1.2.3　直线与圆的位置关系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的位置关系，通过基础巩固、中档综合、拔高探究三层设计，实现从单一知识点到多维度应用的递进，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|位置关系判断、圆方程求解等单一知识点|以选择填空为主，如第1题直接应用距离公式判断位置，夯实概念理解| |中档层|切线方程、弦长计算与反射问题等综合应用|融合几何性质与代数运算，如第9题结合反射对称与相切条件，提升推理能力| |拔高层|条件选择、存在性证明等开放探究|设置多条件选择与综合证明，如第15题三选一条件构建圆方程，发展创新与应用意识|

2.3　直线与圆的位置关系 1.直线3x＋4y＋12＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝9的位置关系是（　　） A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 2.圆心为（3，0）且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为（　　） A.（x－）2＋y2＝1 B.（x－3）2＋y2＝3 C.（x－）2＋y2＝3 D.（x－3）2＋y2＝9 3.若直线x－y＝2被圆（x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为（　　） A.0或4 B.0或3 C.－2或6 D.－1或 4.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于A，B两点，若弦AB的中点为C（－2，3），则直线l的方程为（　　） A.x－y＋5＝0 B.x＋y－1＝0 C.x－y－5＝0 D.x＋y－3＝0 5.（多选）直线l： x－1＝m（y－1）和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系可能是（　　） A.相离 B.相切或相离 C.相交 D.相切 6.（多选）与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为（　　） A.x＋y＝0 B.x－y＝0 C.x＝0 D.x＋y＝4 7.设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则｜AB｜＝　　　　. 8.过点P（－1，6）且与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝4相切的直线方程是　　　　　　　. 9.一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为　　　　. 10.设圆上的点A（2，3）关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程. 11.已知直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－2＝0与圆E：x2－ax＋y2－2y＋b＝0分别交于点A，B与C，D，若四边形ABCD是正方形，则a＋b＝（　　） A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4 12.已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），则“a＝”是“OA⊥OB”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.（多选）已知点P（2，4），若过点Q（4，0）的直线l交圆C：（x－6）2＋y2＝9于A，B两点，R是圆C上一动点，则（　　） A.｜AB｜的最小值为2 B.P到l的距离的最大值为2 C.·的最小值为12－2 D.｜PR｜的最大值为4＋3 14.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　　　　. 15.在①圆经过C（3，4）；②圆心在直线x＋y－2＝0上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解. 已知圆M经过点A（－1，2），B（6，3）且　　　　. （1）求圆M的方程； （2）已知直线l经过点（－2，2），直线l与圆M相交所得的弦长为8，求直线l的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C： x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点. （1）求四边形PACB面积的最小值； （2）直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由. 2.3　直线与圆的位置关系 1.D　圆心（1，－1）到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，因为0＜d＜r，所以相交但不过圆心. 2.B　由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝3，故选B. 3.A　由圆的方程，可知圆心坐标为（a，0），半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝ ＝.又d＝，所以｜a－2｜＝2，解得a＝4或a＝0.故选A. 4.A　由圆的一般方程可得圆心为M（－1，2）.由圆的性质易知M（－1，2）与C（－2，3）的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0. 5.CD　l过定点A（1，1），又点A在圆上，当l斜率存在时，l与圆一定相交，又直线x＝1过点A且为圆的切线，∴l与圆相交或相切，故选C、D. 6.ABD　圆C的方程可化为（x－2）2＋y2＝2.可分为两种情况讨论： （1）直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1； （2）直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1（a≠0），即x＋y－a＝0（a≠0），则＝，解得a＝4（a＝0舍去）. 7.2　解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C（0，0），则｜AB｜＝2. 8.3x－4y＋27＝0或x＝－1　 解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k（x＋1），则d＝＝2，解得k＝，此时，直线方程为3x－4y＋27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意. 9.－或－　解析：由已知得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线所在直线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，即24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－或k＝－. 10.解：设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）， 则圆心为（a，b），半径长为r. ∵点A（2，3）关于直线x＋2y＝0的对称点A'仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x＋2y＝0上. ∴a＋2b＝0， ① 且（2－a）2＋（3－b）2＝r2. ② 又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝， ∴r2－d2＝r2－（a－b＋1）2＝（）2.③ 解由方程①②③组成的方程组， 得或 ∴所求圆的方程为（x－6）2＋（y＋3）2＝52或（x－14）2＋（y＋7）2＝244. 11.A　将x2－ax＋y2－2y＋b＝0化为标准方程为＋（y－1）2＝＋1－b知圆心E，半径r＝.由题意知圆心E到l1，l2距离相等，即＝，所以a＝2.又l1，l2两直线间的距离d＝＝2，且四边形ABCD是正方形，所以2r＝d＝4，即r＝2，所以r2＝＋1－b＝2－b＝4，解得b＝－2，所以a＋b＝0.故选A. 12.A　设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），联立消去x，得5y2－4ay＋a2－2＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝.由Δ＝16a2－20（a2－2）＞0，解得a2＜10.∵OA⊥OB⇔x1x2＋y1y2＝0，∴（2y1－a）（2y2－a）＋y1y2＝0，即5y1y2－2a（y1＋y2）＋a2＝0，∴5×－2a×＋a2＝0，解得a＝±.故“a＝”是“OA⊥OB”的充分不必要条件.故选A. 13.ABD　如图所示，当直线l与x轴垂直时，｜AB｜有最小值，且最小值为2，所以A正确.当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为｜PQ｜＝2，所以B正确.设R（6＋3cos θ，3sin θ），则·＝6cos θ－12sin θ＋24，所以·＝6cos（θ＋φ）＋24，其中tan φ＝－，所以·的最小值为24－6，所以C错误.当P，C，R三点共线时，｜PR｜最大，且最大值为｜PC｜＋r＝4＋3，所以D正确. 14.10　解析：圆的方程化为标准形式为（x－1）2＋（y－3）2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦｜AC｜＝2，最短弦BD恰以E（0，1）为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为（1，3）.故｜EF｜＝，∴｜BD｜＝2＝2，∴S四边形ABCD＝｜AC｜·｜BD｜＝10. 15.解：（1）选条件①， 设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 依题意有 解得D＝－6，E＝2，F＝－15， 所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0， 即圆M的标准方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝25. 选条件②， 设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为圆M经过点A（－1，2），B（6，3），且圆心在直线x＋y－2＝0上， 依题意有 解得D＝－6，E＝2，F＝－15， 所以圆M的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝25. 选条件③， 设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由圆M经过点A（－1，2），B（6，3）， 故 又因为圆截y轴所得弦长为8， 故方程y2＋Ey＋F＝0的两个实数根y1，y2的差的绝对值为8. 所以｜y1－y2｜＝＝＝8，即E2－4F＝64， 解方程组 得D＝－6，E＝2，F＝－15或D＝－，E＝－，F＝， 由于圆心M的坐标为整数， 故圆M的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝25. （2）设圆心到直线的距离为d， 则弦长L＝2＝8⇒＝4⇒d＝3， 当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在， 设其方程为y－2＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋2＝0， d＝＝3，解得k＝0或k＝－， 所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0. 16.解：（1）如图，连接PC，由点P在直线3x＋4y＋8＝0上. 可设P点坐标为（x，－2－x）. 因为圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1， 所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××｜AP｜×｜AC｜＝｜AP｜. 因为｜AP｜2＝｜PC｜2－｜CA｜2＝｜PC｜2－1， 所以当｜PC｜2最小时，｜AP｜最小. 因为｜PC｜2＝（1－x）2＋＝＋9. 所以当x＝－时，｜PC＝9. 所以｜AP｜min＝＝2. 即四边形PACB面积的最小值为2. （2）由（1）知圆心C到直线的最小距离为3，若∠APB＝60°，则需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P不存在. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $