1.4 充分条件与必要条件 题型专练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦充分、必要、充要条件三级逻辑关系，通过选择、解答等多元题型构建从概念判断到参数应用的递进训练体系，培养数学逻辑推理与抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |充分不必要条件|7题|含基础判断（1-4）、参数范围（5）、集合关系解答（6-7）|从简单命题判断到集合间条件关系，逐步深化概念理解| |必要不充分条件|9题|涵盖集合与条件综合（8）、生活情境判断（11）、参数范围解答（15-16）|结合具体情境强化必要条件的双向推理，突出实际应用| |充要条件|8题|包含集合等价（17）、命题否定（20）、多选项辨析（24）|构建条件等价性认知，训练数学语言表达的精确性|

1.4充分条件与必要条件 （题型专练）原卷版 充分不必要条件知识点01 1．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知条件：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026高三·全国·专题练习）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 必要不充分条件知识点02 8．（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 9．（25-26高二下·北京昌平·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（25-26高一上·四川成都·期中）努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 12．1．（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 13．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 15．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 充要条件知识点03 17．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分又非必要条件 D．充要条件 20．（25-26高一上·广东惠州·期中）下列结论中不正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件. B．在△ABC中，“”是“为直角三角形”的充要条件. C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件. D．“”是“”的充分不必要条件. 21．（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是_________________． 22．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 23．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）“实数集合满足：”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设、是实数.下列选项中是充要条件的是（    ） A． B．; C．; D．. 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·三模）设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 5．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 6．（25-26高一下·河北衡水·期中）若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·湖南岳阳·二模）设，为非零实数，则“”是 “”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知、，则“”是“”的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 二、多选题 9．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）（多选）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 10．（25-26高一上·四川南充·期中）（多选）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 11．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）下列命题中是真命题的是（   ） A．一次函数（是非零常数）的图象一定经过点 B．直角三角形的外心一定在斜边上 C．已知，则是的充要条件 D．如果都能被5整除，则也能被5整除 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）设，或，若是的充分条件，实数的取值范围为____________. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 14．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 16．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 17．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 19．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4充分条件与必要条件（题型专练）答案版 1．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知条件：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明 【详解】，解得或，所以条件：或， 又条件：，因为条件的范围是条件的范围的一部分，所以是的充分不必要条件. 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为， 所以，若成立， 一定满足，因此充分性成立， 若满足，不一定满足（例如）， 因此，必要性不成立. 4．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 5．（2026高三·全国·专题练习）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据充分不必要条件求参数、分类讨论解绝对值不等式 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 6．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. (2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围, 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 8．（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【知识点】根据充分不必要条件求参数、补集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】（1）根据补集的定义和并集的定义进行求解即可； （2）根据充分不必要的定义进行求解即可. 【详解】（1），， 所以或，； （2）因为是的充分不必要条件，所以且， 所以，其中等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 9．（25-26高二下·北京昌平·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 10．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】充分性：当时，，充分性不成立； 必要性：当时，，所以若成立，则必须有，必要性成立. 11．（25-26高一上·四川成都·期中）努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． 12（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以或， 即由不能推出，但由能推出， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出， 不满足是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，因为，所以， ，则，或， 即由能推出，但由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直， 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形， 即由不能推出，由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故D不正确. 故选：A. 13．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】利用充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系计算即可. 【详解】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D 14．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据集合的包含关系进行判断. 【详解】因为，，所以⫋. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 15．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算 【分析】（1）利用交集运算即可； （2）把必要不充分条件转化为真子集关系，利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可. 【详解】（1）当时，， 则； （2）因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）“”是“”的必要不充分条件，得到集合是的真子集，求得实数的取值范围即可； （2）求出集合，由，得，再讨论、得到实数的取值范围即可． 【详解】（1），即， 等价于，解得， 则， 又“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 则，解得 综上所述，实数的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围为． 17．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、根据两个集合相等求参数、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 18．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 19．（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分又非必要条件 D．充要条件 【答案】D 【知识点】充要条件的证明 故选：D. 20．（25-26高一上·广东惠州·期中）下列结论中不正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件. B．在△ABC中，“”是“为直角三角形”的充要条件. C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件. D．“”是“”的充分不必要条件. 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明 【分析】利用集合的包含关系可判断AD；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误. 【详解】对于A， 是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，正确； 对于B，充分性：若，则为直角， 所以为直角三角形，充分性成立； 必要性：若为直角三角形， 则“为直角”或“是直角”或“为直角”， 所以“”或“”或“”， 即必要性不成立. 因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，错误. 对于C选项，充分性：因为，若，则， 所以不成立，所以、不全为，充分性成立； 必要性：若、不全为，则，必要性成立. 因此“”是“、不全为”的充要条件，正确； 对于D选项，，， 是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件，正确. 故选：B. 21．（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】将原等式变形后，通过配方法转化为平方和的形式，借助平方数的非负性推导得变量间的等量关系. 【详解】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 故答案为：. 22．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】由等价于求解即可. 【详解】等价于，即且， 故选：C 23．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）“实数集合满足：”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、交集的概念及运算、探求命题为真的充要条件、并集的概念及运算 【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系判断即可. 【详解】由可知，选项A、B、C均等价于，故错误， 选项D，等价于，故正确， 故选：D 24．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设、是实数.下列选项中是充要条件的是（    ） A． B．; C．; D．. 【答案】D 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】取特殊值可判断ABC，利用不等式性质可判断D. 【详解】当时，成立，推不出，故A错误； 当时，成立，推不出，故B错误； 当时，成立，推不出，故C错误； 当时，，由不等式性质可得， 若，两边同乘以可得，即充要条件的是，故D正确. 故选：D 1．（2026·湖南长沙·三模）设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可． 【详解】根据充分条件，必要条件的定义，若”且”则”且”是真命题，充分性成立． 反之是假命题，比如当，时满足且，但推不出且. 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】对通分，得，即， ，当且仅当时等号成立， ，，故必要性成立； 令，满足题意， 得，但不成立，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 4．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、判断两个集合的包含关系 【分析】根据题意，利用集合的包含关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立； 例如：设全集，集合， 此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立， 综上可得，是的既非充分也非必要条件. 5．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【知识点】充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 6．（25-26高一下·河北衡水·期中）若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即“”，可知必要性成立． 因此“”是“”的必要不充分条件，故选B． 7．（2026·湖南岳阳·二模）设，为非零实数，则“”是 “”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件与必要条件定义举特殊值判断即可. 【详解】由题意当时，满足，但，故充分性不满足； 当时，满足，但，故必要性不满足； 所以“”是 “”成立的既不充分也不必要条件. 8．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知、，则“”是“”的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】当时，，， 所以“”不是“”的充分条件； 因为（当且仅当时等号成立）， 所以， 所以“”是“”的必要条件； 综上“”是“”的必要非充分. 9．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）（多选）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 10．（25-26高一上·四川南充·期中）（多选）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【知识点】充分条件、必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得 【详解】对于A，取，满足，而， 因此“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，取显然，但， 因此“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）下列命题中是真命题的是（   ） A．一次函数（是非零常数）的图象一定经过点 B．直角三角形的外心一定在斜边上 C．已知，则是的充要条件 D．如果都能被5整除，则也能被5整除 【答案】ABD 【知识点】充要条件的证明、判断命题的真假 【分析】将代入一次函数计算判断A；根据直角三角形的性质判断B；当时，取特殊值得到反例判断C；设，即可判断D. 【详解】A：将代入（是非零常数），得，A为真命题； B：由直角三角形的性质，直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，B为真命题； C：当时，取，则，故不充分，C为假命题； D：设，，则，D为真命题； 故选：ABD 12．（2026高三·全国·专题练习）设，或，若是的充分条件，实数的取值范围为____________. 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】结合充分条件性质，分与进行讨论即可得. 【详解】若，即时，， 此时是的充分条件； 若，即时， 由是的充分条件，则或， 分别解得或，故，又，无解； 综上所述：. 故答案为：. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 14．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数、已知命题的真假求参数 【分析】根据方程的根可得命题：，分析可知集合是集合的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 16．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【知识点】根据必要不充分条件求参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 17．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据交集结果求集合或参数 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算 【分析】（1）首先通过全集与补集的定义，将给定条件转化为具体不等式的解集，再根据交集运算规则求出两个集合的共同部分； （2）利用充分条件的集合解释，将条件转化为子集关系，再根据数轴分析端点值的大小关系确定参数范围. 【详解】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以 （2）因为“”是“”的充分条件，所以. 又因为集合，，所以. 即的取值范围为. 19．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算 【分析】（1）当时，确定集合，再求. （2）问题转化为根据求的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以或. 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 所以解得， 即的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $