章末检测（一） 集合与常用逻辑用语(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

**基本信息** 本单元卷聚焦“集合与常用逻辑用语”，通过19道题（8单3多3填5解答）全面覆盖集合运算、命题否定、充要条件等核心知识点，注重基础巩固与逻辑推理能力考查，适配高中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合运算（第3题A∪B）、命题否定（第1题）|基础概念辨析，突出数学抽象| |多项选择题|3/18|集合关系（第9题∁UA⊆B）、逻辑命题（第10题）|多维度考查，培养批判性思维| |填空题|3/15|集合补集（第13题S∪T=R）、充要条件（第14题）|简洁考查知识应用，体现数学语言| |解答题|5/77|命题真假判断（第15题）、新定义“类”（第11题）|综合应用逻辑推理，发展创新意识|

章末检测（一）　集合与常用逻辑用语 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.命题“∃x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为（　　） A.∀x∈Z，x2＋1是4的倍数 B.∀x∈Z，x2＋1不是4的倍数 C.∃x∈Z，x2＋1不是4的倍数 D.∀x∉Z，x2＋1不是4的倍数 2.下列命题为真命题的是（　　） A.∀x∈R，x2＞0 B.∃x∈R，x2＜0 C.∀x∈Q，x2－2≠0 D.∃x∈Q，x2－2＝0 3.设集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是（　　） A.1 B.3 C.4 D.6 4.“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（　　） A.所有能被6整除的正数都是偶数 B.存在三角形的一个内角，其余弦值为 C.∃m∈N，x2＋mx＋2＝0无解 D.∀x∈N，x3＞x2 6.如图所示，若A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜x＞0}，则阴影部分表示的集合为（　　） A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜1＜x≤2} C.{x｜0≤x≤1或x≥2} D.{x｜x＝0或x＞2} 7.已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） A.{m｜m＜－1} B.{m｜m＞0} C.{m｜m＞1} D.{m｜m＜2} 8.命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，则实数m的取值范围是（　　） A.{m｜m＜2} B.{m｜m≤2} C.{m｜m＞2} D.{m｜m≥2} 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，B＝{x∈N｜∈N}，则（　　） A.集合A的真子集有8个 B.{1}∈U C.U中的元素个数为5 D.（∁UA）⊆B 10.下列说法中正确的是（　　） A.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B.命题p：∀x∈R，x2＞0，则􀱑p：∃x∈R，x2＜0　 C.命题“若a＞b＞0，则＜”的否定是假命题 D.“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件 11.在整数集中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z，k＝0，1，2，3，4}，给出如下四个结论，其中是正确结论的有（　　） A.2 026∈[1] B.－13∈[3] C.若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0] D.若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类” 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.命题“同位角相等”的否定为　　　　　　　　. 13.设集合S＝{x｜x＞5或x＜－1}，T＝{x｜a＜x＜a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是　　　　.　 14.方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是　　　　　　　， 它的一个充分不必要条件可以是　　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假： （1）有一个奇数不能被3整除； （2）∀x∈Z，x2与3的和不等于0； （3）三角形的三个内角都为60°； （4）存在一个实数x，使＞2. 16.（本小题满分15分）已知全集U＝R，A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜x＋1≤4}，P＝{x｜x≤0或x≥5}.求： （1）A∩B，∁UB； （2）（A∩B）∪（∁UP）. 17.（本小题满分15分）已知a∈R，p：∀x∈{x｜1＜x＜2}，a≤x；q：∃x∈R，使得x2＋2x－（a－1）＝0. （1）若p是真命题，求a的最大值； （2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围. 18.（本小题满分17分）设x，y∈R，求证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立的充要条件是xy≥0. 19.（本小题满分17分）设集合A＝{x｜－1≤x≤2}，集合B＝{x｜2m＜x＜1}. （1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； （2）若B∩（∁RA）中只有一个整数，求实数m的取值范围. 章末检测（一）　集合与常用逻辑用语 1.B　因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为“∀x∈Z，x2＋1不是4的倍数”. 2.C　当x＝0时，x2＝0，所以选项A是假命题；因为∀x∈R，x2≥0，所以不存在x∈R，x2＜0，因此选项B是假命题；由x2－2＝0⇒x＝±，而±是无理数，所以选项C是真命题，选项D是假命题.故选C. 3.C　易知A＝{1，2}，又A∪B＝{0，1，2}，所以集合B可以是{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，共4个. 4.B　∵｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜，∴两边同时平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2｜ab｜＋b2，即｜ab｜＝－ab，∴ab≤0.故“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的必要不充分条件. 5.D　A项为全称量词命题，所有能被6整除的正数一定能被2整除，都是偶数，且为真命题，故A不符合题意；B、C项为存在量词命题，故B、C不符合题意；D项，当x＝0时，x3＞x2不成立，为假命题，故D符合题意. 6.D　图中阴影部分表示的集合是∁A∪B（A∩B）.由题可得A∩B＝{x｜0＜x≤2}，A∪B＝{x｜x≥0}，则∁A∪B（A∩B）＝{x｜x＝0或x＞2}. 7.C　由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A⫋B，即即m＞1. 8.A　若命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是真命题，则m≥2.因为命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，所以实数m的取值范围是{m｜m＜2}.故选A. 9.CD　因为集合A＝{1，3，4}，所以A的真子集个数为23－1＝7，故A错误；由B＝{x∈N｜∈N}＝{1，2，4，8}，A＝{1，3，4}，得U＝A∪B＝{1，2，3，4，8}，所以{1}⊆U，U中的元素个数为5，故B错误，C正确；∁UA＝{2，8}，所以（∁UA）⊆B，故D正确. 10.AC　对于选项A，a＞1，b＞1时，易得ab＞1，故A正确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x2＞0的否定为􀱑p：∃x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a＞b＞0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a＞b”并不能推出“a2＞b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误. 11.ACD　对于A选项，因为2 026＝5×405＋1，所以2 026∈[1]，A正确；对于B选项，因为－13＝－3×5＋2，所以－13∈[2]，B错误；对于C选项，若整数a，b属于同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，n1，n2∈Z，k∈{0，1，2，3，4}，所以a－b＝5（n1－n2），n1，n2∈Z，故a－b∈[0]，C正确；对于D选项，设a＝5n3＋k1，b＝5n4＋k2，n3，n4∈Z，k1，k2∈{0，1，2，3，4}，则a－b＝5（n3－n4）＋k1－k2，因为k1，k2∈{0，1，2，3，4}，所以－4≤k1－k2≤4，且k1－k2∈Z，又因为a－b∈[0]，所以k1－k2＝0，即k1＝k2，故整数a，b属于同一“类”，D正确.故选A、C、D. 12.有的同位角不相等　解析：全称量词命题的否定是存在量词命题. 13.{a｜－3＜a＜－1}　解析：由题意可知解得－3＜a＜－1. 14.a≤1　a＝1（答案不唯一）　解析：方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是Δ＝（－2）2－4a≥0⇔a≤1.当a＝1时，方程有实根x＝1.又方程x2－2x＋a＝0有实根，不一定是a＝1，故a＝1是方程x2－2x＋a＝0有实根的一个充分不必要条件. 15.解：（1）是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题. （2）是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题. （3）是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题. （4）是存在量词命题，否定为：任意一个实数x，都满足≤2，假命题. 16.解：（1）因为A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜x＋1≤4}＝{x｜－1＜x≤3}，P＝{x｜x≤0或x≥5}，将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示. 所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}， ∁UB＝{x｜x≤－1或x＞3}. （2）（A∩B）∪（∁UP）＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜0＜x＜5}＝{x｜－1＜x＜5}. 17.解：（1）要使p：∀x∈{x｜1＜x＜2}，a≤x为真命题，只需a≤1，即a的最大值为1. （2）若使q：∃x∈R，使得x2＋2x－（a－1）＝0为真命题，则Δ＝4＋4（a－1）≥0，解得a≥0. ①p真q假时，只需所以a＜0； ②p假q真时，只需所以a＞1， 所以a＜0或a＞1. 综上，a的取值范围为{a｜a＜0或a＞1}. 18.证明：充分性：如果xy＝0，那么，①x＝0，y≠0，②x≠0，y＝0，③x＝0，y＝0.总有｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，显然成立. 如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0， 当x＞0，y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜， 当x＜0，y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜， 故当xy≥0时，｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立. 必要性：由｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜及x，y∈R，得（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜xy｜＋y2， 故｜xy｜＝xy，所以xy≥0，故必要性成立， 综上，原命题成立. 19.解：（1）由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， ∴B⫋A， 当B＝⌀时，2m≥1，m≥，满足题意； 当B≠⌀时，2m＜1，m＜，此时要使B⫋A， 则需满足2m≥－1，即m≥－， 综上所述，实数m的取值范围是 {m｜m≥－}. （2）∵A＝{x｜－1≤x≤2}， ∴∁RA＝{x｜x＜－1或x＞2}. ①当B≠⌀时，m＜， 若B∩（∁RA）中只有一个整数，则－3≤2m＜－2， 解得－≤m＜－1； ②当B＝⌀时，m≥，不符合题意. 综上所述，实数m的取值范围是 {m｜－≤m＜－1}. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $