1.1.3 第3课时 直线方程的一般式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 第3课时　直线方程的一般式 知识点一　直线方程的一般式 1．[多选]下列说法中正确的是(　　) A．平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示 B．当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C．当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线方程的一般式都能与其他四种形式互化 答案　ABC 解析　因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其方程可写成x－x1＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，A正确；当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，即直线过原点O(0，0)，B正确；当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行，C正确；D显然错误． 2．如果AC<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　∵直线的斜率k＝－<0，纵截距b＝－>0，∴直线不经过第三象限． 3．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 答案　B 解析　将一般式化为斜截式，B，C两项的斜率为－，其中B项化为y＝－x－，C项化为y＝－x＋14．又y＝－x＋14过点(0，14)，即直线经过第一象限，所以只有B满足要求． 4．若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　因为m＋2n－1＝0，所以m＝1－2n，代入直线方程mx＋3y＋n＝0中，得y＋＝，故直线mx＋3y＋n＝0过定点． 5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A．－，－1 B．，－1 C．－，1 D．，1 答案　A 解析　原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1．又直线ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且直线x－y－＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan120°＝－，∴a＝－．故选A． 6．根据下列条件求直线方程的一般式． (1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)； (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； (3)经过A(2，－3)，B(－1，－5)两点； (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4． 解　(1)因为k＝2，且经过点A(1，3)，由直线方程的点斜式可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线方程的一般式为2x－y＋1＝0． (2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线方程的斜截式为y＝x＋4，整理可得直线方程的一般式为x－y＋4＝0． (3)由直线方程的两点式可得＝，整理得直线方程的一般式为2x－3y－13＝0． (4)由直线方程的截距式可得＋＝1，整理得直线方程的一般式为2x－y－4＝0． 7．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值． (1)直线l在x轴上的截距是－3； (2)直线l的斜率是1． 解　(1)由题意，得 由①，得m≠3且m≠－1． 由②，得3m2－4m－15＝0，得m＝3或m＝－． ∴m＝－． (2)由题意，得 由③，得m≠－1且m≠． 由④，得3m2－m－4＝0，得m＝－1或m＝． ∴m＝． 知识点二　直线方程的点法式 8．过点(2，－1)且一个法向量为(－3，1)的直线方程是(　　) A．x＋3y＋1＝0 B．x－3y－5＝0 C．3x－y－7＝0 D．3x－y－1＝0 答案　C 解析　因为直线的一个法向量为(－3，1)，且过点(2，－1)，由直线方程的点法式得－3(x－2)＋(y＋1)＝0，故所求直线方程为3x－y－7＝0． 9．过点A(－1，3)，且与向量n＝(1，2)垂直的直线方程是________．(用一般式表示) 答案　x＋2y－5＝0 解析　由题意可知，直线的一个法向量为n＝(1，2)，又直线过点A(－1，3)，代入直线方程的点法式，得x＋1＋2(y－3)＝0，即x＋2y－5＝0． 一、选择题 1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　) A．150° B．30° C．60° D．120° 答案　A 解析　直线的斜率k＝－＝－，故其倾斜角为150°． 2．两条直线l1：mx－y＋n＝0和l2：nx－y＋m＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是(　　) 答案　B 解析　化一般式为斜截式，得l1：y＝mx＋n，l2：y＝nx＋m，可见两条直线的斜率、在y轴上的截距恰好互换．故选B． 3．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示，则(　　) A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>c C．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<c 答案　C 解析　由题图可知直线l1，l2的斜率k1，k2都大于0，即k1＝－>0，k2＝－>0且k1>k2，所以a<0，c<0且a>c．又l1在y轴上的截距－<0，l2在y轴上的截距－>0，所以b<0，d>0．故选C． 4．[多选]直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是(　　) A．x－y－1＝0 B．3x－y－5＝0 C．x＋y－3＝0 D．x＋3y－5＝0 答案　AD 解析　将点(2，1)代入直线方程有m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1．当m＝3时，直线l的方程为x－3y＋1＝0，即y＝x＋，斜率为，故所求直线的斜率k＝－，方程为y－1＝－(x－2)，即x＋3y－5＝0；当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，斜率为－1，故所求直线的斜率为k＝1，方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0．故选AD． 5．[多选]若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为(　　) A．1 B．－1 C．－2 D．2 答案　BD 解析　由题意得直线l的斜率为－a，当直线ax＋y－2－a＝0过原点时，可得a＝－2，此时直线l在x轴和y轴上的截距都为0，相等．当直线ax＋y－2－a＝0不过原点时，由题意知，当a＝0时，直线l与x轴无交点，当a≠0时，直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距2＋a相等，可得＝2＋a，解得a＝1或a＝－2(舍去)．综上可知，a＝－2或1．所以直线l的斜率为－1或2．故选BD． 二、填空题 6．已知直线方程为5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 答案　4　5 解析　将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为＋＝1，所以此直线在x轴、y轴上的截距分别为4，5． 7．过点(－1，2)，且以直线2x－3y－7＝0的方向向量为法向量的直线方程的一般式是________． 答案　3x＋2y－1＝0 解析　由题意可得所求直线的一个法向量为，所以所求直线的方程为1×(x＋1)＋×(y－2)＝0，即3x＋2y－1＝0． 8．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是________． 答案　2x＋y＋1＝0 解析　∵点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，∴2a1＋b1＋1＝0．由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．∵点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，∴2a2＋b2＋1＝0．由此可知点P2(a2，b2)也在直线2x＋y＋1＝0上，∴过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0． 三、解答题 9．如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线的方程为2x－y－2＝0，点C(2，0)．求AB边上的高CE所在直线的方程． 解　∵直线AB的方程为y＝2x－2， ∴直线AB的一个方向向量是(1，2)， ∴直线CE的一个法向量是(1，2)， ∴直线CE的方程为1×(x－2)＋2×(y－0)＝0，即x＋2y－2＝0． 10．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 解　(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)． (2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1， 要使直线l不经过第四象限，则 故k的取值范围是[0，＋∞)． (3)依题意，直线l在x轴上的截距为－， 在y轴上的截距为1＋2k，且k>0， 所以A，B(0，1＋2k)， 故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥×(4＋4)＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立， 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$