1.1.5&1.1.6 第1课时 两直线的交点坐标与两点间的距离公式(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 以两直线交点坐标与距离公式为核心，通过基础巩固与综合运用分层训练，系统提炼坐标运算、定点探究等方法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|解方程组求交点、分离参数找定点、斜率与距离公式应用、对称点中点公式|从概念（交点坐标、距离公式）到直接应用（距离计算、定点问题），形成“公式—运算—应用”链条| |综合运用|4题|欧拉线性质应用、直线分平面条件分析、三角形面积计算|从单一知识到综合（几何性质、多直线位置关系），体现知识生成与应用逻辑|

第一课时　两直线的交点坐标与两点间的距离公式 1.已知直线l1：x＋2y－5=0，直线l2：3x－y－1=0的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离为（　　） A．1　 B．2 C．　 D． 2.直线y=kx－k＋e恒过定点A，则A点的坐标为（　　） A．（1，2）　 B．（2，2） C．（1，e）　 D．（e，1） 3.过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与y=x＋m平行，则|AB|=（　　） A.6　 B． C.2　 D．不能确定 4.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（　　） A.2　　B.4 C.5　 D． 5.已知直线l：2x＋y－2=0，直线m：x＋ky＋1=0.若直线l与m的交点在第一象限，则实数k的取值范围为（　　） A．（－∞，－） B．（0，2） C．（－，0） D．（－∞，－）⋃（0，＋∞） 6.〔多选〕对于，下列说法正确的是（　　） A．可看作点（x，0）与点（1，2）的距离 B．可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离 C．可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离 D．可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离 7.〔多选〕已知直线l1：3x＋y－1=0与l2：x＋2y－7=0，则下列说法正确的是（　　） A．l1的倾斜角是锐角 B．l1与l2的交点坐标是（－1，4） C．l1，l2与x轴围成的三角形的面积是 D．过l1与l2的交点与l1垂直的直线方程为x－3y＋13=0 8.已知A，B两点都在直线y=2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为　　　　． 9.已知两直线a1x＋b1y＋1=0和a2x＋b2y＋1=0的交点为P（2，3），则过两点Q（a1，b1），P（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为　　　　． 10.已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m=0（m∈R），直线l1：4x＋y＋3=0和l2：3x－5y－5=0. （1）求证：直线l恒过定点； （2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m． 11.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、垂心、重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且|AC|=|BC|，则△ABC的欧拉线的方程为（　　） A．x－2y－4=0　　 B.2x＋y－4=0 C.4x＋2y＋1=0　　 D.2x－4y＋1=0 12.〔多选〕平面上三条直线x－2y＋1=0，x－1=0，x＋ky=0，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的值为（　　） A．－2　　 B．－1　　 C．0　　 D．1 13.（2026•周口月考）已知两直线l1：x－2y＋4=0，l2：4x＋3y＋5=0.若直线l3：ax＋2y－6=0与l1，l2不能构成三角形，则满足条件的实数a=　　　　． 14.已知△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高所在的直线方程为x＋y－3=0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x＋3y－7=0. （1）求顶点A的坐标； （2）求过点E且在x轴，y轴上的截距相等的直线l的方程． 第一课时　两直线的交点坐标与两点间的距离公式 1.C　解方程组得即A（1，2），而O为坐标原点，则｜AO｜＝＝，所以点A到原点的距离为. 2.C　直线y＝kx－k＋e＝k（x－1）＋e，令x＝1，则y＝e，则直线y＝kx－k＋e恒过定点A（1，e）.故选C. 3.B　由kAB＝1，得＝1，∴b－a＝1.∴｜AB｜＝ ＝＝. 4.D　根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为（4，1），则点P（x，y）到原点的距离d＝＝. 5.A　∵直线l：2x＋y－2＝0，直线m：x＋ky＋1＝0相交，∴2k－1≠0，即k≠.联立解得又直线l与m的交点在第一象限，∴解得k＜－.故选A. 6.BCD　＝＝＝，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，也可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，或者可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故B、C、D正确. 7.BCD　直线l1的斜率k1＝－3＜0，所以l1的倾斜角是钝角，所以A错误；联立3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0解得交点坐标为（－1，4），所以B正确；结合图形（图略）得直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝×（7－）×4＝，所以C正确；因为所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，所以所求直线的斜率为，由点斜式得y－4＝（x＋1），即x－3y＋13＝0，所以D正确.故选B、C、D. 8.　解析：设点A（a，2a－1），点B（b，2b－1），因为｜a－b｜＝，所以｜AB｜＝＝｜a－b｜＝. 9.2x＋3y＋1＝0　解析：因为两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，3），所以2a1＋3b1＋1＝0且2a2＋3b2＋1＝0，所以Q（a1，b1），P（a2，b2）（a1≠a2）在直线2x＋3y＋1＝0上，所以过两点Q（a1，b1），P（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为2x＋3y＋1＝0. 10.解：（1）证明：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0， 由于m∈R，则解得 即直线l恒过定点（－1，2）. 所以直线l恒过定点. （2）由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0）， 因为P恰为AB的中点，所以B（－2－x0，4－y0）. 因为A，B分别在直线l1和直线l2上， 所以 解得所以A（－2，5）. 将A（－2，5）代入直线l的方程，解得m＝－. 所以m的值为－. 11.D　由题设，可得kAB＝＝－2，且AB的中点为，所以AB垂直平分线的斜率k＝－＝，故AB边上的垂直平分线方程为y＝＋1＝＋，因为｜AC｜＝｜BC｜，则△ABC的外心、重心、垂心都在线段AB的垂直平分线上，所以△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.故选D. 12.ABC　因为平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0将平面划分为六个部分，所以直线x＋ky＝0与直线x－2y＋1＝0平行或直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或直线x＋ky＝0经过直线x－2y＋1＝0与直线x－1＝0的交点（1，1）.当直线x＋ky＝0与直线x－2y＋1＝0平行时，可得k＝－2.当直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行时，可得k＝0.当直线x＋ky＝0经过直线x－2y＋1＝0与直线x－1＝0的交点（1，1）时，1＋k＝0，解得k＝－1.所以k＝－2或k＝0或k＝－1.故选A、B、C. 13.－1或或－2　解析：由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×（－2）＝1×2，且a×4≠1×（－6），解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时a×3＝4×2，且a×5≠4×（－6），解得a＝；③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2的方程，得解得所以l1与l2过点（－2，1），将（－2，1）代入ax＋2y－6＝0得a×（－2）＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综上，当a＝－1，，－2时，不能构成三角形. 14.解：（1）由已知得kAB＝1，∴直线AB的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0. 由解得 ∴顶点A的坐标为（1，2）. （2）设E（x0，y0），则C（2x0－3，2y0－4）， 则 解得∴E（4，1）. ∵直线l在x轴，y轴上的截距相等， ∴当直线l经过原点时，设直线l的方程为y＝kx，把点E（4，1）代入，得1＝4k，解得k＝，此时直线l的方程为x－4y＝0； 当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1，把点E（4，1）代入，得＋＝1，解得a＝5，此时直线l的方程为x＋y－5＝0. ∴直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $