2＝. 因为OM⊥ON，所以·＝x1x2＋y1y2＝0， 所以x1x2＋（x1＋m）（x2＋m）＝2x1x2＋m（x1＋x2）＋m2＝0. 即2×－m（m－1）＋m2＝0. 整理得m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2. 经检验满足Δ＞0，所以m＝－1或m＝2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $