1.1.6 平面直角坐标系中的距离公式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 1．6　平面直角坐标系中的距离公式 知识点一　两点间距离公式 1．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于点A，B，且线段AB的中点到原点的距离为，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．±1 答案　C 解析　由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝，则B，所以AB的中点为，因为线段AB的中点到原点的距离为，所以 ＝，解得a＝±2． 2．已知M(1，0)，N(－1，0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________． 答案　 解析　设点P的坐标为(t，2t－1)，则|PM|2＋|PN|2＝(t－1)2＋(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－1)2＝10t2－8t＋4＝10＋≥，所以|PM|2＋|PN|2的最小值为． 3．已知△ABC的三个顶点分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． 解　(1)如图，△ABC为直角三角形，下面进行验证： 解法一：∵|AB|＝＝＝2， |AC|＝＝， |BC|＝＝＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 解法二：∵kAB＝＝－2，kAC＝＝， ∴kABkAC＝－1，∴AB⊥AC， ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． (2)∵∠A＝90°，|AB|＝2，|AC|＝， ∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝5． 知识点二　点到直线的距离 4．点(－1，0)到直线y＝x＋3的距离为(　　) A．1 B．2 C． D．2 答案　C 解析　点(－1，0)到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离d＝＝． 5．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是(　　) A．(a－b) B．b－a C．(b－a) D． 答案　C 解析　∵P(a，b)是第二象限的点，∴a<0，b>0，∴a－b<0，从而点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a)． 6．[多选]已知点(1，m)到直线x＋y－2＝0的距离等于1，则m的值可以是(　　) A．1－ B．1＋ C．－1 D．3 答案　AB 解析　由点到直线的距离公式得＝1，即|m－1|＝，所以m＝1＋或1－．故选AB． 7．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是________． 答案　 解析　∵直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0，2)，∴M(0，2)．∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离d＝＝＝． 知识点三　两条平行线间的距离 8．两条平行直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0间的距离是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由两直线平行，得m＝6，所以mx－8y＋5＝0可化成3x－4y＋＝0，因此两条平行线间的距离d＝＝．故选A． 9．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由于直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，即|PQ|min＝＝． 10．若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：2x－2y＋5＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角为________． 答案　135° 解析　由两平行线间的距离为＝，直线m被两条平行线所截得的线段长为，可得直线m和这两条平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°． 一、选择题 1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A． B． C． D．2 答案　A 解析　直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝．故选A． 2．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程是(　　) A．3x－4y－11＝0 B．3x－4y＋11＝0 C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0 D．3x－4y＋11＝0或3x－4y＋9＝0 答案　C 解析　到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线与直线3x－4y－1＝0平行，设直线方程为3x－4y＋C＝0，则＝2，所以C＝9或C＝－11．故选C． 3．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　) A．8 B．2 C． D．16 答案　A 解析　由题知所求即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，即＝＝8．故选A． 4．若直线3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为(　　) A．49π B． C． D． 答案　C 解析　将直线3x＋4y＋12＝0化为6x＋8y＋24＝0，用两平行直线间的距离公式得圆的直径为＝，半径为，故圆的面积为． 5．设x，y为实数，则＋的最小值为(　　) A．3 B．5 C． D． 答案　C 解析　由平面内两点间的距离公式，知原式表示动点P(x，y)到定点A(0，2)和B(3，1)的距离之和．由“两点之间线段最短”，得点P(x，y)在线段AB上时，＋取得最小值，为|AB|＝＝． 二、填空题 6．如果已知两点O(0，0)，A(4，－1)到直线mx＋m2y＋6＝0的距离相等，那么m可取的不同实数值的个数为________． 答案　3 解析　解方程＝(m≠0)，得m＝6或m＝－2或m＝4． 7．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________． 答案　x－y－1＝0或x＝1 解析　当直线的斜率不存在时，显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；当直线的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．∵点A，B到l的距离相等，∴＝，∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0．综上，l的方程为x－y－1＝0或x＝1． 8．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为________，靠近点A的AB的三等分点N到点M的最短距离为________． 答案　3　 解析　由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋C1＝0，则＝，即C1＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3．设点N在直线x＋y＋C2＝0上，则＝×，即C2＝－9(舍去)或C2＝－，点M，N之间的最短距离为点M所在直线与点N所在直线的距离，即＝． 三、解答题 9．已知△ABC的顶点分别为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1<m<4．当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 解　|AC|＝＝，直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0． ∵点B(m，)到直线AC的距离 d＝， ∴△ABC的面积 S＝|AC|·d＝|m－3＋2| ＝． ∵1<m<4，∴1<<2， ∴0<≤，0<S≤． ∴当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大． 10．过点M(2，4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程． 解　设直线AB的方程为＋＝1(a>0，b>0)， ∴A(a，0)，B(0，b)． ∵MA⊥MB， ∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0， 即a＝10－2b． ∵a>0，b>0，∴0<b<5，0<a<10． ∵直线AB的一般式方程为bx＋ay－ab＝0， ∴点M到直线AB的距离为d＝． ∴△MAB的面积 S1＝|AB|d＝|2b＋4a－ab| ＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20， △OAB的面积S2＝ab＝5b－b2． ∵直线AB平分四边形OAMB的面积， ∴S1＝S2，可得2b2－13b＋20＝0， 解得或 ∴所求直线AB的方程为x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$