2.2　圆的一般方程 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从圆的一般方程概念辨析到综合应用再到创新拓展的知识进阶，适配新授课教学，培养数学抽象、逻辑推理与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆的方程形式判断、圆心半径计算、对称问题|选择填空为主，如方程化为标准方程（题1）、圆心在直线上（题2），强化概念理解与基本运算| |综合运用|对称性质、面积最值、参数范围|多选与解答结合，如圆关于直线对称求参数（题11）、面积最小化（题13），注重知识整合与逻辑推理| |拓展提高|绝对值方程与圆的面积|融入数学美情境（题14），通过分类讨论求曲线面积，培养创新意识与数学建模|

2.2　圆的一般方程 一、基础巩固 1.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 2.若圆x2＋y2－2kx－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则k等于(　　) A. B.－ C.3 D.－3 3.已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆面积最大时，圆心坐标为(　　) A.(1，1) B.(0，1) C.(－1，0) D.(0，－1) 4.(多选)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　) A.－2 B.0 C.1 D. 5.圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为1的点共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(多选)已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法正确的是(　　) A.当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆 B.当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆 C.当a＝0时，表示圆的半径为2 D.当a＝8时，表示圆的圆心到y轴的距离等于半径 7.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是　　　　.  8.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为　　　　.  9.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，给出下列叙述：①圆心在直线y＝－x上；②圆心在x轴上；③过原点；④半径为a.其中叙述正确的是　　　　.(填序号)  10.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心坐标和半径； (2)求证：不论m为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆. 二、综合运用 11.(多选)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　) A.圆心是(－1，2) B.半径是2 C.a＋b＝1 D.ab的取值范围是 12.点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　　　　.  13.已知圆C的方程为x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋m－2＝0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径. (1)圆的面积最小； (2)圆心距离坐标原点最近. 三、拓展提高 14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C： x2＋y2＝|x|＋|y|是一条形状优美的曲线，求曲线C围成的图形的面积. 2.2　圆的一般方程 一、基础巩固 1.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 答案　A 解析　方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)，故选A. 2.若圆x2＋y2－2kx－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则k等于(　　) A. B.－ C.3 D.－3 答案　B 解析　圆心为(k，0)在直线2x－y＋3＝0上，所以2k－0＋3＝0，所以k＝－，故选B. 3.已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆面积最大时，圆心坐标为(　　) A.(1，1) B.(0，1) C.(－1，0) D.(0，－1) 答案　D 解析　∵r＝， ∴当S最大即r最大时，k＝0，此时圆心坐标为(0，－1). 4.(多选)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　) A.－2 B.0 C.1 D. 答案　ABD 解析　根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，结合选项则a的值可以为－2，0，. 5.圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为1的点共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　C 解析　圆的方程x2＋y2＋2x－2y－2＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2，圆心(－1，1)到直线l：x＋y＋＝0的距离d＝＝1，所以d＝r，所以圆上到直线l的距离为1的点共有3个.故选C. 6.(多选)已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法正确的是(　　) A.当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆 B.当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆 C.当a＝0时，表示圆的半径为2 D.当a＝8时，表示圆的圆心到y轴的距离等于半径 答案　BCD 解析　方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0可化为(x－2)2＋(y＋4)2＝20－2a.若方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0表示圆，则20－2a>0，即a<10，故A错误； 当a<10时，方程表示圆心为(2，－4)的圆，故B正确； 当a＝0时，方程表示的圆的半径为＝2，故C正确； 当a＝8时，方程表示的圆的半径为＝2，等于圆心(2，－4)到y轴的距离，故D正确. 7.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(－∞，－13) 解析　因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m<0，解得m<－13，又由4＋9－4m>0，得m<，故m<－13. 8.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为　　　　.  答案　x2＋y2－8x＋6y＝0 解析　设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 解得 故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0. 9.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，给出下列叙述：①圆心在直线y＝－x上；②圆心在x轴上；③过原点；④半径为a.其中叙述正确的是　　　　.(填序号)  答案　①③ 解析　将圆的方程化为标准方程为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2，可知a≠0，圆心为(－a，a)，半径为|a|，故①③正确. 10.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心坐标和半径； (2)求证：不论m为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆. (1)解　圆的方程x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0， 可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9， ∴圆心坐标为(1－m，2m)，半径为3. (2)证明　设圆心为(x，y)， 由(1)可知，则2x＋y＝2， ∴不论m为何实数，该圆的圆心恒在直线2x＋y－2＝0上， 由(1)可得，圆的半径为定值3， 故不论m为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆. 二、综合运用 11.(多选)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　) A.圆心是(－1，2) B.半径是2 C.a＋b＝1 D.ab的取值范围是 答案　ABC 解析　原方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，故其圆心是(－1，2)，半径是2.由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上，所以a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－≤，所以ab的取值范围是. 12.点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　　　　.  答案　9π 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为 ＝3， ∴该圆的面积为9π. 13.已知圆C的方程为x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋m－2＝0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径. (1)圆的面积最小； (2)圆心距离坐标原点最近. 解　因为(m－2)2＋(m＋1)2－4(m－2)＝2m2－6m＋13＝2>0恒成立， 所以无论m为何值，方程总表示圆，且圆心坐标为， 圆的半径r＝. (1)当圆的半径最小时，圆的面积最小. r＝≥，当且仅当m＝时，等号成立，此时面积最小. 所以当圆的面积最小时，圆心坐标为 ，半径r＝. (2)圆心到坐标原点的距离d＝≥，当且仅当m＝时，圆心到坐标原点的距离最近，此时，圆心坐标为，半径r＝. 三、拓展提高 14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C： x2＋y2＝|x|＋|y|是一条形状优美的曲线，求曲线C围成的图形的面积. 解　以－x，－y代换x，y，方程x2＋y2＝|x|＋|y|不变，故曲线C：x2＋y2＝|x|＋|y|关于原点及x轴，y轴对称，当x≥0，y≥0时， 可得x2＋y2－x－y＝0， 即， 可得此时曲线是以C为圆心，r＝为半径的半圆， 由此作出曲线C的图象，如图所示， 所以曲线C围成的图形的面积是×＋2×π×＝2＋π. 学科网（北京）股份有限公司 $