1.2.2 圆的一般方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦“圆的一般方程”，以基础巩固为核心，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，强化数学运算与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆的方程形式、点与圆位置关系|以选择填空为主（1-9题），如判断点在圆内外（第1题）、方程表示圆的条件（第3题），强化概念辨析与基本运算| |能力提升|轨迹方程、对称性质|结合多选（5、6题）与中档解答题（10题），如三角形外接圆方程求解，培养推理能力与模型观念| |综合应用|复杂轨迹与最值问题|以解答题（15、16题）为主，如含直角条件的中点轨迹（15题），提升空间观念与问题解决能力|

2.2　圆的一般方程 1.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P（3，1）在（　　） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定 2.圆的方程为（x－1）（x＋2）＋（y－2）（y＋4）＝0，则圆心坐标为（　　） A.（1，－1） B. C.（－1，2） D. 3.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（　　） A.m＜1 B.m＞1 C.m＜ D.＜m＜1 4.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q（3，0）的线段PQ的中点的轨迹方程是（　　） A.（x＋3）2＋y2＝4 B.（2x－3）2＋4y2＝1 C.（x－3）2＋y2＝1 D.（2x＋3）2＋4y2＝1 5.（多选）已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有（　　） A.关于点（2，0）对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 6.（多选）已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A（0，－5），则（　　） A.圆C的半径为2 B.点A在圆C外 C.点A与圆C上任一点距离的最大值为3 D.点A与圆C上任一点距离的最小值为 7.已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A（0，1），则点B的坐标为　　　　. 8.若坐标原点O在方程x2＋y2－x＋y＋m＝0所表示的圆的外部，则实数m的取值范围为　　　　. 9.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是　　　　. 10.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（－6，3），C（3，0），求这个三角形外接圆的一般方程. 11.已知圆C：x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C.若∠ACB＝，则实数m的值为（　　） A.－3 B.2 C.3 D.8 12.已知点P（7，3），Q为圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0上一点，点S在x轴上，则｜SP｜＋｜SQ｜的最小值为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 13.（多选）已知曲线C：Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0，则下列说法正确的是（　　） A.若A＝B＝1，则C是圆 B.若A＝B≠0，D2＋E2－4AF＞0，则C是圆 C.若A＝B＝0，D2＋E2＞0，则C是直线 D.若A≠0，B＝0，则C是直线 14.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是　　　　. 15.点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP的中点的轨迹方程； （2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程. 16.已知圆C： x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3）. （1）若点P（a，a＋1）在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； （2）若M为圆C上的任一点，求｜MQ｜的最大值和最小值. 2.2　圆的一般方程 1.C 2.D　将圆的方程化为标准方程，得（x＋）2＋（y＋1）2＝，所以圆心为（－，－1）. 3.A　方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，表示圆的条件是42＋（－2）2－4×5m＞0，解得m＜1. 4.B　设P（x0，y0），线段PQ的中点为M（x，y），如图所示.则 即因为点P（x0，y0）在圆x2＋y2＝1上运动，即＋＝1，所以（2x－3）2＋（2y）2＝1，即（2x－3）2＋4y2＝1. 5.ABC　x2＋y2－4x－1＝0⇒（x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为.A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确.故选A、B、C. 6.BCD　依题意，圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝2，则圆心C（2，－3），半径r＝，A不正确；因点A（0，－5），则｜AC｜＝2＞r，点A在圆C外，B正确；因点A在圆C外，在圆C上任取点P，则｜PA｜≤｜PC｜＋｜CA｜＝r＋｜CA｜＝3，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“＝”，C正确；在圆C上任取点M，则｜MA｜≥｜CA｜－｜MC｜＝｜CA｜－r＝，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“＝”，D正确.故选B、C、D. 7.（2，－3）　解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，（x－1）2＋（y＋1）2＝5，所以圆心C（1，－1）.设B（x0，y0），又A（0，1），由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为（2，－3）. 8.（0，）　解析：∵点O（0，0）在圆的外部，∴0＋0－0＋0＋m＞0，即m＞0，又D2＋E2－4F＞0，∴（－1）2＋12－4m＞0，即m＜，故实数m的取值范围为（0，）. 9.（－2，－4）　5　解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，圆心为（－2，－4），半径为5；当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即（x＋）2＋（y＋1）2＝－，不表示圆.故圆心坐标是（－2，－4），半径是5. 10.解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C三点都在圆上， ∴A，B，C三点的坐标都满足所设方程， 把A（4，1），B（－6，3），C（3，0）的坐标依次代入所设方程， 得 解得 ∴所求圆的方程为x2＋y2＋x－9y－12＝0. 11.A　∵x2＋y2－4x＋2y＋m＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5－m，∴圆心C的坐标为（2，－1），圆C的半径r＝.由∠ACB＝可得△ACB为等腰直角三角形，∴2＝r，解得r＝2，∴＝2，解得m＝－3. 12.C　将圆M的方程化为标准方程为（x－1）2＋（y－5）2＝1，如图所示，作点P（7，3）关于x轴的对称点P'（7，－3），连接MP'与圆相交于点Q，与x轴相交于点S，此时，｜SP｜＋｜SQ｜的值最小，且｜SP｜＋｜SQ｜＝｜SP'｜＋｜SQ｜＝｜P'Q｜＝｜P'M｜－r.由圆M的标准方程得M点的坐标为（1，5），半径r＝1，所以｜P'M｜＝＝10，所以｜P'M｜－r＝9，所以｜SP｜＋｜SQ｜的最小值为9. 13.BC　对于A，当A＝B＝1时，C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若D2＋E2－4F＞0，则C是圆；若D2＋E2－4F＝0，则C是点；若D2＋E2－4F＜0，则C不存在，故A错误.对于B，当时A＝B≠0时，C：Ax2＋Ay2＋Dx＋Ey＋F＝0可化为x2＋y2＋x＋y＋＝0，而＋－4·＝＞0，所以曲线C是圆，故B正确.对于C，当A＝B＝0时，C：Dx＋Ey＋F＝0，且D2＋E2＞0，则C是直线，故C正确.对于D，当A≠0，B＝0时，C：Ax2＋Dx＋Ey＋F＝0，显然不是直线，故D错误.故选B、C. 14.（－∞，1）　解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为（－1，2），代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5－a，所以a＜5，由此，得a－b＜1. 15.解：（1）设线段AP的中点为M（x，y）， 由中点坐标公式得点P坐标为P（2x－2，2y）. ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴（2x－2）2＋（2y）2＝4， 故线段AP的中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1. （2）设线段PQ的中点为N（x，y）， 在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜. 设O为坐标原点，连接ON（图略），则ON⊥PQ， ∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2， ∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4， 故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 16.解：（1）∵点P（a，a＋1）在圆上， ∴a2＋（a＋1）2－4a－14（a＋1）＋45＝0， ∴a＝4，P（4，5）， ∴｜PQ｜＝＝2， kPQ＝＝. （2）易得圆心C的坐标为（2，7），圆的半径为2， ∴｜QC｜＝＝4， ∵点Q在圆外，∴｜MQ｜max＝4＋2＝6， ｜MQ｜min＝4－2＝2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $