1.2.1　圆的标准方程同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“圆的标准方程”为核心，通过基础巩固、性质应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养数学眼光中的空间观念与数学思维中的推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆心坐标、半径、点与圆位置关系|直接考查标准方程要素，如第1题判断圆心象限，强化概念辨析| |中档|圆的对称性、直径端点圆、直线与圆位置关系|结合几何性质，如第5题对称点在圆上求方程，培养推理能力| |提升|动态圆、对称圆、阿氏圆应用|引入跨情境问题，如第16题阿氏圆与三角形面积最值，发展模型观念|

2.1　圆的标准方程 1.圆（2 024－x）2＋（2 025＋y）2＝3的圆心在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.方程（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0）表示的圆（　　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x－y＝0对称 D.关于直线x＋y＝0对称 3.若点A（a＋1，3）在圆C：（x－a）2＋（y－1）2＝m外，则实数m的取值范围是（　　） A.（0，＋∞） B.（－∞，5） C.（0，5） D.[0，5] 4.以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（　　） A.（x－1）2＋（y－2）2＝25 B.（x＋1）2＋（y＋2）2＝25 C.（x＋1）2＋（y＋2）2＝100 D.（x－1）2＋（y－2）2＝100 5.（多选）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（　　） A.x2＋y2＝5 B.（x－1）2＋（y－3）2＝5 C.x2＋（y－2）2＝5 D.（x－1）2＋（y＋1）2＝5 6.（多选）已知圆C过点M（1，－2）且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（　　） A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上 B.满足条件的圆C有且只有一个 C.点（2，－1）在满足条件的圆C上 D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4 7.圆（x－3）2＋（y＋2）2＝13的周长是　　　　. 8.已知直线l过圆x2＋（y－3）2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是　　　　　　　　. 9.当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的标准方程是　　　　　　　　. 10.已知点A（－1，2）和B（3，4）.求： （1）线段AB的垂直平分线l的方程； （2）以线段AB为直径的圆的标准方程. 11.设P是圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则｜PQ｜的最小值为（　　） A.6 B.4 C.3 D.2 12.（多选）已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0）且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为（　　） A.x2＋＝ B.x2＋＝ C.（x－）2＋y2＝ D.（x＋）2＋y2＝ 13.（多选）设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（　　） A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 14.写出符合条件：圆心在直线y＝x＋1上，且与x轴相切的一个圆的标准方程　　　　 　. 15.已知圆C1：（x＋3）2＋（y－1）2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程. 16.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，求当△ABC的面积最大时BC的长. 2.1　圆的标准方程 1.D　化为圆的标准方程（x－2 024）2＋（y＋2 025）2＝3，得圆心坐标为（2 024，－2 025），所以圆心在第四象限. 2.D　易得圆心C（－a，a），即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D. 3.C　由题意，得（a＋1－a）2＋（3－1）2＞m，即m＜5，又易知m＞0，所以0＜m＜5，故选C. 4.A　由两点A（－3，－1）和B（5，5）得线段AB的中点坐标为C（1，2），由｜AB｜＝＝10，可得以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的圆心为C（1，2），且半径为r＝5，所以所求圆的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25.故选A. 5.AD　由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），则（2－a）2＋（1＋a）2＝5，解得a＝0或a＝1，∴所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5或x2＋y2＝5，故选A、D. 6.ACD　因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M（1，－2），所以设圆心坐标为（a，－a）（a＞0），故圆心在y＝－x的图象上，A正确；圆C的方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为（1，－1）或（5，－5），所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为（x－1）2＋（y＋1）2＝1，（x－5）2＋（y＋5）2＝25，将点（2，－1）代入可知都满足，故C正确；它们的圆心距为＝4，D正确. 7.2π　解析：由圆的标准方程可知，其半径为，周长为2π. 8.x－y＋3＝0　解析：圆x2＋（y－3）2＝4的圆心为点（0，3）.因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0. 9.（x＋1）2＋（y－2）2＝5　解析：将直线方程整理为（x＋1）a－（x＋y－1）＝0，可知直线恒过点（－1，2），从而所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5. 10.解：由题意得线段AB的中点C的坐标为（1，3）. （1）∵A（－1，2），B（3，4）， ∴直线AB的斜率kAB＝＝. ∵直线l垂直于直线AB， ∴直线l的斜率kl＝－＝－2， ∴直线l的方程为y－3＝－2（x－1）， 即2x＋y－5＝0. （2）∵A（－1，2），B（3，4）， ∴｜AB｜＝＝＝2， ∴以线段AB为直径的圆的半径r＝｜AB｜＝. 又圆心为C（1，3），∴所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝5. 11.B　如图，圆心M（3，－1）与定直线x＝－3的最短距离为｜MQ｜＝3－（－3）＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4. 12.AB　由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心坐标为（0，a），半径为r，则rsin ＝1，rcos ＝｜a｜，解得r＝，即r2＝，｜a｜＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋＝. 13.ABD　圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.故选A、B、D. 14.（x－1）2＋（y－2）2＝4（答案不唯一）　解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线y＝x＋1上，半径为2，满足圆心（1，2）到x轴的距离等于半径，所以圆的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝4. 15.解：设圆C2的圆心坐标为（m，n）. 因为直线l的斜率k＝－，圆C1：（x＋3）2＋（y－1）2＝4的圆心坐标为（－3，1），半径r＝2，所以由对称性知解得所以圆C2的标准方程为（x－4）2＋（y－5）2＝4. 16.解：如图，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 因为AC＝6，所以A（－3，0），C（3，0）. 设B（x，y），因为sin C＝2sin A，由正弦定理可得｜AB｜＝2｜BC｜， 所以（x＋3）2＋y2＝4（x－3）2＋4y2， 化简得（x－5）2＋y2＝16（x≠1，且x≠9）， 所以点B的轨迹为以D（5，0）为圆心，4为半径的圆，去掉（1，0），（9，0）两点. 所以当BD⊥AC时，△ABC的面积最大，此时｜BC｜＝＝2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $