1.2.1 圆的标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 以圆的标准方程为核心，通过基础巩固与综合运用分层训练，系统提炼圆心半径确定、位置关系判断、轨迹方程推导等方法，构建从概念到应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|圆的标准方程要素应用、点与圆位置关系判断、对称性分析|从圆的标准方程概念（圆心、半径）出发，逐步应用于位置关系、对称性等基础问题| |综合运用|4题|轨迹思想（中垂线/阿氏圆）、对称圆求解、几何图形外接圆|拓展至轨迹方程推导、对称变换及实际几何问题，形成概念-应用-拓展的递进逻辑|

2.1　圆的标准方程 1.圆（2 024－x）2＋（2 025＋y）2=3的圆心在（　　） A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限　 D．第四象限 2.方程（x＋a）2＋（y－a）2=2a2（a≠0）表示的圆（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线x－y=0对称 D．关于直线x＋y=0对称 3.若点A（a＋1，3）在圆C：（x－a）2＋（y－1）2=m外，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，＋∞）　 B．（－∞，5） C．（0，5）　 D．［0，5］ 4.已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为（　　） A．（x＋2）2＋（y－3）2=13 B．（x－2）2＋（y＋3）2=13 C．（x－2）2＋（y＋3）2=52 D．（x＋2）2＋（y－3）2=52 5.已知圆C过点A（2，5），B（4，3），则圆心C到坐标原点的距离的最小值为（　　） A．4　 B．5 C．　 D． 6.〔多选〕以直线2x＋y－4=0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为（　　） A．x2＋（y－4）2=20　 B．（x－4）2＋y2=20 C．x2＋（y－2）2=20　 D．（x－2）2＋y2=20 7.〔多选〕已知圆C过点M（1，－2）且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（　　） A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上 B．满足条件的圆C有且只有一个 C．点（2，－1）在满足条件的圆C上 D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4 8.曲线y=－（x≤0）的长度为　　　　． 9.设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2=1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则•的最大值为　　　　． 10.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x－3y－6=0，点T（－1，1）在AD边所在的直线上． （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的标准方程． 11.大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．现有一动点P满足|OP|=2，其中O为坐标原点，若M（，－），则|PM|的最小值为（　　） A．　 B．1 C．　 D．2 12.〔多选〕设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2=4（k∈R），下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点（3，0） C．经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π 13.已知圆C1：（x＋3）2＋（y－1）2=4，直线l：14x＋8y－31=0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程． 14. 阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC=6，sin C=2sin A，求当△ABC的面积最大时BC的长． 2.1　圆的标准方程 1.D　化为圆的标准方程（x－2 024）2＋（y＋2 025）2＝3，得圆心坐标为（2 024，－2 025），所以圆心在第四象限. 2.D　易得圆心C（－a，a），即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D. 3.C　由题意，得（a＋1－a）2＋（3－1）2＞m，即m＜5，又易知m＞0，所以0＜m＜5，故选C. 4.B　如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13. 5.C　依题意，可知圆心C在线段AB的中垂线上，AB的斜率为－1，线段AB的中点为（3，4），故线段AB的中垂线的方程为y＝x＋1，故圆心C到坐标原点的距离的最小值为＝.故选C. 6.AD　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），｜AB｜＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20. 7.ACD　因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M（1，－2），所以设圆心坐标为（a，－a）（a＞0），故圆心在y＝－x的图象上，A正确；圆C的方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为（1，－1）或（5，－5），所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为（x－1）2＋（y＋1）2＝1，（x－5）2＋（y＋5）2＝25，将点（2，－1）代入可知都满足，故C正确；它们的圆心距为＝4，D正确. 8.π　解析：由y＝－得x2＋y2＝4（x≤0，y≤0），所以曲线y＝－（x≤0）的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧长，所以曲线y＝－（x≤0）的长度是×4π＝π. 9.12　解析：由题意，知＝（2－x，－y），＝（－2－x，－y），所以·＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以·＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 10.解：（1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为－3. 又点T（－1，1）在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1）， 即3x＋y＋2＝0. （2）由解得点A的坐标为（0，－2）， 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M（2，0）， 所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心. 又r＝｜AM｜＝＝2， 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝8. 11.B　动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，即x2＋y2＝4，而｜OM｜＝＝1＜2，故点M（，－）在圆内，所以当O，M，P三点共线且M在O，P之间时，｜PM｜最小，即｜PM｜min＝2－｜OM｜＝2－1＝1. 12.ABD　圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.故选A、B、D. 13.解：设圆C2的圆心坐标为（m，n）. 因为直线l的斜率k＝－，圆C1：（x＋3）2＋（y－1）2＝4的圆心坐标为（－3，1），半径r＝2， 所以由对称性知解得所以圆C2的标准方程为（x－4）2＋（y－5）2＝4. 14.解：如图，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 因为AC＝6，所以A（－3，0），C（3，0）. 设B（x，y），因为sin C＝2sin A，由正弦定理可得｜AB｜＝2｜BC｜， 所以（x＋3）2＋y2＝4（x－3）2＋4y2， 化简得（x－5）2＋y2＝16（x≠1，且x≠9）， 所以点B的轨迹为以D（5，0）为圆心，4为半径的圆，去掉（1，0），（9，0）两点. 所以当BD⊥AC时，△ABC的面积最大，此时｜BC｜＝＝2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $