第一章 集合与常用逻辑用语 高考模拟练（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 高中数学单元复习同步练，以“应用实践”“迁移创新”分层设计，构建从单一知识点到综合创新的巩固路径，适配日常教学与高考模拟，渗透数学抽象、逻辑推理等核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |应用实践|集合运算、函数性质、命题逻辑等基础与综合知识点|结合名校期中/月考真题，如Venn图解决实际问题（数学抽象）、命题与不等式综合应用（运算能力）| |迁移创新|集合新定义的迁移应用|通过“孪生集”概念考查逻辑推理与创新意识，如反证法论证集合存在性（理性精神）|

高考模拟练 应用实践 1.(2026山东省实验中学期中)某校高一(1)班共有28名同学关注了前沿科技成果,每名同学至少关注一项科技成果,其中有15人关注了“九章四号”,有8人关注了“中国可重复使用试验航天器”,有14人关注了“紫东太初4.0”,有3人同时关注了“九章四号”和“中国可重复使用试验航天器”,有3人同时关注了“九章四号”和“紫东太初4.0”,没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初4.0”的人数为(　　) A.6　　B.7　　C.8　　D.9 2.(2026上海格致中学月考)设集合A中的最大元素为M,最小元素为m,记A的特征值为XA=M-m,若集合中只有一个元素,规定其特征值为0.已知A1,A2,A3,…,An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集,且+++…+=60,则正整数n的最大值为(　　) A.10　　B.11　　 C.12　　D.13 3.(多选题)(2026河南信阳第二高级中学月考)已知整数集A={a1,a2,…,an}(n∈N*),B={x|x=a+b或x=a-b,a≠b,a∈A,b∈A},若存在m∈B,使得m=ck,c∈Z,k∈N*,则称集合A具有性质M(k),则(　　) A.若A={1,2},则A具有性质M(2) B.若A={1,2,3},则A具有性质M(3) C.若n=4,则A一定具有性质M(5) D.若n=7,则A一定具有性质M(10) 4.(2026陕西商洛期中)“函数y=x2-2mx+m的图象与x轴至多有一个交点”的一个必要不充分条件是“m<”,则实数a的取值范围是　　　　.  5.(2026北京大兴期中)已知集合A={x|0≤x≤a},B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“∃m∈R,A∩B≠⌀”为假命题,则实数a的一个值可以为　　　.  6.(2026江苏淮安期中)设命题p:∀x∈R,x2-2x-m>0,命题q:∃x∈R,x2-mx+4=0. (1)若p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若q为假命题,求实数m的取值范围; (3)若p,q至多有一个为真命题,求实数m的取值范围. 迁移创新 7.(2026上海市北中学月考)设A是正实数集的非空子集,称集合B={z|z=xy,x∈A,y∈A且x≠y}为集合A的孪生集. (1)当A={2,5,7}时,请直接写出集合A的孪生集B; (2)若A是由5个正实数构成的集合,求其孪生集B的子集个数的最小值; (3)判断是否存在由4个正实数构成的集合A,使其孪生集B={6,8,14,16,21,24},并说明理由. 答案与分层梯度式解析 高考模拟练 1.C 2.B 3.BCD 1.C　设关注了“九章四号”的同学构成集合A,关注了“中国可重复使用试验航天器” 的同学构成集合B,关注了“紫东太初4.0” 的同学构成集合C, 由题可得card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(A∩B)=3,card(A∩C)=3,card(A∪B∪C)=28,card(A∩B∩C)=0, 如图(利用Venn图求解), 则card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C), 即28=15+8+14-3-3-card(B∩C),得card(B∩C)=3, 所以只关注了“紫东太初4.0”的人数为14-3-3=8. 2.B　 信息提取　要使n最大,需保证各集合的特征值=M-m(n∈N*)尽量小.根据各个集合中的元素个数均不相同,以及尽量小,可以取连续正整数,依次构成集合Ai(i=1,2,…,n),如:A1={1},A2={2,3},A3={4,5,6},……,进而分析n的取值. 解析　由题可知A1,A2,A3,…,An中都至少有一个元素,且元素个数互不相同, 要使n最大,则各集合的特征值=M-m(n∈N*)尽量小, 所以集合A1,A2,A3,…,An的元素个数尽量少且数值尽可能连续, 不妨设=0,=1,=2,……,=n-1,依次计算+++…+, 当n=1时,=0<60, 当n=11时,+++…+=0+1+2+…+10=55<60, 当n=12时,+++…+=0+1+2+…+11=66>60, 只需在n=11时,在上述特征值最小的情况下,使其中一个集合的特征值增加5即可,故n的最大值为11. 3.BCD　对于A,若A={1,2},则B={1,3,-1},因为3=1×3,-1=-1×1,1=1×1,所以不可能存在k=2满足题意,故A错误. 对于B,若A={1,2,3},则B={-2,-1,1,2,3,4,5},则当m=3,c=1,k=3时,A具有性质M(3),故B正确. 对于C,将整数分成5k1,5k1+1,5k1+2,5k1+3,5k1+4,k1∈Z这五类,依次组成集合C、D、E、F、G.当n=4时,a1,a2,a3,a4肯定是这5类中的一类,如果a1,a2,a3,a4所属种类各不相同,比如a1∈D,a2∈E,a3∈F,a4∈G,那么a1+a4肯定是5的倍数,且a1+a4∈B,满足M(5)的定义;如果a1,a2,a3,a4中有两个或两个以上所属种类相同,比如a1,a2∈G,那么a1-a2也是5的倍数,故C正确. 对于D,将整数分成10类,同C中分析思路,可知D正确. 4.答案　{a|a>1} 解析　由函数y=x2-2mx+m的图象与x轴至多有一个交点,可得Δ=(-2m)2-4m≤0,解得0≤m≤1, 由已知得“m<”是“0≤m≤1”的必要不充分条件, (点拨:后者对应集合是前者对应集合的真子集) 所以>1,解得a>1,即实数a的取值范围为{a|a>1}. 5.答案　1(a<3均可) 解析　若命题“∃m∈R,A∩B≠⌀”为假命题,则其否定“∀m∈R,A∩B=⌀”为真命题. 当a<0时,集合A=⌀,符合A∩B=⌀. 当a≥0时,因为m2+3>0,所以由∀m∈R,A∩B=⌀,得a<m2+3对于任意m∈R恒成立, 又m2+3≥3,所以0≤a<3. 综上,实数a的取值范围为{a|a<3}.故a的一个值可以为1(答案不唯一). 6.解析　(1)若p是真命题,则∀x∈R,m<x2-2x(点拨:m<(x2-2x)min), 又x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以m<-1, 故实数m的取值范围为{m|m<-1}. (2)若q是假命题,则¬q:∀x∈R,x2-mx+4≠0是真命题, 故Δ=m2-16<0,解得-4<m<4,即实数m的取值范围是{m|-4<m<4}. (3)“p,q至多有一个为真命题”的对立面为“p,q都是真命题”(应用补集思想,从对立面入手), 由(1)知p为真命题时,m<-1, 由(2)知q为真命题时,m≤-4或m≥4, 若p,q都是真命题,则m≤-4, 所以若p,q至多有一个为真命题,则m>-4,即实数m的取值范围是{m|m>-4}. 7.解析　(1)B={10,14,35}. (2)设A={a1,a2,a3,a4,a5},不妨设0<a1<a2<a3<a4<a5,因为a1a2<a1a3<a1a4<a1a5<a2a5<a3a5<a4a5,所以B中元素个数大于或等于7, 取A={21,22,23,24,25},则B={23,24,25,26,27,28,29},此时B中元素共7个, 所以孪生集B中元素个数的最小值为7,B的子集个数的最小值为27=128. (3)不存在,理由如下: 假设存在由4个正实数构成的集合A,使其孪生集B={6,8,14,16,21,24}, 不妨设A={a,b,c,d},0<a<b<c<d,则集合A的孪生集B={ab,ac,ad,bc,bd,cd},则ab<ac<ad<bd<cd,ac<bc<bd, 则必有ab=6,cd=24,集合B中其余4个正实数的乘积为ac·ad·bc·bd=(abcd)2=8×14×16×21,所以abcd=112≠6×24,矛盾. 所以假设不成立,故不存在由4个正实数构成的集合A,使其孪生集B={6,8,14,16,21,24}. 素养评析 　　(1)由集合A中的元素得到集合B中的元素,主要考查数学运算; (2)由集合B的定义知,当集合A中有5个元素时,集合B中最多有10个元素,利用不等关系得到B中最少有7个元素,举特例得到B中元素可以是7,主要考查逻辑推理; (3)类似(2)得到由集合A确定的集合B,进而分析与条件中的集合B的关系,运用反证法推出矛盾,主要考查逻辑推理. 7 学科网（北京）股份有限公司 $