1.1.3 第2课时 直线方程的两点式、一般式与点法式(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦直线方程四种形式，通过基础巩固与综合运用，系统提炼截距式应用、分类讨论、向量转化等方法，构建从方程形式到最值应用的知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|1-10题|截距式直接应用、两点式适用条件判断、分类讨论截距是否为0、方向向量推导点法式|从截距式、两点式到一般式，通过方程转化构建概念联系，强调截距非零条件与向量几何意义| |综合运用|11-14题|一般式参数分析、斜率范围动态推理、基本不等式求最值|结合函数思想与不等式，实现从方程表示到面积/距离最值的应用拓展，体现模型意识|

第二课时　直线方程的两点式、一般式与*点法式 1.在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是（　　） A．＋=1　 B．＋=1 C．＋=1　 D．＋=1 2.经过下列两点的直线可以用两点式方程表示的是（　　） A．（1，2），（－3，2）　 B．（3，2），（3，－4） C．（1，2），（－3，4）　 D．（3，5），（－3，5） 3.两条直线l1：－=1和l2：－=1在同一直角坐标系中的图象可以是（　　） 4.已知直线过点（2，1），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为（　　） A．2x＋y－5=0 B．x＋2y－4=0 C．x－2y=0或x＋2y－4=0 D．x－2y=0或2x＋y－5=0 5.〔多选〕直线l经过点P（2，3），且一个方向向量是d=（3，1），则直线的点法式方程是（　　） A．3（x－2）＋（y－3）=0 B．－（x－2）＋3（y－3）=0 C．= D．= 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A．不经过原点的直线都可以用方程＋=1表示 B．若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为（4，1），则直线l的方程为＋=1 C．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y=a（a∈R）表示 D．直线3x－2y=4的截距式方程为＋=1 7.直线l经过点（，1），且直线l的一个方向向量为（－2，－2）．若直线l与x轴交于点（a，0），则a=　　　　． 8.设直线l的方程为2x＋（k－3）y－2k＋6=0（k≠3），若直线l的斜率为－1，则k=　　　　；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k=　　　　． 9.经过点（－2，2）且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为　　　　． 10.在△ABC中，A（4，2），B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°．求： （1）直线AB，AC的方程； （2）△ABC的面积S． 11.〔多选〕已知直线l：Ax＋By＋C=0，其中A，B不全为0，则下列说法正确的是（　　） A．当C=0时，l过坐标原点 B．当AB＞0时，l的倾斜角为锐角 C．当B=0，C≠0时，l和x轴平行 D．若直线l过点P（x0，y0），直线l的方程可化为A（x－x0）＋B（y－y0）=0 12.直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是　　　　． 13.已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是　　　　． 14.如图，过点P（2，1）作直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点． （1）求△AOB面积的最小值及相应的直线l的方程； （2）当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程； （3）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线l的方程． 第二课时　直线方程的两点式、一般式与*点法式 1.C　由直线方程的截距式可得＋＝1. 2.C　当直线经过两点P1（x1，y1）， P2（x2，y2）的坐标满足x1≠x2，y1≠y2时，直线可以用两点式方程＝表示. 3.A　将两方程化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合. 4.C　当截距为0时，设直线的方程为y＝kx，因为直线过点（2，1），所以1＝2k，即k＝，则直线的方程为y＝x，即x－2y＝0；当截距不为0时，设直线的方程为＋＝1，因为直线过点（2，1），所以＋＝1，则a＝2，所以直线的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.综上，直线的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. 5.BC　因为直线l经过点P（2，3），且一个方向向量是d＝（3，1），所以直线方程的点法式是－（x－2）＋3（y－3）＝0或＝.故选B、C. 6.BD　与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；因为线段AB的中点为（4，1），所以直线l过点（8，0），（0，2），所以直线l的方程为＋＝1，故B正确；直线x－y＝0在两坐标轴上的截距相等，但不能用x＋y＝a（a∈R）表示，故C错误；方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确.故选B、D. 7.　解析：由直线l的一个方向向量为（－2，－2），可得直线l的斜率k＝＝，所以直线l的方程为y－1＝（x－），即x－y－2＝0.将点（a，0）的坐标代入直线l的方程，得a－2＝0，解得a＝. 8.5　1　解析：因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. 9.2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0 解析：由题意知，直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线l的方程为＋＝1，由已知可得解得或所以＋＝1或＋＝1，故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 10.解：（1）因为直线AB在y轴上的截距为1， 所以其过点D（0，1）， 所以直线AB的方程为＝，化简得y＝x＋1. 由已知得直线AC的斜率为k＝tan 45°＝1， 所以直线AC的方程为y－2＝x－4， 化简得y＝x－2. （2）由（1）知，直线AB的方程为y＝x＋1， 令y＝0，得x＝－4，故B（－4，0）. 直线AC的方程为y＝x－2， 令x＝0，得y＝－2，故C（0，－2）， 所以△ABC的面积S＝S△ACD＋S△BCD＝｜CD｜×4＋｜CD｜×4＝4｜CD｜＝12. 11.AD　选项A，当C＝0时，是方程Ax＋By＝0的解，即l过坐标原点，故A正确；选项B，当AB＞0时，直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为y＝－x－，则直线l的斜率k＝－＜0，l的倾斜角为钝角，故B错误；选项C，当B＝0，C≠0时，由A，B不全为0，得A≠0，直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为x＝－，故直线l和x轴垂直，不平行，故C错误；选项D，直线l过点P（x0，y0），则Ax0＋By0＋C＝0，可得C＝－Ax0－By0，代入直线方程l：Ax＋By＋C＝0，得Ax＋By－Ax0－By0＝0，即A（x－x0）＋B（y－y0）＝0，故D正确.故选A、D. 12.（－∞，－1）∪ 解析：设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B（3，0）时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C（－3，0）时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率的取值范围是（－∞，－1）∪. 13.3　解析：直线AB的方程为＋＝1，设P（x，y），则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝（－y2＋4y）＝[－（y－2）2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取得最大值3. 14.解：（1）依题意设A（a，0）（a＞0），B（0，b）（b＞0）， 设直线l的方程为＋＝1，将点P（2，1）代入得＋＝1， 所以1＝＋≥2，则ab≥8，当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号， 所以S△AOB＝ab≥4，当且仅当a＝4，b＝2时取等号，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0， 所以△AOB面积的最小值为4，此时直线l的方程为x＋2y－4＝0. （2）由（1）可得＋＝1（a，b＞0）， 所以｜OA｜＋｜OB｜＝a＋b＝（a＋b）·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝2＋，b＝＋1时取等号，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－2－＝0， 所以当｜OA｜＋｜OB｜取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0. （3）依题意知直线l的斜率k存在且k＜0，设直线l：y－1＝k（x－2）， 令y＝0，得x＝2－；令x＝0，得y＝1－2k，所以A（2－，0），B（0，1－2k）， 则｜PA｜·｜PB｜＝＝≥＝4， 当且仅当k2＝，即k＝－1时，等号成立，此时直线l的方程为x＋y－3＝0， 所以当｜PA｜·｜PB｜取最小值时，直线l的方程为x＋y－3＝0. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $