课时作业3 直线方程的一般式和直线方程的点法式（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(三)　直线方程的一般式和 直线方程的点法式 [基础达标练] 1．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则(　　) A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5 C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5 解析：选B　直线化为＋＝1. 2．若ac＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是(　　) 解析：选C　由题意知，直线方程可化为y＝－x－，∵ac＜0，bc＜0，∴ab＞0，∴－＜0，又易知－＞0，故直线的斜率小于0，在y轴上截距大于0，故选C. 3．已知直线l的斜率与直线3x＋4y－5＝0的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是(　　) A．3x＋4y－12＝0 B．3x＋4y＋12＝0 C．3x＋4y－24＝0 D．3x＋4y＋24＝0 解析：选C　直线3x＋4y－5＝0的斜率为－，可设l的方程为y＝－x＋b.令y＝0，得x＝b，由题可知·|b|·＝24，得b＝±6，由于在第一象限与坐标轴围成三角形，所以b＝6，所以选C项． 4．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为____________． 答案：2x－y＋1＝0 5．已知点M(1，－2)，N(m，2)，若线段MN的垂直平分线的方程是＋y＝1，则实数m＝________． 解析：由中点坐标公式，得线段MN的中点是.又点在线段MN的垂直平分线上，所以＋0＝1，所以m＝3. 答案：3 6．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)则实数m的取值范围是________； (2)若该直线的斜率k＝1，则实数m＝________． 解析：(1)由得m＝2. 若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2. (2)由题意知，m≠2， 由－＝1，解得m＝0. 答案：(1)(－∞，2)∪(2，＋∞)　(2)0 7．一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射，通过点B(－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程． 解：∵点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)， ∴直线A′B的方程为＝， 即2x＋y－4＝0. ∵点B(－1，6)关于x轴对称点B′(－1，－6)， ∴直线AB′的方程为＝， 即2x－y－4＝0. ∴入射光线所在的直线方程为2x－y－4＝0，反射光线所在的直线方程为2x＋y－4＝0. 答案：2x－y－4＝0　2x＋y－4＝0 8．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意； 当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以＝a－2， 解得a＝2或a＝0， 所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 所以或 解得a≤－1， 故实数a的取值范围为(－∞，－1]. [能力提升练] 9．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0 解析：选A　∵点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，∴2a1＋b1＋1＝0.由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．∵点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，∴2a2＋b2＋1＝0.由此可知点P2(a2，b2)也在直线2x＋y＋1＝0上．∴过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0. 10． 已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则(　　) A．若c＞0，则a＞0，b＞0 B．若c＞0，则a＜0，b＞0 C．若c＜0，则a＞0，b＜0 D．若c＜0，则a＞0，b＞0 解析：选D　由ax＋by＋c＝0，得斜率k＝－，直线在x，y轴上的截距分别为－，－. 如题图，k＜0，即－＜0，∴ab＞0. ∵－＞0，－＞0，∴ac＜0，bc＜0. 若c＜0，则a＞0，b＞0；若c＞0，则a＜0，b＜0. 11．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1垂直，且在y轴上的截距是l1在y轴上的截距的相反数，则l2的一般式方程为________． 解析：l1的斜率为2，在y轴上的截距为3，故l2的一个法向量为r＝(1，2)，l2在y轴上的截距b2＝－3，所以l2的方程为1×(x－0)＋2(y＋3)＝0，化为一般式为x＋2y＋6＝0. 答案：x＋2y＋6＝0 12．已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，则过点A和直线l平行的直线方程为________． 解析：直线l的斜率为－， 故l的一个方向向量为r＝(4，－3). 设所求直线上任意一点P(x，y)， 则∥r，∴(x－2)×(－3)－(y－2)×4＝0， 即3x＋4y－14＝0. 答案：3x＋4y－14＝0 13．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线y－1＝0上， ∴设B点坐标为(x，1). 又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得D点坐标为. 又∵点D在中线x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴B点坐标为(5，1). 同理可求出C点的坐标是(－3，－1). 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. [素养拓展练] 14．已知直线l过点(－2，1). (1)若直线l不经过第四象限，求直线l的斜率k的取值范围； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S，其中O为坐标原点，求S的最小值，并求此时直线l的一般式方程． 解：(1)当直线的斜率k＝0时，直线为y＝1，符合题意； 当k≠0时，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)， 直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， 要使直线不经过第四象限， 则有解得k＞0. 综上所述，直线l的斜率k的取值范围为[0，＋∞). (2)设直线l的方程为y－1＝m(x＋2)， 由题意可知m≠0， 再由l的方程，得A，B两点的坐标分别为，(0，1＋2m). 依题意得得m＞0. 又S＝·|OA|·|OB| ＝··|1＋2m| ＝· ＝， 易证明函数y＝4m＋在上是减函数，在上是增函数， 所以当m＝时，S取得最小值，且Smin＝4， 此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$